Pour quelques nombres de Reynolds, la¿gure 5.2 indique l’évolution de ce coef¿cient de pression en fonction de l’écart angulaire par rapport au point de stagnation. Cette dépen- dance des pressions par rapport au nombre de Reynolds se traduit également en terme de résultantes. Pour un écoulement plan, trois efforts sont généralement dé¿nis :
l’effort de traînée FD qui est la projection de la résultante des pressions dans le sens de
l’écoulement duÀuide non perturbé
l’effort de portance FL qui est la projection de résultante dans le sens transversal à l’écoulement non perturbé
le moment M qui est la résultante des couples élémentaires engendrés par les pressions
sur le tablier.
Ces efforts sont également représentés à l’aide de coef¿cients adimensionnels, le coef-
¿cient de traînée CD, le coef¿cient de portance CLet le coef¿cient de moment CM :
CD @ FD 2¢U2B (5.3) CL @ FL 2¢U2B (5.4) CM @ M 2¢U2B2 (5.5)
FIGURE5.2. EVOLUTION DES PRESSIONS LE LONG DE LA PAROI DU CYLINDRE(WIND EFFECTS ON STRUCTURES, SIMIU, SCANLAN)
FIGURE5.3. COEFFICIENT DE TRAÎNÉE D’UNE SECTION CIRCULAIRE EN FONCTION DU NOMBRE DEREYNOLDS(WIND EFFECTS ON STRUCTURES, SIMIU, SCANLAN)
traînée pour une section circulaire.
Les nombres de Reynolds qui caractérisent les écoulement lors d’études de structures souples sont assez élevés+Re 43.,. Lorsque le nombre de Reynolds est si important, l’écoulement duÀuide autour du corps est caractérisé par des effets non linéaires impor- tants, favorisant l’apparition de la turbulence. Selon les conditions d’écoulement, on peut alors assister, dans des zones où la géométrie de l’obstacle est variable, à des décollement de couche limite. Lorsque l’obstacle étudié présente des arêtes vives, ces décollements se produisent préférentiellement en ces discontinuités. L’instabilité des nappes décollées peut mener, sous l’effet de petites perturbations dans l’écoulement, à des détachements de tour- billons. Par exemple, pour une section cylindrique, ces détachements tourbillonnaires se produisent de manière alternée, ce qui conduit à la formation d’une allée tourbillonnaire dans le sillage de l’obstacle.
Ces détachements de tourbillons affectent donc un caractère oscillatoire aux coef¿cients aérodynamiquesCD,CLetCM, bien que l’écoulement duÀuide en amont soit stationnaire. Les caractéristiques fréquentielles de ces détachements tourbillonnaires sont quanti¿ées à l’aide du nombre de Strouhal :
St @ nDU (5.6)
oùD représente une longueur caractéristique de l’obstacle dans le sens perpendiculaire à l’écoulement (épaisseur) etn représente la fréquence du mouvement étudié.
Les coef¿cients aérodynamiques, tels qu’ils viennent d’être commentés, sont déterminés à l’aide d’essais en soufÀerie sur les obstacles ¿xes.
Lorsque les obstacles étudiés sont susceptibles de se déplacer sous l’effet de l’écoulement duÀuide, leurs mouvements perturbent l’écoulement du Àuide. Les caractéristiques de sig- nature (que l’on obtiendrait si la structure était immobile) sont alors modi¿ées par des effets instationnaires il y a une réelle interaction entre le Àuide et la structure étudiée.
Pour des fréquences étudiées suf¿samment faibles, l’hypothèse d’écoulement quasi- permanent est souvent formulée. Elle suppose que le temps de passage d’une particule duÀuide le long de l’obstacle (c’est-à-dire, la largeur du tablier) est suf¿samment court par rapport aux périodes de vibration de la structure pour que l’écoulement s’adapte instanta- nément à chaque nouvelle position de l’obstacle. Cette hypothèse justi¿e donc l’utilisation des relations (5.3) à (5.5) pour estimer les efforts appliqués à la structure : ce sont les forces aérodynamiques23.
