2.3 Capteurs utilisés pour la navigation
2.3.1 Les capteurs inertiels
Les premiers capteurs inertiels sont apparus au début du 19ème siècle. Ces outils permettent de réaliser des mesures de mouvement sans information extérieure en utilisant les lois de la phy-sique et notamment le principe d’inertie [MEYERSON, 1985]. Ces capteurs sont donc particuliè-rement appréciés pour la navigation et ont rapidement été utilisés dans cette optique dans la deuxième moitié du 20ème siècle. De ce fait, ils ont connu des évolutions remarquables au cours des dernières décennies, que ce soit en terme de précision ou en terme de miniaturisation, notam-ment de par leur utilisation dans les domaines de l’aéronautique et de la robotique. Les capteurs inertiels comprennent deux types de capteurs : les accéléromètres et les gyromètres. Lorsque dif-férents capteurs sont combinés dans une même plateforme (généralement 3 accéléromètres et 3 gyromètres pour une analyse en 3 dimensions), on parle alors d’une centrale inertielle ou IMU (Inertial Measurement Unit). La sensibilité et la précision des capteurs sont traditionnellement liées à leur taille, et il existe de nombreuses gammes de capteurs. Dans ce travail, nous nous in-téressons principalement aux capteurs de type MEMS (Micro-Electro-Mechanical Systems). Ces capteurs sont très utilisés en navigation, car ils ont l’avantage d’être bas coût et de petites tailles.
2.3.1.1 L’accéléromètre
L’accélération est définie comme la dérivée temporelle de la vitesse. Un accéléromètre a ainsi pour objectif de mesurer les variations de vitesse d’un objet. Selon la deuxième loi de Newton, l’accélération subie par un corps dans un référentiel inertiel est proportionnelle à la résultante des forces qu’il subit, et inversement proportionnelle à sa masse :
F = m.ai, (2.1)
où F est la somme des forces appliquées, m la masse et ai l’accélération du mobile. Cette loi est valable dans un référentiel inertiel, c’est à dire un référentiel qui ne subit ni accélération, ni rota-tion (FARRELL[2008]). Lorsque l’on s’intéresse à des forces inertielles appliquées à une masse en présence du champ de gravitation terrestre, l’équation devient :
F −GMem
R2 = m.ai (2.2)
fi+ gi= ai, (2.3)
où G est la constante universelle de gravitation, Meest la masse de la terre et R le rayon de la terre. gi= −GMeR2m est l’accélération de la pesanteur et fi= F/m est appelée force spécifique.
Ainsi, un accéléromètre ne mesure pas directement l’accélération mais la force spécifique qui combine l’accélération dans le référentiel inertiel et l’accélération due à la pesanteur terrestre.
Le principe de mesure de base d’un accéléromètre est celui d’une masse en suspension liée à un ressort (cf. Figure 2.3).
FIGURE2.3 – Principe d’un accéléromètre simple à ré-équilibrage de force
On parle alors d’accéléromètres à ré-équilibrage de force [RENAUDIN, 2020], ou système pen-dulaire : lorsqu’une force est appliquée au capteur, le déplacement de la masse par rapport à sa position d’équilibre selon son axe sensible est proportionnel à la force spécifique :
ai= gi− K
mX, (2.4)
Avec K la constante de raideur du ressort et X le déplacement de la masse. La force de rappel du ressort −Kx correspond ici à la somme des forces inertielles appliquées au ressort. Ainsi en remplaçant −mKX par la force spécifique fi, nous retrouvons l’équation (2.3). D’autres méthodes sont également utilisées, avec des précisions et des utilisations qui varient. On peut notamment distinguer les accéléromètres vibratoires, optiques, électrostatiques ou encore fluides. Les accélé-romètres de type MEMS sont généralement de type vibratoires ou pendulaires.
