Caractère bien-posé en Gevrey pour des transitions faiblement hy-

Limites de l'analyse de Colombini, Janelli et Spagnolo

Après une description de l'article fondateur [CJS83] et de ses deux principaux successeurs [CN07] et [CNR], nous revenons aux calculs présentés dans la Section 1.3.1, et plus partic-

1.3. CARACTÈRE BIEN-POSÉ DE SYSTÈMES FAIBLEMENT HYPERBOLIQUES33 ulièrement à l'inégalité (1.3.6). Avec en tête le système (1.3.1), qui correspond à l'équation (1.3.2) avec a(t, x) = t + x2_{, on considère le cas a(t) = t, ce qui donne dans l'inégalité}

(1.3.6): Eε(t, ξ) . exp Z t 0 a0(s) a(s) + εds + tε 1/2_|ξ|  Eε(0, ξ) . ε t + εetε 1/2 |ξ| Eε(0, ξ). (1.3.9)

On peut à présent poser ε = |ξ|−2 _{et obtenir une croissance polynomiale en |ξ| de l'énergie,}

et non plus sous-exponentielle. L'énergie est donc contrôlée en norme Sobolev, et plus seulement en norme Gevrey. On note que ce calcul s'étend en fait à tout coecient a(t) dont la dérivée est positive au voisinage de t = 0.

Cette remarque est à mettre en parallèle à la preuve d'optimalité du résultat de [CJS83], donnée dans le même papier et reposant sur la construction d'un contre-exemple rapidement oscillant à t = 0. En particulier, le contre-exemple donné dans [CJS83] change de sens de variations une innité de fois au voisinage de t = 0, ce qui nous empêche d'appliquer le raisonnement ci-dessus.

Aussi, comme nous l'avons mentionné plus haut dans la Section 1.3.2, le coecient a(t) = tne vérie pas l'inégalité de Glaeser sur les segments [0, T ] avec T > 0. L'inégalité (1.3.9) nous permet ainsi de contourner ce problème, et de prouver une estimation d'énergie meilleure que celle attendue d'après le travail de [CJS83].

Symbole adapté et métriques dans l'espace des phases Dans notre travail présenté au Chapitre 4, nous étudions le système

∂tu1 u2  =  0 1 t + x2 0  ∂xu1 u2  + F (u)u (1.3.10)

avec x ∈ R et F (u) = F (t, x, u) analytique. On notera pour la suite a(t, x) = t + x2_.

La discussion précédente mettant en avant le poids (a(t, 0) + ε(ξ))−1 _{dans l'énergie, on}

considère l'opérateur pseudo-diérentiel op(b) avec pour symbole

b(t, x, ξ) = a(t, x) + hξi−c
−1/2 (1.3.11) avec c ∈ (0, 2). L'ordre du symbole b dépend du temps. En eet, pour t = 0, le symbole vérie b(0, x, ξ) ≤ hξic/2 _{uniformément en x au voisinage de x = 0. En revanche, pour}

tout t ≥ t > 0, on a b(t, x, ξ) ≤ t−1/2_{, uniformément en (t, x, ξ).}

Pour réconcilier ces deux points de vue (ordre c/2 à t = 0, ordre 0 pour t ≥ t > 0) on utilise la notion de métrique dans l'espace des phases, en dénissant la métrique

g_(x,ξ)t (dx, dξ) = b(t, x, ξ)2|dx|2+ hξi−2|dξ|2

qui dépend du temps. Associée à cette métrique et pour tout poids M = M(t, x, ξ) ≥ 0, on dénit la classe de symboles S(M, gt_{) comme étant l'ensemble des fonctions f, C}∞_sur

R × Rd× Rd, et qui vérient les inégalités   ∂ α x∂ β ξf (t, x, ξ)    .M (t, x, ξ) b(t, x, ξ) |α|_hξi−|β| _(1.3.12)

