Calculs sur le gradué - Cohomologie et action de Hecke

3. Cohomologie et action de Hecke

3.3. Calculs sur le gradué

Soient P ⊂ G un sous-groupe parabolique standard et L ⊂ P le sous-groupe de Levi standard. On fixe un sous-groupe ouvert compact standard N_P,0 ⊂ N_P(F ). Pour tout sous-groupe fermé eL ⊂ Res_{F /Q}_pL qui normalise Res_{F /Q}_pN_P, on pose

e L^{+ déf}= ⁿl ∈ eL(Qp) | lN_P,0l⁻¹ ⊂ N_P,0^o e L₀ ^déf= ⁿl ∈ eL(Qp) | lN_P,0l⁻¹ = N_P,0^o= eL⁺∩Le⁺ −1 .

On reprend les notations de la section 2.2. Soient U une représentation lisse localement admissible de T (F ) sur A et w ∈ W . On écrit w = w_e_Pw_L avec w_e_P ∈ fW_P et w_L ∈ W_L. On calcule la cohomologie de N_P,0 à valeurs dans

V_w ^déf= c-ind^(B_B−⁻(F )^{wB)(F )}^˙ U

ainsi que l’action de Hecke de (T N_L,w_L)⁺ sur les A-modules H^•(N_P,0, V_w).

Dévissages successifs

On fixe une décomposition réduite s_`( e

wP). . . s₁ de w_e_P. Soit k ∈ [[0, `(w_e_P)]]. On a

s_k. . . s₁ ∈ fW_P. Le sous-groupe N_P,s_k_...s₁_w_L = N_P ∩ N_s_k_...s₁_w_L est stable sous l’action par conjugaison de T N_L,w_L (voir le produit semi-direct (2.2.5) avec s_k. . . s₁w_Lau lieu de

w) et on note N_P,s_k_...s₁_w_L_,0 l’intersection de N_P,s_k_...s₁_w_L(F ) avec N_P,0. Si k < `(w_e_P), alors

N_P,s_k+1_...s₁_w_L est de codimension 1 dans N_P,s_k_...s₁_w_L (car N_s_k+1_...s₁_w_L est de codimension 1 dans N_s_k_...s₁_w_L et N_L∩ N_s_k+1_...s₁_w_L = N_L∩ N_s_k_...s₁_w_L = N_L,w_L, voir l’égalité (2.2.4) avec

s_k+1. . . s₁w_L et s_k. . . s₁w_L au lieu de w) qui est nilpotent, donc il est distingué d’après [17, Chapitre IV, § 4, Corollaire 1.9]. Dans ce cas, on pose

N_P,s⁰⁰ k...s1wL déf = N_P,s_k_...s₁_w_L/N_P,s_k+1_...s₁_w_L et on note N_P,s⁰⁰ k...s1wL,0 l’image de N_P,s_k_...s₁_w_L_,0 dans N_P,s⁰⁰ k...s1wL(F ).

3.3. CALCULS SUR LE GRADUÉ 51

Calculs par récurrence

On utilise les résultats de la section 3.2 avec la suite de sous-groupes fermés stables sous l’action par conjugaison de T N_L,w_L

N_P = N_P,w_L B NP,s1wL B NP,s2s1wL B · · · B NP,s_`(

wP )^...s1wL = N_P,w.

Pour tout k ∈ [[0, `(w_e_P)−1]], la proposition 3.2.6 avec eL+ = (T N_L,w_L)+, eN₀ = N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, e

N₀⁰ = N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, eN₀⁰⁰ = N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0 et V = V_w montre que l’on a une suite spectrale de représentations lisses de (T N_L,w_L)+ sur A

(3.3.1) Hⁱ(N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)) ⇒ H^i+j(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) et si i = [F : Qp] (= dim_Q_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL,0), alors en utilisant la proposition 3.1.5 avec e

L+ = (T N_L,w_L)+, eN₀ = N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, V = Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w) et i au lieu de n, on obtient un isomorphisme (T N_L,w_L)+-équivariant

(3.3.2) Hⁱ(N_P,s⁰⁰

k...s1w_L,0, H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w))

∼_{= H}j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)_N00

P,sk...s1wL,0 ⊗ (ω⁻¹◦ α) où α est le caractère algébrique (trivial sur N_L,w_L) de la représentation adjointe de T N_L,w_L sur Lie(N_P,s⁰⁰

k...s1wL) (voir la remarque 3.1.8).

Lemme 3.3.3. — Soient k ∈ [[0, `(w_e_P)]] et n ∈ N. Si n > [F : Qp] · (`(w_e_P) − k), alors Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) = 0.

