Capacité de dissipation par une liaison viscoélastique

Afin d’étudier la capacité de dissipation d’énergie, une étude paramétrique en fonction des propriétés de liaison est menée ici.

De manière générale une étude paramétrique fait varier un ou plusieurs paramètres pour calculer l’évolution d’une quantité physique d’intérêt. Cette étude sert dans un premier temps à mettre en évidence les paramètres influents sur la quantité d’intérêt et dans un deuxième temps à optimiser le comportement. Dans notre cas de poutres articulées, on fait varier la valeur de la raideur 𝑘𝑣et le facteur de perte 𝜂 en calculant l’amortissement

visqueux 𝑐𝑣 réellement utilisé dans le modèle par la relation (2.42). Le calcul de la dissipation

étant l’objectif principal, on calcule le taux d’amortissement modal pour deux valeurs de facteur de perte 𝜂 = 1 et 𝜂 = 10−3 _{représentatifs de polymères et de métaux respectivement.}

Pour un facteur de perte 𝜂 =1, on calcule les modes complexes et les pôles associés en variant la raideur 𝑘𝑣 dans l’intervalle [10−3, 103] 𝑁/𝑚. On trace le lieu des pôles afin

d’évaluer l’évolution de l’amortissement. La technique du lieu des pôles, appelé aussi lieu d’Evans ou lieu des racines (‘root locus’ en anglais) est utilisée quand le comportement du système dépend d’un paramètre. Les pôles associés aux modes complexes, sont localisés sur un plan complexe dont l’axe des abscisses est l’axe des parties réelles et l’axe des ordonnées est l’axe des parties imaginaires. Pour une raideur fixe, le lieu des pôles d’un système sous- amorti avec un seul degré de liberté est un demi-cercle. Dans ce cas les deux pôles sont des nombres complexes conjugués. Dans le cas d’un système sur-amorti, les deux pôles sont réels. L’un tend vers zéro et l’autre vers l’infini. Dans le cas d’un système critique (𝜉 = 1), les deux

37 solutions sont confondues. Dans le cas d’un système à plusieurs degrés de liberté, l’évolution des modes est plus complexe, car il peut y avoir une interaction entre différents modes réels.

La Figure 2.11 montre le lieu des pôles de notre système. On remarque qu’en augmentant la valeur de 𝑘𝑣, un seul mode devient sur-amorti. Ce mode est caractérisé par la

phase de vibration (sous-amorti), puis la phase de relaxation (comportement sur-amorti). Tous les autres modes restent sous-amortis dans la gamme de 𝑘𝑣 étudiée.

Figure 2.11 : (a) Pôles des dix premiers modes, (b) Zoom sur les pôles des deux premiers modes

La Figure 2.12 présente une vue plus classique pour les vibrations en fréquence f =|λ| et taux d’amortissement 𝜁 =−Re(λ)_|λ| , avec λ le pôle. On peut y lire les taux d’amortissement maximaux, soit 18% pour le premier mode et 50% pour le deuxième mode. On remarque aussi que pour une raideur très faible, le taux d’amortissement tend vers zéro. Il passe ensuite par un optimum avant de régresser pour des raideurs importantes.

Figure 2.12 : Évolution des fréquences et taux d’amortissement des deux premiers modes propres pour une raideur de liaison variable dans [10−3_{, 10}3_{] 𝑁/𝑚}

La Figure 2.13 permet de mieux analyser l’évolution pour les grandes raideurs dans la gamme 𝑘𝑣𝜖[10−3, 105]. La figure confirme que le taux d’amortissement retourne vers zéro

Relaxation Vibration ( a) ( b)

38 pour le premier mode et subit une bifurcation pour le deuxième mode. Cette allure d’évolution montre qu’il existe une interaction avec le troisième mode.

Figure 2.13 : (a) Évolution des fréquences et taux d’amortissement des deux premiers modes propres pour une raideur de liaison variable dans [10−3_{, 10}5_{] 𝑁/𝑚, (b) Lieu des pôles des 2}

premiers modes

Un taux d’amortissement qui tend vers zéro, nous indique la convergence vers une liaison parfaite sans travail de l’articulation reliant les deux poutres. Afin de mettre en évidence ce fait, on présente dans la Figure 2.14, les déformées modales pour les deux premiers modes propres pour trois valeurs de 𝑘𝑣 présentant les valeurs minimales, moyenne et

maximale de l’intervalle étudié avec 𝜂 = 1. Le choix de la raideur 𝑘_{𝑣 à retenir dépend des} objectifs à atteindre. Notre objectif ici est d’optimiser la dissipation dans les structures assemblées. Pour une valeur de 𝑘𝑣=102, on a un taux d’amortissement de 𝜉 = 18% pour une

première pulsation propre au voisinage de 𝜔1 = 100 [𝐻𝑧] (points encerclé en rouge dans la

Figure 2.13).

Figure 2.14: Déformées modales associées aux deux premiers modes propres, haut : 𝑘_𝑣= 10−3, centre: 𝑘𝑣 = 102, bas : 𝑘𝑣= 105

( a)

( b)

39 Un taux de perte de 𝜂 = 1 n’est obtenu que pour des matériaux très dissipatifs. Pour une liaison métallique un facteur de perte 𝜂 = 10−3 _{serait plus réaliste. L’évolution des}

fréquences et amortissements montré en Figure 2.15 est notablement différent. On remarque que le taux d’amortissement ne dépasse pas les 3% pour les cinq premiers modes propres.

Figure 2.15: Évolution des fréquences et taux d’amortissement des deux premiers modes propres pour une raideur de liaison variable pour 𝜂 = 10−3

Pour mieux illustrer l’influence du facteur de perte 𝜂, on affiche en Figure 2.16 l’évolution de l’amortissement du premier mode pour différentes valeurs de 𝜂. On remarque l’augmentation du taux d’amortissement maximal avec le taux de perte 𝜂.

Figure 2.16: Évolution du taux d’amortissement du premier mode propre pour une raideur de liaison et un facteur de perte variable

40 Pour mieux analyser les évolutions du taux d’amortissement simultanément en fonction de 𝑘𝑣 et de 𝜂, on peut tracer la carte des isovaleurs associées. Dans la Figure 2.17, on

présente, par exemple, les isovaleurs d’amortissement pour le deuxième mode propre dans un espace raideur de liaison/facteur de perte.

Figure 2.17 : Isovaleurs du taux d’amortissement du deuxième mode propre dans un espace de raideur de liaison/facteur de perte variables

Dans une conception classique ou le taux de perte évolue avec la raideur, un taux de perte élevé est nécessaire pour obtenir des amortissements de plusieurs pourcents. Mais les polymères dissipatifs sont généralement peu raides. Les optimums sont donc généralement obtenus en combinant métaux et polymères dissipatifs dans des structures sandwiches ou des liaisons spécifiques.