Cara térisation de la population sous ritique

An de mieux analyser la dynamique près du seuil ritique, nous pouvons également examiner lesfor es de depinningindividuelles:

σck(t) = σY(t, k) − σel(t, k) ,

(6.7) où

k = 1, 2, ..., L

2

est l'indi e de haque site d'un système de taille

L

. La gure 6.7 représente la distribution de toutes les for es de depinning individuelles

P (σck)

ave , en lignepointillée,leniveauduseuil ritique

σ

∗

≈ 0.276

.Nouspouvons lairementdistinguer deux diérentes populations de sites. Les sites ayant une for e de depinning supérieure au seuil ritique (

σck

> σ

∗

) forment la population majoritaire. De plus, les distributions de leurs for es de depinningparaissent similairespour diérentes tailles de système

L =

8, 16, 32, 64, 128, 256

.Enrevan he, lesdistributionsdes for es dedepinningdes sitessous- ritiques (

σck

< σ

∗

) semblent dépendre de

L

.

Sur la gure 6.8, nous avons tra é la proportion des sites sous- ritiques

P (σck

< σ

∗

)

enfon tionde latailledu système

L

.Lepoids relatifdelapartiesous- ritiqueenfon tion de la tailledu système est dé ritpar une loide puissan e telle que:

P (σck

< σ

∗

) ∝ L−s

_,

(6.8)

ave

s ≈ 1.34

. Ce i nous permet de dénir une dimension fra tale

ds

de l'ensemble des sites sous- ritiques :

P (σck

< σ∗) ∝ Lds/L2

,

(6.9) ainsi,

ds

= s + 2 ≈ 0.66

. Il est à noter quela dimensionfra tale pour uneligne élastique est approximativement de

0.35

[90℄.

−2

−1

0

1

2

3

10−15

10−10

10−5

100

σ_ck

P(

σ

ck

)

8x8

16x16

32x32

64x64

128x128

256x256

Figure6.7:Distributiondesfor esdedepinningindividuelles

P (σck)

pourdiérentes taillesdesystème

L = 8, 16, 32, 64, 128, 256

;lalignepointilléeindiqueleseuil ritique

σ∗

: lapartie sous- ritique (

σck

< σ

∗

) dépend delataille du système

L

.

101

102

10−4

10−3

10−2

10−1

L

P(

σ

ck

<

σ

*

)

L−1.34

Figure 6.8: Le poids relatif de la partie sous- ritique

P (σck

< σ

∗

)

en fon tion de la taille du système

L

: dé rit par une loi de puissan e

P (σck

< σ

∗

) ∝ L−s

ave

s ≈ 1.34

.

sans pour autantavoirété "dépinglé"mais simplementrelaxéen raisondes ontributions négativesde lafon tion de Green. Nouspourrons ainsi étudier, par exemple, lelien qu'il peut yavoirentre letemps deséjour d'unsite, lenombre depas de tempsdurantlesquels il reste dans la zone sous- ritique avant de "dépingler" et/ou quitter ette zone, et son âge, le nombre de pas de tempsdepuis sa dernière a tivation.

6.5 Con lusion

Cara térisé par une dynamiqueextrémale ave des onditions quasi-statiques, e modèle de plasti ité nous a permis d'analyser les distributions des for es de depinning. En fai- santtendrelatailledu sous-systèmeétudiévers l'inni,lesdistributionstendent vers une distributionDira entréeàun seuil ritique

σ

∗

.Ce dernierpeutêtre déniparl'extrapo- lation de l'é art type des for es de depinningen fon tion de leur moyenne, de telle façon quele roisemententre ette extrapolationetl'axede lamoyenne représente

σ

∗

. Ensuite, nous avons tenté de superposer es distributions sur une ourbe maîtresse, révélant une formeuniverselle,maislaremiseàl'é helleutilisées'estavéréeinsusante. Parallèlement, nous avons pu déterminer la proportion des sites sous- ritiques par l'étude des for es de depinningindividuelleset ainsi dénirleur dimension fra tale

ds≈ 0.66

.