Démonstration. — On suppose n > [F : Qp] · (`(w_eP) − k) et on procède par récurrence décroissante sur k. On suppose k = `(w_eP), donc n > 0. On déduit de l’isomorphisme (2.2.7) un isomorphisme N_P,w,0-équivariant Vw ∼₌ M n∈N_P,w(F )/NP,w,0 C^∞nNP,w,0, c-ind^(B − Lw˙LBL)(F ) B⁻_L(F ) UweP

où N_P,w,0 agit par translation à droite sur les termes de la somme directe. En utilisant le lemme 1.1.1, on en déduit que V_w est N_P,w,0-acyclique, donc Hn(N_P,w,0, V_w) = 0.

On suppose k < `(w_e_P) et le lemme vrai pour k + 1. Soient i, j ∈ N tels que i + j = n. Si i > [F : Qp], alors Hⁱ(N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)) = 0 d’après le lemme 3.1.4 avec eN₀ = N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, V = H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w) et i au lieu de n. Sinon

j > [F : Qp] · (`(w_e_P) − (k + 1)), donc Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w) = 0 par hypothèse de récurrence. Dans les deux cas, on en conclut que

Hⁱ(N_P,s⁰⁰ _k_...s₁_w_L_,0, H^j(NP,s_k+1...s1w_L,0, Vw)) = 0.

En utilisant la suite spectrale (3.3.1), on en déduit que Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) = 0. Donc le lemme est vrai pour k.

Pour tout k ∈ [[0, `(w_e_P)]], on note α_k le caractère algébrique (trivial sur N_L,w_L) de la représentation adjointe de T N_L,w_L sur d´et_FLie(N_s_k_...s₁ ∩ N_w₀_w_e_P). C’est la somme des racines qui apparaissent dans Lie(Ns_k...s1) mais pas dans Lie(Nw_e_P).

On rappelle que S est le plus grand sous-tore déployé de Res_{F /Q}_pT et on fixe un élément ζ ∈ S⁺∩ Z+

52 CHAPITRE 3. COHOMOLOGIE ET ACTION DE HECKE

algébrique de T associé à P , c’est-à-dire tel que hα, λi ≥ 0 pour tout α ∈ Φ+ avec égalité si et seulement si α ∈ Φ⁺_L).

Comme U est localement admissible, Ind^{L(F )}

B⁻_L(F )(UweP⊗(ω⁻¹◦αk)) l’est aussi. En utilisant [19, Lemme 2.3.4] puis en passant au sous-quotient, on en déduit que

c-ind^(B −

Lw˙LBL)(F )

B_L⁻(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k) est localement ZL(F )-finie, donc localement ζ-finie.

Lemme 3.3.4. — Soient k ∈ [[0, `(w_eP)]] et n ∈ N. Si n = [F : Qp] · (`(w_eP) − k), alors

on a une injection (T NL,wL)+-équivariante

c-ind^(B −

Lw˙LBL)(F )

B_L⁻(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k) ,→ Hn(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w)

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente.

Démonstration. — On suppose n = [F : Qp] · (`(w_eP) − k) et on procède par récurrence décroissante sur k. On suppose k = `(w_e_P), donc n = 0. Soit V_w,0 ⊂ V_w le sous-A-module constitué des fonctions à support dans N_P,w,0 à travers l’isomorphisme (2.2.7). Il est stable par N_P,w,0 et (T N_L,w_L)+ et on a un isomorphisme A-linéaire

(3.3.5) V_w,0 ∼_{= C}∞ N_P,w,0, c-ind^(B − Lw˙LBL)(F ) B_L⁻(F ) UweP

à travers lequel N_P,w,0 agit par translation à droite. L’action de ζ sur V_w/V_w,0 est locale-ment nilpotente : pour tout f ∈ V_w vu à travers l’isomorphisme (2.2.7), il existe κ ∈ N tel que ζκsupp(f )ζ^−κ ⊂ N_P,w,0 (car supp(f ) est compact, N_P,w,0 est ouvert et ζ contracte strictement N_P,w,0), donc ζκf ∈ V_w,0. À travers l’isomorphisme (3.3.5), l’évaluation en 1 ∈ N_P,w(F ) induit un isomorphisme A-linéaire