La mesure du signal d’un accéléromètre peut être modélisée de la façon suivante :
ya= fb+ bab+ ηa, (2.5) Où :
• yaest la mesure de l’accéléromètre ;
• fb= ab− gb est la force spécifique exprimée dans le repère Body, avec ab l’accéléra-tion et gbl’accélération de la pesanteur ;
• bbaest le biais de l’accéléromètre, exprimé dans le repère Body ; • ηaest un bruit blanc gaussien centré de varianceσ2
a
2.3.1.2 Le gyromètre
Le gyromètre est un capteur permettant de mesurer une vitesse angulaire. Il se distingue du gy-roscope qui permet lui de déterminer une position angulaire. Le fonctionnement des gyromètres est basé sur différents principes physiques. Ainsi, les gyromètres mécaniques à élément rotatif uti-lisent le principe d’inertie et la conservation du moment angulaire : une masse isolée en rotation tend à conserver sa position angulaire même si son support change de position suite à l’applica-tion d’une force extérieure. Il est alors possible de calculer la vitesse angulaire imposée en mesu-rant l’angle parcouru par chaque axe du support au cours du temps. Les gyromètres optiques en revanche utilisent l’effet Sagnac : le temps de propagation de deux faisceaux se déplaçant en sens inverse, selon un même chemin optique soumis à une rotation, diffère. La rotation génère une différence de phase entre les faisceaux lumineux. Cette différence de phase est liée à la vitesse de rotation.
Enfin, les gyromètres de types vibratoires utilisent le principe de Coriolis et un élément vibrant pour mesurer la vitesse angulaire : l’accélération de Coriolis apparaît lors de l’étude d’un corps en mouvement dans un référentiel lui-même en rotation par rapport à un référentiel galiléen. Ainsi, lors d’un mouvement de rotation, l’accélération de Coriolis d’un élément vibrant va être modifiée suivant la vitesse angulaire issue du mouvement :
aCor i ol i s= 2ωbi ∧ vr (2.6)
Avec :
• aCor i ol i s, l’accélération de Coriolis ;
• vr, la vitesse relative de l’élément en vibration par rapport au gyromètre ; • ωb
i, la vitesse angulaire du gyromètre dans le référentiel inertiel.
Les gyromètres vibratoires ont l’avantage de ne pas posséder d’éléments de rotation tels que des roulements, ce qui leur permet d’être miniaturisés plus facilement. C’est pourquoi les gyro-mètres de type MEMS sont principalement de type vibratoires.
Le gyromètre mesure donc les vitesses de rotation du référentiel Body par rapport au référen-tiel inerréféren-tiel. La mesure du signal d’un gyromètre peut être modélisée de la façon suivante :
yg= ωbi + bbg+ ηg (2.7) où :
• yg est la mesure du gyromètre ; • ωb
i est la vitesse angulaire dans le référentiel inertiel et exprimée dans le référentiel Body ;
• bbgest le biais du gyromètre .
• ηg, un bruit blanc gaussien centré de varianceσ2
g;
La mesure du gyromètre est généralement exprimée en r ad .s−1ou d◦.s−1.
2.3.1.3 Les erreurs de mesure
Les mesures issues de capteurs inertiels sont entachées d’erreurs [NOVATEL, 2014]. On dis-tingue les erreurs systématiques et les erreurs stochastiques. Une erreur systématique est une er-reur dont la composante reste constante ou varie de façon prévisible lorsque l’on répète la mesure. On parle également d’erreur déterministe : il est possible de l’estimer et de la corriger. Une erreur stochastique en revanche, varie de façon imprévisible lors de mesures répétées. Les principales erreurs affectant la mesure des capteurs inertiels, présentées dans [NOVATEL, 2014], sont les sui-vantes.
Le biais de mesure
Le biais de mesure est une erreur systématique. Sa valeur correspond à l’écart entre la valeur mesurée par le capteur et la valeur vraie. La valeur du biais est souvent associée à deux autres éléments :
• la stabilité du biais permet de tenir compte du fait que la valeur du biais peut varier au cours du temps pour une même campagne de mesure ;
• la répétabilité du biais illustre le fait que la valeur du biais dépend des conditions de mesure.
Le facteur d’échelle
Il s’agit d’une déformation de la valeur mesurée. C’est une erreur systématique qui peut être compensée par l’application d’un coefficient. La linéarité du facteur d’échelle permet de tenir compte d’une éventuelle partie non linéaire du facteur.
La non orthogonalité des axes
Cette erreur provient d’un défaut du capteur : l’angle entre les différents axes n’est pas parfai-tement égal à 90°.
Le bruit blanc
Le bruit blanc est une erreur aléatoire. Elle affecte toute mesure issue d’un capteur et peut être modélisée par un processus stochastique.