4.6.1. Conjunto de Oportunidades de Investimento
Com um número n de activos financeiros, é possível construir uma infinidade de portfólios, por variação das ponderações 𝜔𝑖 dos activos que compõem o portfólio (Sharpe et al., 1998; Pinho & Soares, 2008). O conjunto das combinações possíveis de Retorno Esperado e Risco para aquele número limitado de activos (i.e., dos portfólios que é possível construir) designa-se por Conjunto das Oportunidades de Investimento (Feasible Portfolio Set, na literatura original), que representa o lugar geométrico, no espaço Retorno-Risco27, de todas as soluções admissíveis para o problema
de optimização de Markowitz (Zhang & Lu, 2009; Elton et al., 2014). A Figura 4.2 ilustra esta região, identificando ainda, a título de exemplo, alguns dos portfólios que a integram: E, G, H e S.
Figura 4.2 – Conjunto de Oportunidades de Investimento (Fonte: Sharpe et al., 1998)
4.6.2. Fronteira Eficiente de Markowitz
De acordo com Markowitz (1952, 1959), conforme estipula o pressuposto do investidor racional, um investidor seleccionará sempre um portfólio que, dentro do conjunto de opções disponíveis, proporcione o máximo de retorno possível para um dado nível de risco ou que, equivalentemente, permita obter o mínimo de risco possível um determinado nível de retorno.
Adoptando a perspectiva do investidor racional, observa-se que, do Conjunto de Oportunidades de Investimento da Figura 4.2, são apenas atractivas as opções de que podem resultar um retorno máximo ou um risco mínimo, para níveis fixos de risco ou de retorno, respectivamente (Zhang & Lu, 2009; Esperança & Matias, 2010). Estes portfólios atractivos constituem as soluções óptimas (ou eficientes) do problema de optimização de Markowitz, dentro do conjunto das soluções admissíveis, obtendo na literatura as designações comuns de Conjunto dos Portfólios Eficientes ou de Fronteira Eficiente (Markowitz, 1952, 1959).
A designação de Fronteira Eficiente, em particular, deve-se ao facto de, no espaço geométrico Retorno-Risco, o conjunto dos portfólios eficientes se encontrar sobre a fronteira (superior28) do
Conjunto de Oportunidades de Investimento (Sharpe et al., 1998; Zhang & Lu, 2009; Fabozzi & Markowitz, 2011; Elton et al., 2014), mais precisamente entre o portfólio de variância mínima29
(Minimum Variance Portfolio, na literatura original) e o portfólio de máximo retorno esperado (Markowitz, 1952, 1959). Para a região de Oportunidades de Investimento anterior, considerando
28 Troço da fronteira eficiente acima e à direita do Portfólio de Variância Mínima.
29 Estando o Risco representado no eixo coordenado horizontal, expresso em termos de variância ou em
termos de desvio-padrão, o portfólio de variância mínima é o portfólio da Fronteira Eficiente que se situa mais à esquerda, aproximando-se tanto quanto possível da variância ou desvio-padrão zero.
o Portfólio E como portfólio de variância mínima, ter-se-ia a Fronteira Eficiente representada na Figura 4.3.
Figura 4.3 – Fronteira Eficiente (adaptado de Sharpe et al., 1998)
De facto, fixando um qualquer nível de risco (𝜎𝑃), há um portfólio na Fronteira Eficiente que gera um retorno esperado (Rp) mais elevado do que qualquer outro portfólio pertencente ao Conjunto
de Oportunidades de Investimento. Do mesmo modo, para qualquer nível de retorno esperado há um portfólio sobre a Fronteira Eficiente que minimiza o risco do investimento.
Considerando que os portfólios acima da Fronteira Eficiente não são atingíveis (não há uma combinação de ωi que permita obter tais pares Retorno-Risco) e que os abaixo da Fronteira são
sub-óptimos, o objectivo do problema do portfólio será, então, o de determinar os portfólios que constituem o Conjunto ou Fronteira Eficiente (Elton et al., 2014). Deste conjunto de portfólios, o investidor deverá seleccionar um, dependendo das suas preferências de retorno-risco (Markowitz, 1952, 1959, 1999; Elton & Gruber, 1997; Zhang & Lu, 2009; Franco-Laverde, Littlewood, Ellis, Schraner & Varua, 2012).
4.6.3. Efeito da Correlação na Fronteira Eficiente
Conhecendo agora as expressões matemáticas do modelo e os conceitos teóricos de diversificação e Fronteira Eficiente, pode mostrar-se o efeito dos coeficientes de correlação sobre a eficácia da diversificação. Este efeito advém do facto de os coeficientes de correlação integrarem a expressão matemática do risco do portfólio, o que afecta a configuração geométrica da Fronteira Eficiente (que é constituída por pares ordenados risco-retorno) e, por extensão, a eficácia da diversificação. Ryals et al. (2007), Vernimmen et al. (2009), Fabozzi e Markowitz (2011) e Elton et al. (2014) são alguns dos autores que abordaram esta questão, apresentando-se neste texto a demonstração
geométrica de Vernimmen et al. (2009), para dois activos, que ilustra com clareza o efeito de diferentes coeficientes de correlação na diversificação (Figura 4.4). Deve notar-se que para portfólios de dois activos, contrariamente ao que sucede nos portfólios com n, o Conjunto de Oportunidades de Investimento não é uma região, mas sim uma curva, não havendo outras opções de investimento para além dos pontos que a constituem. As extremidades da curva são respeitantes aos portfólios constituídos na totalidade por apenas um dos dois activos.
Figura 4.4 – Impacto do Coeficiente de Correlação no Risco do Portfólio (Fonte: Vernimmen et al., 2009)
Tem particular interesse a curva de oportunidades de investimento alusiva à correlação inversa perfeita (ρ = −1), cujo portfólio de variância mínima apresenta um risco específico nulo, isto é, totalmente reduzido por meio da diversificação. Por oposição, o portfólio de variância mínima da curva de oportunidades de investimento referente a uma correlação perfeita (ρ = 1) corresponde ao portfólio composto por 100% de acções da Heineken, isto é, a um portfólio não-diversificado, constatando-se ainda que, nesse caso, a diversificação contribui apenas para o aumento do risco total do portfólio. Conclui-se daqui que, à medida que o coeficiente de correlação entre activos aumenta, diminui a eficácia da diversificação sobre a redução do risco, comprovando as crenças de Markowitz (1952, 1959, 1999).