V^NP,w,0 w,0 ∼ −→ c-ind^(B − Lw˙LBL)(F ) B⁻_L(F ) UweP

qui est (T N_L,w_L)+-équivariant pour l’action de Hecke (notée^H· ) : pour tous b ∈ (T N_L,w_L)+ et f ∈ V^NP,w,0 w,0 , on a (b^H· f )(1) = ^X n∈NP,w,0/bNP,w,0b−1 (nbf )(1) = ^X n∈NP,w,0/bNP,w,0b−1 b · f (b⁻¹nb) = b · f (1),

la dernière égalité résultant du fait que b⁻¹nb ∈ N_P,w,0 si et seulement si n ∈ bN_P,w,0b⁻¹. On a donc une injection (T N_L,w_L)+-équivariante

c-ind^(B −

Lw˙_LB_L)(F )

B⁻_L(F ) UweP ,→ V^NP,w,0

qui est bien celle de l’énoncé (car α_`( e

wP) = 0) et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente (car l’action de ζ sur V_w/V_w,0 est localement nilpotente).

3.3. CALCULS SUR LE GRADUÉ 53

On suppose k < `(w_e_P) et le lemme vrai pour k + 1. Soient i, j ∈ N tels que

i + j = n. Si i > [F : Qp], alors Hi(N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)) = 0 d’après le lemme 3.1.4 avec eN₀ = N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, V = Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w) et i au lieu de n. Si

j > [F : Qp] · (`(w_eP) − (k + 1)), alors H^j(NP,s_k+1...s1w_L,0, Vw) = 0 d’après le lemme 3.3.3. En utilisant la suite spectrale (3.3.1), on en déduit un isomorphisme (T N_L,w_L)+-équivariant

Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) ∼= Hⁱ(N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w))

avec i = [F : Qp] et j = [F : Qp] · (`(w_e_P) − (k + 1)) et en utilisant l’isomorphisme (3.3.2), on en déduit un isomorphisme (T N_L,w_L)⁺-équivariant

Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) ∼= H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)_N00

P,sk...s1wL,0⊗ (ω⁻¹◦ α) avec α le caractère algébrique de la représentation adjointe de T N_L,w_Lsur Lie(N_P,s⁰⁰

k...s1wL). Par hypothèse de récurrence, on a une injection (T N_L,w_L)+-équivariante

c-ind^(B −

Lw˙LBL)(F )

B⁻_L(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k+1) ,→ Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente. En utilisant le point (ii) du lemme 3.1.10 avec eL+ = (T N_L,w_L)+, eN₀ = N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, V = Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w) et V₀ = c-ind^(B

−

Lw˙LBL)(F )

B⁻_L(F ) (UweP ⊗ (ω⁻¹ ◦ αk+1)), on en déduit que l’on a une injection (T N_L,w_L)+-équivariante

c-ind^(B −

Lw˙LBL)(F )

B⁻_L(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k+1) ⊗ (ω−1◦ α) ,→ Hn(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w)

et que l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente. Or, on a un isomorphisme (T N_L,w_L)+-équivariant c-ind^(B − Lw˙LBL)(F ) B⁻_L(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ αk+1) ⊗ (ω−1◦ α) ∼ = c-ind^(B − Lw˙LBL)(F ) B⁻_L(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ (α_k+1+ w_L(α))) (à travers l’isomorphisme (2.2.6), c’est le morphisme (T N_L,w_L)+-équivariant

C_c^∞ N_L,w_L(F ), UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k+1) ⊗ (ω−1◦ α) ∼

= C_c^∞ N_L,w_L(F ), UweP ⊗ (ω⁻¹◦ (α_k+1+ w_L(α))) induit par l’identité sur les A-modules sous-jacents) et w_L(α) est le caractère algébrique de la représentation adjointe de T NL,w_L sur Lie(Ns_k...s1/Ns_k+1...s1), d’où αk+1+ wL(α) = αk. Donc le lemme est vrai pour k.

Lemme 3.3.6. — Soient k ∈ [[0, `(w_e_P)]] et n ∈ N. Si n < [F : Qp] · (`(w_e_P) − k), alors

l’action de Hecke de ζ sur Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) est localement nilpotente.

Démonstration. — On suppose n < [F : Qp] · (`(w_e_P) − k), donc k < `(w_e_P) et on procède par récurrence décroissante sur k. Si k < `(w_e_P) − 1, alors on suppose le lemme vrai pour

k + 1. Soient i, j ∈ N tels que i + j = n. Si j < [F : Qp] · (`(w_e_P) − (k + 1)), alors l’action de Hecke de ζ sur H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w,0) est localement nilpotente par hypothèse de récurrence. Si j > [F : Qp] · (`(w_e_P) − (k + 1)), alors H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w,0) = 0 d’après