Con lusion et perspe tives

Partantdel'hypothèsequeladéformationplastiquema ros opiquedesmatériauxamorphes estunesu essionderéorganisationsindividuellesetlo alisées,nousavonsdéveloppépour e travailde thèse un modèle mésos opique,appartenant àlafamilledes modèles de pin- ning, pour étudier l'eet des intera tions élastiques induites par es réarrangements sur le omportementplastique.Après avoirprésenté lemodèle etlasolutionanalytiquede la réponse élastiqueà unedéformationplastique en isaillementd'unein lusionau hapitre 1, nous nous sommes on entrés au hapitre 2 sur le passage dis ret/ ontinu de ette dernière qui demeure un point lé ettrès sensible aux détailsnumériques.

Ce modèle nous a permis en premier lieu de retrouver un omportement ma ros o- pique omparableà eluiobtenulorsd'untest mé aniqueetde fournirune interprétation statistique pour le phénomène d'é rouissage au hapitre 3. Au hapitre 4, nous avons pu démontrer que les événements su essifs sont fortement orrélés et ainsi mettre en éviden ela lo alisationde es événements ave une anisotropie des positionnementsrela- tifs, ara tériséepar lamêmesymétriequadripolairequelafon tionde redistributiondes ontraintes élastiques.Au-delàdu omportementdumodèleentantquesimplesu ession de réarrangements individuels et lo alisés, nous avons étudié le phénomène d'avalan he d'événementsplastiquesau hapitre5.Le hapitre6,quantàlui,aété onsa réàl'analyse des for esdedepinningauvoisinagedeseuil ritiqueetla ara térisation delaproportion des sites sous- ritiques.

Les résultatsde e modèle s alaire,basé sur la" ompétition"entre désordre et inter- a tions élastiques,suggèrent plusieurs perspe tives :

- Dans les simulations présentées, nous avons imposé aux déformations lo ales la mêmedire tion que ladéformationma ros opiqueen isaillementdu système. An d'ajouter un degré de liberté et ainsi espérer mieux analyser les réarrangements lo aux, un désordre dire tionnel peut être implémentédans le modèle.

- Pour une des ription plus réaliste de la plasti itédes amorphes, e modèle, qui est s alaire, doit prendre en ompte l'aspe t tensoriel du problème. Il est essentiel de permettre ausystèmedes modi ationslo ales tanten termede isaillementquede volume. Ce i onstitue sans doute un point très important pour la ompréhension des mé anismes de déformation.

- Pour pouvoir atteindre des systèmes de grande taille et ainsi parfaire les analyses d'un tel modèle mésos opique, il est envisageable de développer une version ave

réorganisation,ledéveloppementd'un pro édé permettant une ara térisation plus nede esréarrangementsave dessimulationsdetypedynamiquemolé ulairepeut être suggéré.

Ce modèle statistique à l'é helle mésos opique, a priori basé sur des ingrédients très simples, ouvre don divers hamps de travailintéressants.

Annexe A

Identi ation d'événements plastiques

lo alisés par intégrale de ontour

Partantduprin ipemé aniqueélémentairedeszonesderéorganisationstru turelle("shear transformation zones",STZ)pourdé rirelaplasti itédesmatériauxamorphes,une ques- tion ru ialeest : ommentidentieretanalyser es régions?Plusieursétudesnumériques ontré emmentétéréaliséespouridentier esévénementsplastiquesélémentaireslo alisés par des simulationsen dynamiquemolé ulaire de matériauxamorphes sous isaillement: ave des verres Lennard-Jones[25, 24℄ etdes verres métalliques [54℄, par exemple.

De manière analogue à l'intégrale

J

de Ri e [91℄, développée pour estimer l'intensité d'une singularité d'un hamp de ontrainte autour d'un front de ssure, l'obje tif i i est de apter les singularités du hamp de ontrainte induit par les déformations plastiques lo ales.À grandedistan e, es réorganisationspeuvent êtretraitées ommedes in lusions d'Eshelby [78℄. Nous développons en deux dimensions une appro he simple basée sur le formalismede Kolossov-Muskheli hvili[79℄ du plan élastique.

