Dans cette partie on donne la construction du caractère de Chern topologique. Soit T ∈ dgCatC une catégorie. On rappelle qu’on a défini en 1.24, pour toute C-dg-catégorie T , un morphisme de Chern algébrique de préfaisceaux de spectres en k-modules,
ChT : K(T ) −→ HC−(T ).
En composant ce morphisme avec le morphisme canonique de k-modules HC−(T ) −→ HP(T ), on obtient un morphisme de k-modules,
K(T ) −→ HP(T ).
On applique alors le foncteur de réalisation topologique spectrale (qui est un foncteur monoïdal) pour obtenir un morphisme de bu-modules,
Kst(T ) = |K(T )|S−→ |HP(T )|S.
On utilise maintenant une formule de type Künneth pour l’homologie périodique. Le préfaisceau HP(T ) est donné par Spec(A) 7−→ HP(T ⊗L
CA). Le théorème de Kassel [Kas87, Thm 2.3] ainsi que [Kas87, Prop 2.4] implique l’existence pour toute C-algèbre commutative lisse A d’un morphisme naturel,
HP(T ) ∧LHC[u±1]HP(A) −→ HP(T ⊗LCA),
qui est une équivalence dans Sp. Ceci implique que le morphisme de préfaisceaux de spectres
HP(T ) ∧LHC[u±1]HP(∗) −→ HP(T )
est une équivalence sur les schémas affines lisses dans Sp(AffC). Le théorème 2.17 implique alors que le morphisme induit sur les réalisations topologiques spectrales,
HP(T ) ∧L|HP(∗)|S≃ |HP(T ) ∧LHC[u±1]HP(∗)|S−→ |HP(T )|S
est une équivalence dans Sp. On en déduit un isomorphisme |HP(T )|S≃ HP(T ) ∧LHC[u±1]|HP(∗)|S
dans Ho(Sp). En composant on a donc un morphisme
Kst(T ) −→ HP(T ) ∧LHC[u±1]|HP(∗)|S (11) qui est une transformation naturelle entre objet de Ho(SpdgCatC). Par conséquent pour obtenir un morphisme à valeurs dans HP(T ), on doit choisir un morphisme |HP(∗)|S−→ HC[u±1]. Par adjonction cela revient à choisir un morphisme HP(∗) −→ (HC[u±1])S,B. Le préfaisceau de spectres (HC[u±1])S,B est donné par
qui est la cohomologie de Betti 2-périodique du schéma affine X. On note HB[u, u−1] ce préfaisceau. D’autre part on note HB la cohomologie de Betti usuelle, c’est-à-dire la préfaisceau de spectres en HC-modules
X 7−→ RHomHo(Sp)(|X|S, HC),
dont les groupes d’homotopie stables sont les espaces vectoriels de cohomologie de Betti. On note HPalg le préfaisceau HP(∗) : Spec(A) 7→ HP(A). On cherche donc un morphisme HPalg −→ HB[u, u−1]. On considère le morphisme d’antisymétrisation standard,
HPalg−→ HnaiveDR
qui va de l’homologie périodique vers la cohomologie de de Rham naïve. Par cohomo-logie de de Rham naïve on entend le préfaisceau en spectres X 7→ Hnaive
DR (X), tel que HnaiveDR (X) est le spectre associé au complexe de de Rham algébrique de X, c’est-à-dire le complexe de C-espace vectoriels des formes différentielles algébriques partout définies sur le schéma affine X. On note Hnaive,anDR l’analogue de Hnaive
DR construit à partir des formes analytiques. L’inclusion des formes algébriques dans les formes analytiques induit un morphisme Hnaive
DR −→ Hnaive,anDR . Le morphisme évident de C dans le complexe de de Rham analytique induit un morphisme HB −→ Hnaive,anDR qui est une équivalence sur les schémas affines lissesf. On a donc des morphismes de préfaisceaux en spectres,
HPalg −→ HnaiveDR −→ Hnaive,anDR ←− HB, et le dernier est une équivalence sur les lissesg.