54 CHAPITRE 3. COHOMOLOGIE ET ACTION DE HECKE

le lemme 3.3.3. Si j = [F : Qp] · (`(w_e_P) − (k + 1)), alors i < [F : Qp] et d’après le lemme 3.3.4, on a une injection (T N_L,w_L)+-équivariante

c-ind^(B −

Lw˙LBL)(F )

B⁻_L(F ) UweP ⊗ (ω⁻¹◦ α_k+1) ,→ Hj(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w)

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente. Dans ce cas, l’action de Hecke de ζ sur Hⁱ(N_P,s⁰⁰ _k_...s₁_w_L_,0, H^j(NP,s_k+1...s1w_L,0, Vw,0)) est encore localement nilpo-tente d’après le sous-lemme ci-dessous avec V₀ = c-ind^(B

−

Lw˙LBL)(F )

B⁻_L(F ) (UweP ⊗ (ω−1 ◦ α_k+1)) et V = H^j(N_P,s_k+1_...s₁_w_L_,0, V_w). En utilisant la suite spectrale (3.3.1), on en déduit que l’action de Hecke de ζ sur Hⁿ(N_P,s_k_...s₁_w_L_,0, V_w) est localement nilpotente. Donc le lemme est vrai pour k.

Sous-lemme. — Soient V₀ une représentation lisse localement ζ-finie de S(Qp) sur A,

V une représentation lisse de S+

n NP,s⁰⁰ k...s1wL,0 sur A et i ∈ N. On suppose que l’on a une injection S⁺-équivariante V0 ,→ V et que l’action de ζ sur son conoyau est localement nilpotente. Si i < [F : Qp], alors l’action de ζ sur Hi(N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0, V ) est localement nilpotente.

Démonstration. — Comme Res_{F /Q}_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL est nilpotent et commutatif, l’exponen-tielle est un isomorphisme de groupes Lie(Res_F/Q_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL) −→ Res^∼ _{F /Q}_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL

d’après [17, Chapitre IV, § 2, Proposition 4.1]. En particulier, on a une suite de sous-groupes fermés

1 = eN₀ ⊂ eN₁ ⊂ · · · ⊂ eN_{[F :Q}_p_] = Res_F/Q_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL

dont les quotients successifs sont isomorphes au groupe additif sur Qp. L’action adjointe de S sur Lie(Res_{F /Q}_pN_P,s⁰⁰

k...s1wL) étant donnée par un caractère α, ces sous-groupes sont_e

stables sous l’action par conjugaison de S. Pour tout l ∈ [[0, [F : Qp]]], on note eN_l,0

l’intersection de eN_l(Qp) avec N_P,s⁰⁰

k...s1wL,0 et si l > 0, alors on note eN_l,0⁰⁰ l’image de eN_l,0

dans ( eN_l/ eN_l−1)(Qp). On montre par récurrence sur l ∈ [[0, [F : Qp]]] les points suivants. (i) Si i = l, alors on a une injection S+-équivariante

V₀⊗α_e⁻ⁱ|α|_e⁻ⁱ_p ,→ Hⁱ( eN_l,0, V )

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente.

(ii) Si i < l, alors l’action de Hecke de ζ sur Hⁱ( eNl,0, V ) est localement nilpotente.

Le cas l = 0 est vrai par hypothèse. On suppose l > 0 et le résultat vrai pour l − 1. Comme dim_Q_pNe_l,0⁰⁰ = 1, on a la suite exacte (3.2.2) avec eL⁺= S⁺, eN₀ = eNl,0, eN₀⁰ = eNl−1,0

et eN₀⁰⁰ = eN_l,0⁰⁰ dont les morphismes sont S⁺-équivariants d’après la proposition 3.2.6. En utilisant la proposition 3.1.5 avec n = 1 (= dim_Q_pNe_l,0⁰⁰ ), eL⁺ = S+, eN0 = eN_l,0⁰⁰ et Hi−1( eNl−1,0, V ) au lieu de V , on en déduit une suite exacte courte de représentations

lisses de S+ sur A

(3.3.7) 0 → Hⁱ⁻¹( eNl−1,0, V )_N_e00

3.3. CALCULS SUR LE GRADUÉ 55

On suppose i = l et on prouve le point (i). D’un côté i > l − 1, donc Hi( eN_l−1,0, V ) = 0

d’après le lemme 3.1.4 avec eN₀ = eN_l−1,0 et i au lieu de n, d’où un isomorphisme S+ -équivariant

Hⁱ⁻¹( eN_l−1,0, V ) e

N00

l,0 ⊗α_e⁻¹|α|_e⁻¹_p −→ H^∼ i( eN_l,0, V ).