Ce formalismenous permetde réé rire, par une expansionen loide puissan e des va- riablesduplan omplexe,les hampsdedépla ementetde ontrainteélastiqueinduitspar une in lusionplastique. Loindu entre de lazonedéformée, les ontributions dominantes sont asso iées au premier ordre des singularités, de symétrie dipolaire ou quadripolaire, orrespondant respe tivement à une déformation plastique volumique pure ou à une dé- formation déviatorique pure d'une in lusion ir ulaire. Par la onstru tion de fon tions holomorphes à partir du hamp de dépla ement et de ses dérivées, il est possible de dé- nir une intégrale de Cau hy au ontour indépendant an de apter l'amplitude de es singularités.

Les expressions analytiques ainsi que des tests numériques, basés sur des simulations par élémentsnis,sont présentés danslapubli ationquenous avons miseen piè e jointe. Malgrélasatisfa tiondespropriétésd'orthogonalitéetd'indépendan evisàvisdu ontour hoisi, la robustesse numérique de ette méthode s'avère faible en raison de la né essité d'évaluer lesdérivées du hamp de dépla ement.

Path-independent integrals to identify localized plastic events in two dimensions

Mehdi Talamali,1Viljo Petäjä,1Damien Vandembroucq,1,2and Stéphane Roux3

1_{Unité Mixte CNRS–Saint-Gobain “Surface du Verre et Interfaces”, 39 Quai Lucien Lefranc, 93303 Aubervilliers cedex, France}

2

Laboratoire PMMH, ESPC, CNRS, Paris 6, Paris 7, 10 rue Vauquelin, 75231 Paris cedex 05, France

3

LMT-Cachan, ENS de Cachan, CNRS-UMR 8535, Université Paris 6, PRES UniverSud, 61 avenue du Président Wilson, F-94235

Cachan cedex, France

sReceived 28 January 2008; revised manuscript received 2 June 2008; published 22 July 2008d

We use a power expansion representation of plane-elasticity complex potentials due to Kolossov and

Muskhelishvili to compute the elastic fields induced by a localized plastic deformation event. Far from its

center, the dominant contributions correspond to first-order singularities of quadrupolar and dipolar symmetry

which can be associated, respectively, with pure deviatoric and pure volumetric plastic strain of an equivalent

circular inclusion. By construction of holomorphic functions from the displacement field and its derivatives, it

is possible to define path-independent Cauchy integrals which capture the amplitudes of these singularities.

Analytical expressions and numerical tests on simple finite-element data are presented. The development of

such numerical tools is of direct interest for the identification of local structural reorganizations, which are

believed to be the key mechanisms for plasticity of amorphous materials.

DOI:10.1103/PhysRevE.78.016109

PACS numberssd: 62.20.F2, 46.15.2x, 02.30.Fn, 81.05.Kf

I. INTRODUCTION

The plasticity of amorphous materials has motivated an

increasing amount of study in recent years. In the absence of

an underlying crystalline lattice in materials such as foams,

suspensions, or structural glasses, it is generally accepted

that plastic deformation results from a succession of local-

ized structural reorganizationsf1–4g. Such changes of local

structure release part of the elastic strain to reach a more

favorable conformation and induce long-range elastic fields.

The details of such local rearrangements and of the internal

stress they induce obviously depend on the precise structure

of the material under study, and its local configuration. How-

ever, the important observation is that outside the zone of

reorganization a linear elastic behavior prevails. Therefore,

elastic stresses can be decomposed onto a multipolar basis

and, independently of the material details, it is possible to

extract singular, scale-free, dominant terms which can be as-

sociated with a global pure deviatoric or pure volumetric

local transformation of an equivalent circular inclusion. In

particular, the elastic shear stress induced by a localized plas-

tic shear exhibits a quadrupolar symmetry. This observation

has motivated the development of statistical models of amor-

phous plasticity at the mesoscopic scale based upon the in-

teraction of disorder and long-range elastic interactions

f5–8g. In the same spirit, statistical models were also recently

developed to describe the plasticity of polycrystalline mate-

rialsf9g. Several numerical studies have been performed re-

cently to identify these elementary localized plastic events in

athermal or molecular dynamics simulations of model amor-

phous materials under shearf10,11g.