Les grandeurs utilisées lors du dimensionnement de l’ouvrage d’art sont les coef¿cients aérodynamiques moyens. Il en résulte donc que le coef¿cient de portance utile est alors nul pour un corps symétrique placé symétriquement dans l’écoulement. On peut trouver dans la littérature des valeurs de coef¿cients aérodynamiques pour de nombreuses sections 2 Lorsque l’hypothèse d’écoulement quasi-permanent n’est pas formulée, les forces résultant de l’écoulement
duÀuide sont dé¿nies à l’aide des coef¿cients de Scanlan (qui dépendent de la fréquence étudiée). Ces coef¿cients permettent de rendre compte du contenu fréquentiel de l’interaction entre le Àuide et la structure. L’utilisation de ces coef¿cients mène aux expressions des efforts aéroélastiques.
habituellement utilisées en génie civil : le tube rond, le tube carré, les poutres enI, les cornières, ... Lorsque la section étudiée est une nouvelle section de tablier, des essais en soufÀerie sont généralement réalisés a¿n de déterminer ces coef¿cients aérodynamiques moyens. Dans le domaine des nombres de Reynolds rencontrés en pratique, on considère généralement que ces coef¿cients ne dépendent pas de la vitesse du Àuide : si la vitesse duÀuide est doublée, les efforts aérodynamiques sont donc multipliés par 7 de manière à conserver les mêmes coef¿cients aérodynamiques.
5.2
Caractérisation du vent
Les concepts généraux de dynamique desÀuides qui viennent d’être rappelés s’avèrent être utiles pour l’analyse dynamique des structures soumises au vent turbulent. En effet, le vent est un phénomène naturel qui consiste en l’écoulement d’unÀuide, l’air ( @ 3:48cm2=s), à une certaine vitesse, appelée par raccourci de langage, la vitesse du vent.
Etant donné que les structures étudiées se trouvent dans la couche limite terrestre, l’écoulement de l’air est essentiellement turbulent. La vitesse du vent est donc variable au cours du temps il est assez commode de l’exprimer dans un repère lié à la direction moyenne du vent, par la somme d’une composante moyenne et deÀuctuations dans les directions longitudinale, transversale et verticale :
U+t, @ ; ? = U . u+t, v+t, w+t, < @ > (5.7)
5.2.1 Composante moyenne
Le contenu fréquentiel du vent est constitué de deux bandes de fréquences^433.> 433e`Hz et^433 > 433`Hz. Vu son niveau de fréquences assez bas, le premier intervalle présente peu d’intérêt dans l’analyse dynamique des structures il représente les variations du vent à l’échelle macroscopique. La coupure entre ces deux bandes de fréquences est assez in- téressante car elle permet de justi¿er l’utilisation d’une période de 43 minutes pour estimer ses caractéristiques moyennes.
Notre expérience intuitive du vent laisse supposer que la vitesse moyenne du ventU dépend principalement de la cause qui lui a donné naissance : les conditions climatologiques. Dans le cadre du dimensionnement d’un ouvrage d’art, il importe de pouvoir estimer des valeurs extrémales (au sens des valeurs extrêmes du chapitre 3) de la vitesse moyenne du vent. Ces grandeurs résultent de mesures de vitesses en plusieurs sites. Les grandeurs utiles au dimensionnement sont résumées dans des codes spéci¿ques à chaque région. Ces codes fournissent généralement la vitesse du vent moyen (sur une période de 43 minutes) qui correspond à une probabilité de dépassement de3:35 sur une période d’observation d’un an.
Dans la couche limite terrestre, la pro¿l de la vitesse moyenne du vent24 n’est pas con- stant. Les vitesses de référence données dans les codes correspondent généralement à une altitude de43 mètres au-dessus du niveau du sol.
Plusieurs loi permettent de prendre en compte la variation de la vitesse moyenne en fonction de l’altitude. Les plus courantes sont le pro¿l logarithmique :
U+z, @ 4u¤¢f oqzz f (5.8) et le pro¿l en puissance : U+z, @ z zref (5.9) Les paramètres intervenant dans ce relations sont particuliers à chaque norme ce sont eux qui permettent de rendre compte des caractéristiques de la topographie locale (rugosité de terrain, inclinaison du terrain, présence de collines, inÀuence de hauts bâtiments, ...)
5.2.2 Caractérisation de la turbulence
Les contributionsÀuctuantes à la vitesse du vent (u+t,, v+t, et w+t,) peuvent être représen- tées à l’aide de processus aléatoires à moyenne nulle. Sur des périodes de l’ordre de43 minutes comme celles étudiées en pratique, ces contributions à la turbulence peuvent être considérées comme stationnaires. Leur caractérisation complète est donc réalisée à l’aide des notions introduites au chapitre 3.