De l’autre i−1 = l−1 et par l’hypothèse de récurrence, on a une injection S⁺-équivariante

V0⊗α_e⁻⁽ⁱ⁻¹⁾|α|_e⁻⁽ⁱ⁻¹⁾_p ,→ Hⁱ⁻¹( eNl−1,0, V )

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente, donc d’après le point (ii) du lemme 3.1.10 avec eL+ = S+, eN₀ = eN_l,0⁰⁰ , Hi−1( eN_l−1,0, V ) au lieu de V et V₀⊗α_e⁻⁽ⁱ⁻¹⁾|α|_e⁻⁽ⁱ⁻¹⁾p au lieu de V₀, on a une injection S+-équivariante

V₀⊗α_e⁻⁽ⁱ⁻¹⁾|α|_e_p⁻⁽ⁱ⁻¹⁾ ,→ Hⁱ⁻¹( eNl−1,0, V )_N_e00

l,0

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente. En utilisant l’iso-morphisme précédent, on en déduit le point (i).

On suppose i < l et on prouve le point (ii). D’un côté i − 1 < l − 1, donc l’action de Hecke de ζ sur Hi−1( eN_l−1,0, V ) est localement nilpotente par hypothèse de récurrence.

De l’autre ou bien i < l − 1 et l’action de Hecke de ζ sur Hi( eN_l−1,0, V ) est localement

nilpotente par hypothèse de récurrence, donc l’action de Hecke de ζ sur Hi( eN_l−1,0, V )Ne_l,0⁰⁰ est localement nilpotente ; ou bien i = l − 1 et par hypothèse de récurrence on a une injection S+-équivariante

V₀⊗α_e⁻ⁱ|α|_e⁻ⁱ_p ,→ Hⁱ( eN_l−1,0, V )

et l’action de Hecke de ζ sur son conoyau est localement nilpotente, donc l’action de Hecke de ζ sur Hi( eN_l−1,0, V )Ne_l,0⁰⁰ est localement nilpotente d’après le point (i) du lemme 3.1.10 avec eL+ = S+, eN₀ = eN_l,0⁰⁰ , Hi−1( eN_l−1,0, V ) au lieu de V et V₀⊗α_e⁻ⁱ|α|_e⁻ⁱ_p au lieu de

CHAPITRE 4

CALCULS DE PARTIES ORDINAIRES

DÉRIVÉES

Nous calculons partiellement les foncteurs H^•Ord_{P (F )} sur une induite. Puis, nous étu-dions le cas relatif à un sous-groupe de Borel. Enfin, nous adaptons nos résultats aux représentations ordinaires.

4.1. Calculs sur une représentation induite

Soient P ⊂ G un sous-groupe parabolique standard et L ⊂ P le sous-groupe de Levi standard. Soient U une représentation lisse localement admissible de T (F ) sur A et n ∈ N.

Préliminaires

On étend naturellement la définition du foncteur HⁿOrd_{P (F )} de la façon suivante. On fixe un sous-groupe ouvert compact NP,0 ⊂ NP(F ) et on reprend les notations de la section 3.3 pour les sous-monoïdes. En procédant comme dans la preuve de [18, Proposition 3.3.6], on voit que le produit induit un isomorphisme de groupes B⁺_L×_Z+

LZ_L(F )−→ B^∼ _L(F ) donc pour toute représentation lisse V de B(F ) sur A, le A-module

HⁿOrd_{P (F )}V ^déf= Hom_A[Z+

L](A[Z_L(F )], Hⁿ(N_P,0, V ))_Z

L(F )-fin est naturellement une représentation lisse de B_L(F ) sur A.

Filtration et calcul du gradué

On commence par montrer que les filtrations définies dans la section 2.2 induisent des filtrations des parties ordinaires dérivées de Ind^{G(F )}_B−(F )U .

Proposition 4.1.1. — La filtration naturelle Fil^•_PInd^{G(F )}_B−(F )U induit une filtration de

HnOrd_{P (F )}(Ind^{G(F )}_B−(F )U ) par des sous-L(F )-représentations

Filⁱ_PHⁿOrd_{P (F )}Ind^{G(F )}_B−(F )U^déf= HⁿOrd_{P (F )}Filⁱ_PInd^{G(F )}_B−(F )U

pour tout i ∈ [[−1, dim N_P]] et si i ≥ 0, alors on a un isomorphisme naturel L(F

)-équivariant

Grⁱ_P HⁿOrd_{P (F )}Ind^{G(F )}_B−(F )U ∼₌ M

`(w_eP)=i

HⁿOrd_{P (F )}c-ind^(B⁻we^˙PP )(F ) B−(F ) U.

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