The question remains of how to identify and analyze these

transformation zones. In analogy with the path-independent

Rice J integralf12g developed to estimate the stress intensity

factor associated with a crack tip stress singularity, we aim

here at capturing the stress singularity induced by the local

plastic transformation which can be treated as an Eshelby

inclusionf13g. In two dimensions, we develop a simple ap-

proach based upon the Kolossov-Muskhelishvili

sKMd for-

malism of plane elasticityf14g. This is an appealing pathway

to the solution since these zones will appear as poles for the

potentials, and hence Cauchy integrals may easily lead to

contour integral formulations which are independent of the

precise contour geometry, but rather rely on its topology with

respect to the different poles that are present.

Although these techniques have been mostly used in the

context of numerical simulations in order to estimate stress

intensity factors from finite-element simulations, they are

now called for to estimate stress intensity factors from ex-

perimentally measured displacement fields from, e.g., digital

image correlation techniques. In this case, interaction inte-

gral techniques

f15g or least squares regression f16g tech-

niques have been applied. Noise-robust variants have also

been proposedf17g. These routes could also be followed in

the present case.

Though the present work is restricted to two dimensions

due to the complex potential formulation, similar questions

can be addressed for the three-dimensional version of this

problem using the same strategy but a different methodology.

In the following, we briefly recall the KM formalism, we

give analytic expressions for the contour integrals allowing

us to capture the singular elastic fields, and we present a few

numerical results based on a finite-element simulation sup-

porting our analytical developments.

In Sec. II, we present the theoretical basis of our approach

in terms of singular elastic fields, while in Sec. III we intro-

duce the contour integral formulation. In Sec. IV, a numerical

implementation based on finite-element simulations is pre-

sented, together with the results of the present approach. This

application allows us to evaluate the performance and limi-

tations of the contour integral procedure and check the det-

rimental effect of discreteness. Section V presents the main

conclusions of our study.

II. POTENTIAL FORMULATION

In two dimensions, the Kolossov-Muskhelishvili poten-

tials can be used to write the elastic stress and displacement

PHYSICAL REVIEW E 78, 016109s2008d

duce the elastic displacement U = Ux+ iUyand the stress ten-

sor field through two functions, the real trace S0= sxx+ syy

and the complex function S = syy− sxx+ 2isxy. In the frame-

work of linear elasticity, the balance and compatibility equa-

tions can be rewritten as

S0,z− S,z¯= 0,

s1d

S0,zz¯= 0,

s2d

where z = x + iy is the complex coordinate and the notation A_,x

is used to represent the partial derivative of field A with

respect to coordinate x. Note that we assumed zero surface

density force and that Eq.s2d is here the classical Beltrami

equation which expresses the kinematic compatibility condi-

tion in terms of stress. The general solution to these equa-

tions can be obtained through the introduction of two holo-

morphic functions w and

c, called the KM potentials. The

displacement and the stress field can be writtenf14g

2mU =kwszd − zw8szd −cszd,

s3d

S0= 2fw8szd + w8szdg,

s4d

S = 2fz¯w9szd +c₈szdg,

s5d

where

m

is the elastic shear modulus and

k=s3 − 4nd for

plane strain ands3 − nd / s1 + nd for plane stress, n being the

Poisson ratio.