34 CHAPTER 1. INTRODUCTION uniformément en (t, x, ξ), et pour tout (α, β) ∈ Nd_{× N}d _{(sur les métriques dans l'espace}

des phases, les classes de symboles associées et le calcul pseudo-diérentiel sur de telles métriques, voir l'Appendice 4.4.2 du Chapitre 4 et le livre de Nicolas Lerner [Ler11]). Comme a(0, x) = x2 _{vérie l'inégalité de Glaeser, on peut montrer en particulier que}

b ∈ S(b, gt), qui est inclus dans S_1,c/2c/2 . Estimations d'énergie

En poursuivant la discussion de la Section 1.3.4, on dénit le symétriseur

S =diag(1, b) (1.3.13) et l'énergie E = 1 2   op(S)e τ (t)Dσ u    L2. (1.3.14)

avec τ(t) = τ0− τ t. En dérivant par rapport au temps, on obtient

∂tE = Re hop(S)∂tv, op(S)vi + Re hop(∂tS)v, op(S)v2i

en posant v(t) = eτ (t)Dσ

u(t). Comme u est solution du système (1.3.10), on calcule ∂tv = −τ Dσv + eτ D σ ∂tu = −τ Dσv + eτ Dσ  0 1 a(t, x) 0  ∂xu + eτ D σ F (u)u = −τ Dσv +  0 1 a(τ ) 0  ∂xv + F (u)(τ )v (1.3.15)

en notant l'opérateur de conjugaison de a(t, x) avec l'opérateur Gevrey a(τ )= eτ Dσa e−τ Dσ

et de même

F (u)(τ ) = eτ DσF (u) e−τ Dσ.

En reportant l'égalité (1.3.15) dans la dérivation de l'énergie, on obtient

∂tE = −τ Re hop(S)Dσv, op(S)vi (1.3.16) +Re hop(S)  0 1 a(τ ) 0  ∂xv, op(S)vi (1.3.17)

+Re hop(∂tS)v, op(S)v2i (1.3.18)

+Re hop(S)F (u)(τ )v, op(S)vi. (1.3.19) Le terme (1.3.16) est typique d'une estimation d'énergie Gevrey, et provient de la déri- vation en temps de l'opérateur Gevrey eτ Dσ

. On note en particulier que ce terme est donc d'ordre supérieur à E: le terme (1.3.16) contrôle Dσ/2_{op(S)ven norme L}2_{, alors que}

E = 1₂|op(S)v|_L2. Le signe négatif de (1.3.16) permettra donc de contrôler les termes de

1.3. CARACTÈRE BIEN-POSÉ DE SYSTÈMES FAIBLEMENT HYPERBOLIQUES35 Concentrons-nous à présent sur le terme (1.3.17), central dans notre analyse. En utilisant la dénition (1.3.13) du symétriseur S, on obtient

op(S)2  0 1 a(τ ) 0  =  0 1 op(b)2a(τ ) 0  .

Pour étudier l'opérateur op(b)2_a(τ )_{, nous allons utiliser à la fois les propriétés du calcul}

pseudo-diérentiel sur les métriques non-plates, et les propriétés de l'opérateur a(τ )_{, en}

utilisant les résultats du Chapitre 5 sur la conjugaison par un opérateur Gevrey. En particulier,

a(τ )− a = op(R) + opS_1,0−2(1−σ) (1.3.20) et R est dans S(b−1_h·iσ−1_{, g}t_{), en utilisant la dénition (1.3.12). Puis, par dénition}

(1.3.11), on obtient

a(τ )= op(b−2) − op h·i−c
+ op(R) + op 

S_1,0−2(1−σ) 

et nalement

op(b)2a(τ )= op(b)2op(b−2) − op(b)2op h·i−c
+ op(b)2op(R) + op(b)2op 

S_1,0−2(1−σ) 

. Dans le cadre des métriques non plates et du calcul pseudo-diérentiel associé, un Lemme de composition est vérié:

op(b)2op(b−2) = Id + op S bh·i−1, gt

. En revenant au terme (1.3.17), on obtient donc

Re hop(S)  0 1 a(τ ) 0  ∂xv, op(S)vi = Re h 

Id + op S bh·i−1, gt

− op(b)2op h·i−c
+ op(b)2op(R) + op(b)2op 

S_1,0−2(1−σ)  

∂xv1, v2i

+ Re h∂xv2, v1i

= Re hop S bh·i−1, gt

− op(b)2_{op h·i}−c
_{+ op(b)}2_{op(R) + op(b)}2_op_S−2(1−σ) 1,0

 

∂xv1, v2i.

