Calculs Hartree-Fock brisant la parit´ e

Dans le cas d’un noyau isol´e, le hamiltonien ˆH du syst`eme (1.2) poss`ede les sym´etries sui-vantes :

+ l’invariance par translation ; le potentiel d´epend de la coordonn´ee relative r1-r2 entre deux points 1 et 2 et non de la coordonn´ee de leur centre de masse.

+ l’invariance galil´eenne.

+ l’invariance par rotation dans l’espace des coordonn´ees.

+ l’invariance par le renversement du sens du temps.

+ l’invariance par une r´eflexion d’espace.

+ l’invariance dans l’´echange des particules identiques qui impose que pour des fermions les seuls ´etats possibles soient des ´etats compl`etement antisym´etriques.

+ l’invariance par rotation dans l’espace des isospins pour l’essentiel de l’interaction forte.

Une fonction d’onde exacte d’un tel noyau est un ´etat propre de ˆH ainsi que des op´erateurs g´en´erant les sym´etries ˆS ci-dessus et avec lesquels ˆH commute :

[ ˆH,S] = 0ˆ (1.63)

Ces invariances se refl`etent dans l’existence de nombres quantiques qualifiant les vrais ´etats propres |Ψi (1.1). En revanche, cela n’est pas n´ecessairement r´ealis´e pour des ´etats |Φi ap-proch´es (comme des d´eterminants de Slater). Dans ce cas en effet, les ´etats approch´es|Φi sont d´etermin´es non pas `a partir du vrai hamiltonien ˆH mais `a partir du hamiltonien effectif (1.6) qui ne poss´edent pas n´ecessairement les invariances de ˆH en raison de la d´ependance vis `a vis de la densit´e.

Le hamiltonien du syst`eme (1.6) a les sym´etries de l’interaction utilis´ee. La fonction d’essai utilis´ee dans le champ moyen Φ est seulement une approximation simple de fonction d’onde exacte Ψ qui doit contenir toutes les corr´elations de la solution exacte du probl`eme sta-tionnaire. A cause de sa forme simple, elle brise le plus souvent quelques sym´etries importantes du Hamiltonien ˆH comme : les invariances par translation, par rotation et par parit´e. L’hamil-tonien de champ moyen auto-coh´erent construit sur ces fonctions d’onde d’essai, ne commute pas, le plus souvent, avec les op´erateurs r´epr´esentant ces sym´etries. C’est une brisure spontan´ee de sym´etrie li´ee au champ moyen nucl´eaire.

Concr`etement, le hamiltonien Hartree-Fock ˆh est la r´eduction `a un corps du hamiltonien effectif ˆH. Donc, ˆh d´epend les fonctions d’onde individuelles. Avec la force de Skyrme, cette d´ependance s’exprime via la densit´e `a un corps ρ, la densit´e cin´etique k et le courant de spin J. Si nous imposons par exemple les sym´~ etries axiale et de r´eflexion droite-gauche, ces densit´es locales sont invariantes sous l’action des op´erateurs ˆj<sub>z</sub> et ˆπ associ´es `a ces deux sym´etries. Dans ce cas, les trois op´erateurs ˆh, ˆj_z et ˆπ forment un ensemble d’observables qui commutent. Alors ˆh prend la forme d’une matrice diagonale par blocs o`u chaque bloc est caracteris´e par ω^p avec ω, p qui sont respectivement des valeurs propre de ˆj_z et ˆπ. Par cons´equent, la diagonalisation

1.2. M´ethode Hartree-Fock

de ˆhse ram`ene `a celles effectu´ees dans chaque blocω^p. Ceci rend le calcul beaucoup plus rapide que la diagonalisation de ˆh entier. Au contraire, si la matrice densit´e utilis´ee comme point de d´epart des it´erations du calcul brise un certain nombre de sym´etries, alors le hamiltonien Hartree-Fock pourra ´egalement briser ces sym´etries. Mais le processus it´eratif peut aussi bien converger mˆeme dans ce cas vers une solution sym´etrique si celle-ci est pr´ef´erable du point de vue ´energ´etique.

La plupart des codes Hartree-Fock construits avec une force de Skyrme consid´erent des solutions sym´etriques par r´eflexion par rapport au plan ´equatorial (perpendiculaire `a l’axe Oz dans notre cas). Dans ce cas, le centre de masse du noyau appartient `a ce plan et est choisi comme origine du rep`ere intrins`eque. Le plan de sym´etrie a donc pour ´equationz = 0 et dans ce rep`ere attach´e au noyau, la sym´etrie de parit´e est par cons´equent explicitement impos´ee.

Si nous imposons une condition de sym´etrie, nous nous limitons aux solutions poss´edant une sym´etrie donn´ee. En effet, les surfaces d’´energie sont en g´en´eral d´etermin´ees en fonction d’un petit nombre de degr´es de libert´e. Les degr´es de libert´e non trait´es explicitement sont soit compl`etement relach´es, soit inaccessibles parce que des sym´etries sont impos´ees `a la fonction d’onde totale. Rien n’assure que les minima trouv´es ne sont pas en fait des points selles en fonction des degr´es de libert´e non trait´es.

Le code Hartree-Fock axial imposant la sym´etrie de r´eflexion droite-gauche a donc ´et´e ´etendu [24] de mani`ere `a autoriser une brisure de la parit´e. Pour cela, nous avons supprim´e la condition f(r, z) =f(r,−z) pout toute fonctionf intervenant dans le code sym´etrique et avons remplac´e les int´egrales de la forme :

2 Z +∞

0

f(r, z)dz (1.64)

par

Z +∞

−∞

f(r, z)dz (1.65)

Cela correspond aussi `a m´elanger les sous-matrices ω<sup>−</sup> et ω<sup>+</sup> de parit´es diff´erentes dans la matrice du hamiltonien Hartree-Fock `a diagonaliser (ω d´esignant une valeur propre de ˆj_z).

Nous avons aussi contraint le centre de masse `a co¨ıncider avec l’origine du rep`ere intrins`eque.

Compte tenu de la sym´etrie axiale de nos solutions, il suffit pour cela d’imposer que :

< z >= 0 (1.66)

Dans ce cas de m´elange de parit´e, les ´etats de la base |αi intervenant dans l’´equation (1.58) n’ont pas tous la mˆeme parit´e donc |Φi perd aussi la propri´et´e d’avoir une parit´e bien d´etermin´ee.