III. PLASTIC INCLUSION AND SINGULARITY

APPROACH IN TWO DIMENSIONS

A. Singular terms associated with plastic inclusion

This KM formalism can be applied to two-dimensional

inclusion problems

f18,19g. Let us consider the case of a

small inclusion of area A experiencing plastic deformation

and located at the origin of the coordinate system z = 0. It is

assumed that the stress is a constant at infinity. Outside the

inclusion, the KM potentials can be expanded as a Laurent

series as

wszd =aoutz+o

n=1

`

wn

zn,

cszd =b

out_z+o

n=1

`

cn

zn.

s6d

The linear terms can be easily identified as corresponding to

uniform stresses while constant termssomitted hered would

lead to a rigid translation. It can be shown in addition that the

dominant singular terms w1/z

and

c1/z

can be associated

with the elastic stress induced by the plastic deviatoric and

volumetric strain of an equivalent circular inclusion of area

A. That is, considering a circular inclusion experiencing a

plastic shear straingpand a plastic volumetric strain

dpwe

havef18g

w1=

2imA_gp

psk+ 1d,

c1= −

2mA_dp

psk+ 1d.

s7d

In particular, for a pure shear plastic event we obtain a qua-

drupolar symmetry:

sxy= −

k+ 1pr2coss4ud.

s8d

Note that we have in general to consider a complex value of

gpto include the angular dependence of the principal axis. In

contrast, the amplitude

c1

is a real number

snote that the

imaginary part would correspond to a pointlike torque ap-

plied at the origind.

B. Generic character of the expansion

Because of the well-known property of Eshelby circular

inclusion, the above expansion limited to the

c1

and

f1

terms only is the exactsouterd solution of a uniform plastic

strain distributed in the inclusion, and vanishing stress at

infinity. However, one should note that this result is much

more general. Indeed, it is seen that the physical size of the

inclusion does not enter into the solution except through the

products Agpand Adp. Therefore, a smaller inclusion having

a larger plastic strain may give rise to the very same field,

provided the products remain constant. Thus one can con-

sider the prolongation of the solution to a pointlike inclusion

swith a diverging plastic straind as being equivalent to the

inclusion.

Then from the superposition property of linear elasticity, a

heterogeneous distribution of plastic strain

gpsxd in a com-

pact domain D will give rise to such a singularity with an

amplitude equal to

fAgpgeq=EE

D

gpsxddx

s9d

and the same property would hold separately for the volu-

metric part. As a particular case, one finds a uniform plastic

strain for an inclusion of arbitrary shape.

This is the key property that allows us to capture the

equivalent plastic strain of an arbitrary complex configura-

tion, for the above mentioned application to amorphous me-

dia. In fact, this is even the only proper way of defining the

plastic strain for a discrete medium as encountered in mo-

lecular dynamics simulations. The far-field behavior of the

displacement and stress field can be accurately modeled, and

without ambiguity, by a continuum approach, and thus the

above result will hold. In contrast, locally, the large-scale

displacement of several atoms may render difficult the direct

computation of the equivalent plastic strain experienced in

such an elementary plastic event.

Let us, however, stress one difficulty: As the above argu-

ment ignores the details of the action taking place within the

“inclusion,” plasticity has to be postulated. However, a dam-

aged inclusion, where the elastic moduli have been softened

by some mechanism, or even a nonlinear elastic inclusion at

one level of loading, would behave in a similar way to the

above plastic inclusion. Obviously, to detect the most rel-

evant physical description, one should have additional infor-

mation, say about unloading. If the above amplitudes remain

constant during unloading, plasticity would appear appropri-

ate. If the amplitude decreases linearly with the loading, then

damage is more suited. Finally, if the amplitudes varies re-

versibly with the loading, nonlinear elasticity might be the

best description. Thus, although one should be cautious in

the interpretation, local damage detection from the far field

may also be tackled with the same tools.

C. Path-independent contour integrals

In two dimensions, this multipole expansion formalism in

the complex plane suggests resorting to contour integrals to

extract the singularities. However, the displacement field is

not a holomorphic function and cannot be used directly for

that purpose. The strategy of identification of the singulari-

ties wnandcnthus consists of expressing the potentials from

the displacement field and its derivatives in order to extract

the singularities via Cauchy integrals. We now simply ex-

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