Notation 3.23. On note Sppro la structure de modèles propre locale sur la catégorie Sp(AffC) des préfaisceaux en spectres symétriques.
Par la remarque 2.18, le morphisme HB −→ Hnaive,anDR est donc une équivalence propre locale, c’est à dire un isomorphisme dans Ho(Sppro). On obtient donc un morphisme bien défini HPalg −→ HB dans la catégorie Ho(Sppro) et donc un morphisme
HPalg−→ HB[u, u−1]
dans Ho(Sppro). On rappelle alors la proposition 2.20 selon laquelle le foncteur de réa-lisation topologique reste de Quillen à gauche pour la stucture propre locale. Elle se généralise directement à la réalisation spectrale et on a une paire de Quillen,
Sppro
|−|S //Sp
HS,B
oo .
f. Ceci par le fait classique que pour une variété complexe lisse, le complexe de faisceaux des formes analytiques est une résolution injective du faisceau constant C.
g. En fait les deux autres morphismes de la chaîne sont aussi des équivalences sur les lisses par le théorème HKR et le théorème de Grothendieck respectivement. Mais nous n’avons pas besoin de ce fait.
Le morphisme HPalg −→ HB[u, u−1] = HS,B(HC[u±1]) donne par adjonction le mor-phisme annoncé
P : |HPalg|S= |HP(∗)|S−→ HC[u±1]
dans Ho(Sp). En composant le morphisme (11) avec ce qu’on vient d’établir on obtient donc un morphisme
ChstT : Kst(T ) −→ HP(T ) défini comme le composé
Kst(T ) |ChT|S Chst T //HP(T ) |HP(T )|S ∼ //HP(T ) ∧L HC[u±1]|HP(∗)|Sid∧L P //HP(T ) ∧L HC[u±1]HC[u±1] ≀ OO
Par les considérations faîtes au début de 3.1, la réalisation topologique spectrale peut se restreindre en un foncteur de Quillen à gauche sur les catégories de modules,
| − |S: k − M odS−→ bu − M odS.
On en déduit que tous les morphismes en jeu dans le rectangle précédent sont des mor-phismes de bu-modules et qu’on obtient de cette manière un morphisme
Chst : Kst −→ HP dans la catégorie Ho(bu−ModdgCatC
S ). Par abus de notations on notera Chst : Kst(T ) −→ HP(T ) en omettant l’indice T dans la notation. On note que pour toute C-dg-catégorie T on a un carré commutatif K(T ) Ch // η HP(T ) id Kst(T ) Chst//HP(T ) (12)
dans Ho(bu − ModS), où η est le morphisme naturel défini à la remarque 3.3 et le composé
HP(T ) //|HP(T )|S //HP(T ) ∧L
HC[u±1]|HP(∗)|Sid∧L
P
//HP(T ) est égal à l’identité dans EndHo(Sp)(HP(T )).
Maintenant il suffit de vérifier que l’image Chst(β) de la classe de Bott est inversible dans l’anneau HP(∗) = HC[u±1]. On utilise les notations 3.9. On suit alors la classe de Bott dans la K-théorie de P1. Comme cas particulier du carré (12), on a un carré commutatif de groupes abéliens
K0(P1) Ch // η HP0(P1) id Kst0(P1) Chst //HP0(P1)
On rappelle que η(α) = β et on choisit par exemple le générateur u ∈ HP0(P1) tel que Ch(α) = u. On vérifie alors Chst(β) = Chst(η(α)) = Ch(α) = u. Par la propriété universelle du localisé, on obtient pour toute C-dg-catégorie T un morphisme
ChtopT : Ktop(T ) −→ HP(T ).
Ceci définit un morphisme
Chtop : Ktop −→ HP dans Ho(BU − ModdgCatC
S ).
Théorème 3.24. Il existe un morphisme Chtop : Ktop −→ HP appelé le caractère de Chern topologique tel que le carré
K Ch //
HC−
Ktop Chtop//HP
est commutatif dans Ho(SpdgCatC).
Preuve. Découle directement du fait que le carré (12) est commutatif.