Grâce à la dénition de b et de S, une annulation essentielle apparaît ainsi dans l'estimation d'énergie. Il ne reste donc plus qu'à contrôler les termes de reste, grâce au terme (1.3.16). En utilisant le contrôle de op(S)Dσ/2_{v en norme L}2_{, on écrit, à termes de reste près}

venant de compositions d'opérateurs pseudo-diérentiels, Re h



op S bh·i−1, gt

− op(b)2op h·i−c
+ op(b)2op(R) + op(b)2op  S_1,0−2(1−σ)   ∂xv1, v2i ≈ Re hop S h·i−σ, gt

+ op S bRh·i1−σ_{, g}t

 Dσ/2v1, op(b)Dσ/2v2i (1.3.21) + Re h  − op S bh·i1−c−σ, gt

+ op S bh·i−1+σ, gt

 Dσ/2v1, op(b)Dσ/2v2i. (1.3.22)

36 CHAPTER 1. INTRODUCTION La première ligne (1.3.21) est constituée des termes principaux, et chaque opérateur agit bien dans L2_{. En eet, le premier opérateur op S h·i}−σ_{, g}t

agit bien de manière con- tinue dans L2_{, car S h·i}−σ_{, g}t

⊂ S_1,c/2−σ . De plus, comme R ∈ S(b−1_h·iσ−1_{, g}t_{), on a}

S bRh·i1−σ, gt
⊂ S(1, gt), et les opérateurs de symbole dans ce dernier espace agissent bien continûment sur L2_.

La deuxième ligne (1.3.22) est constituée de termes de restes, mais c'est elle qui mène aux contraintes sur c et σ. En eet, on a d'une part

op S bh·i1−c−σ, gt

∈ op 

S_1,c/21−c/2−σ 

car b ∈ S(b, gt_{) ⊂ S}c/2

1,c/2. L'opérateur agit continuement sur L

2 _{à la condition que}

1 − c/2 − σ ≤ 0. D'autre part, pour la même raison on a

op S bh·i−1+σ, gt

∈ opS_1,c/2c/2−1+σ qui agit continûment sur L2 _si

c/2 − 1 + σ ≤ et donc nalement

c = 2(1 − σ). (1.3.23)

En résumé, si c vérie (1.3.23), on a montré l'estimation |(1.3.17)| .

op(S)D

σ/2_v 

L2.

Il nous reste à étudier les termes (1.3.18) et (1.3.19). Le premier concerne la dérivée op(∂tS) =



0 0

op(∂tb) 0



. Par dénition (1.3.11) de b, on calcule ∂tb = − 1 2∂ta a(t, x) + hξi −c
−3/2 = −1 2b 3

car ∂ta = ∂t(t + x2) = 1 dans cette introduction. Pour (t, x) susamment petits, on a

b ≥ 1et donc ∂tb ≤ −1/2: on montre ainsi, dans la Section 4.3.3, que

hop(∂_tS)v, op(b)vi ≤ 0.

Enn, concernant les termes non-linéaires (1.3.19), nous avons besoin d'un lemme d'action d'opérateurs de la forme F (u)(τ ) _{= e}τ Dσ_{F (u)e}−τ Dσ

dans Hσ/2_{. Un tel résultat fait l'objet}

de nos travaux du Chapitre 5, que nous décrirons juste après dans la Section 1.4. En sup- posant ici un tel résultat, il reste à contrôler les termes non-linéaires par op(S)Dσ/2v

L2.

Dans (1.3.19), le terme d'ordre le plus grand est Re hop(b)



F (u)(τ ) 

1.4. OPÉRATEURS PSEUDO-DIFFÉRENTIELS SUR LES ESPACES DE GEVREY37 car op(b)v1 n'est pas contrôlé en norme Hσ/2. On écrit alors

Re hop(b)  F (u)(τ )  2,1v1, op(b)v2i ≈ Re hD −σ op(b)  F (u)(τ )  2,1D σ/2_v 1, op(b)Dσ/2v2i

et comme F (u)(τ )_{agit continuement dans H}σ/2_{, il reste à prouver que l'opérateur D}−σ_op(b)

agit continuement dans L2_{. Comme b ∈ S(b, g}t_{) ⊂ S}c/2

1,c/2, c'est chose faite dès lors que

0 ≥ −σ + c/2 = 1 − 2σ

en utilisant (1.3.23), ce qui donne bien la borne inférieure sur les indices Gevrey σ ≥ 1/2.