5.2.2.1 Caractérisation de premier ordre La caractéristique principale d’un proces-
sus aléatoire à moyenne nulle est sa variance. Les trois composantes de la turbulence sont donc d’abord caractérisées par leur écart-type :
£u £v * 3::8£u £w * 3:8£u (5.10)
Contrairement à la vitesse moyenne du vent, on peut généralement supposer qu’elles sont indépendantes de l’altitude. Le rapport entre ces grandeurs et la vitesse moyenne dé¿nit des intensités de turbulence pour chacune des directions :
Iu@ £u U Iv @ £v U Iw @ £w U (5.11)
Bien que variables avec l’altitude, ces grandeurs adimensionnelles permettent de mieux représenter l’importance de la turbulence. Nous verrons dans la suite, mais cela semble dès à présent assez logique, que les non linéarités du chargement éolien sont d’autant plus importantes que les intensités de turbulence sont grandes. Ce paramètre sera donc un des paramètres primordiaux pour l’analyse dynamique non linéaire dans le domaine temporel.
5.2.2.2 Caractérisation de second ordre Pour une des trois composantes de la turbu-
lence, la fonction d’intercorrélation permet de quanti¿er les relations entre les vitesses du vent en deux points différents (PetP2) et en des instants différents :
Ru+P; P2; t, @ olp T <" 4 T ] T f u+P; t,u+P2; t . t,dt (5.12)
Lorsque les points P et P2 sont confondus, cette fonction dégénère en la fonction d’autocorrélation habituelle présentée au chapitre 3 :
Ru+P; t, @ olpT <"T4
] T
f u+P; t,u+P; t . t,dt (5.13)
La fonction d’autocorrélation permet de dé¿nir une échelle de temps :
Tu @ £42 u
] "
f Ru+P; t,dt (5.14)
qui représente un ordre de grandeur du temps de mémoire des vitesses de vent pour une direction de turbulence donnée. On suppose généralement qu’elle est indépendante du point de l’espaceP choisi. Une forme habituelle adoptée pour les fonctions d’autocorrélation est données par des exponentielles décroissantes :
Ru+t, @ £2ue3
t
Tu (5.15)
La fonction d’intercorrélation pour un déphasage nul représente la cohérence du vent entre deux points distincts de l’espace. Elle permet de dé¿nir des échelles de turbulence : LR u @ £ 4 u+P,£u+P2, ] " f Ru+P; P2; 3,dr (5.16)
oùr représenter la distance entre les points P etP2 choisis sur un axeR ¿xé. En se limitant aux trois axes principaux et aux trois directions de turbulence, neuf échelles de tur- bulence peuvent donc être dé¿nies. Elles représentent un ordre de grandeur des tailles des tourbillons moyens dans les trois directions choisies et pour chacune des composantes de turbulence. De même, on suppose généralement qu’elle est indépendante des pointsPet
P2 choisis et que la fonction d’intercorrélation peut s’exprimer sous une forme exponen- tielle :
Ru+P; P2; 3, @ £u+P,£u+P2,e3
mP4P5m
LRu (5.17)
Nous avons vu au chapitre 3 que la fonction d’autocorrélation suf¿sait à caractériser parfaitement le processus aléatoire au second ordre. Etant donné que l’analyse au vent turbulent se pratique habituellement dans le domaine fréquentiel, il est habituel de quanti¿er également les turbulences du vent à l’aide de densités spectrales. En toutes rigueur, celles- ci devraient être obtenues à partir de la fonction d’autocorrélation (Wiener-Khintchine)
mais d’autres formes de densités spectrales sont en général utilisées. Il y a donc là une incohérence sur laquelle nous reviendrons également plus tard.
Quelques formes habituelles de densités spectrales de puissances sont données au tableau 5.125. von Karman : Su+z; n, @ 7 Lxu U £5u 4.:3::nLxu U 58=9 Harris : Su+z; n, @ 5 6+4533U , 5n£5 u 4.+4533n U , 57=6 Davenport : Su+z; n, @ 5 64533U n£5u 5.+4533n U , 58=9 Simiu / Scanlan : Sv+z; n, @ 48 Lxu U u5 4.<:8nLxu U 8=6 Sw+z; n, @ 6:69 Lxu U u5 4.43nLxu U 8=6
Tableau 5.1. : Exemples de densités spectrales de vent
Dans le domaine fréquentiel, la densité spectrale de puissance ne suf¿t pas à caractériser complètement le processus aléatoire. Il faut également ajouter la notion de cohérence entre les turbulences en des points distincts de l’espace. Rigoureusement, cette cohérence peut être obtenue à partir de la fonction d’intercorrélation dé¿nie ci-avant (par transformée de Fourier), mais d’autres relations sont généralement utilisées. La plus courante consiste à choisir une fonction de cohérence à décroissance exponentielle :
¨u+ry; rz; n, @ e3Un s
ECu
yry 5nECzurz 5 (5.18)
où apparaissent les coef¿cients de cohérence26CyuetCzu.
A¿n de donner un ordre de grandeur de chacun de cas paramètres, le tableau 5.2 présente les valeurs utilisées lors d’une étude pratique (viaduc de Millau).