Dégradation brutale Dégradation douce
16.4 CALCUL DES TRANSITIONS KLOPFENSTEIN
singularité en 1, la valeur de ϕ(1, A)n’est pas calculée par intégration nu-
mérique mais par la formule ci-dessous :
ϕ(1, A) = cosh( A)− 1 A2
Les valeurs de -1 à 0 sont obtenues par symétrie.
FIGURE 71 – Fonction ϕ(y)pour une transition Klopfenstein de 0,625 Ω vers 50 Ω.
A partir de cette équation, l’impédance caractéristique Z0(y)en fonc-
tion de la position normalisée y est calculée ainsi : ln(Z0(y)) = ln( Z1· Z2) 2 + ρ0 cosh(A)· A 2· ϕ(y, A) (Calcul traditionnel.)
ln(Z0(y)) =K1+K2· ϕ(y, A) (Sans les discontinuités.)
avec Z1et Z2les impédances de départ et d’arrivée.
Dans le cas où les discontinuités sont interdites, K1et K2sont calculées
par résolution d’un système linéaire2correspondant aux conditions de conti-
nuité de Z0(y) en -1 et 1.
Nous avons maintenant l’impédance caractéristique optimale en fonc- tion de la position normalisée y, allant de -1 à 1 (figure 72). Le calcul de la po-
1. Une méthode alternative est décrite dans [53]. Elle n’a pas été employée ici mais pour- rait se révéler plus pratique dans certains cas.
2. Des expressions explicites pour ces deux facteurs sont cependant disponibles : K1=ln( Z2· Z1) 2 K2= lnZ2 Z1 · A2 2 ·(cosh(A)− 1)
108 CALCUL DE TRANSITIONS D’IMPÉDANCE OPTIMISÉES
FIGURE 72 – Impédance caractéristique Z0en fonction de la position normalisée y pour une transition Klopfenstein de 0,625 Ω vers 50 Ω.
sition réelle ne peut pas être effectué immédiatement, car il nous manque encore des données.
D’abord, il faut calculer la longueur électrique totale de la transition à la fréquence minimale de fonctionnement, Θmin. Traditionnellement, ce cal-
cul se fait à l’aide des équations ci-dessous, donnant le coefficient de ré- flexion dans la bande passante :
ρ(Θ) = ρ0 cosh(A)· cos Æ Θ2− A2· exp(−j · Θ) (Calcul traditionnel.) ρ(Θ) = ρ0 cosh(A)· h
cosÆΘ2− A2− cos(Θ)i· exp(−j · Θ)
(Sans les discontinuités.)
avec Θ la longueur électrique de la transition en radians. Ces deux équa- tions expliquent la raison des deux équations pour A, en fonction de la pré- sence ou non des discontinuités.
Cependant, ces équations ne sont valables que dans la bande passante, à cause de l’hypothèse de ρ faible. Ceci ne pose pas de problème habituel- lement, lorsque le ratioZ2/Z
1est faible, mais nous étudions ici des transfor- mations d’impédance dont le ratio est très élevé, ici égal à 80. En comparai- son, il était seulement de 1,5 dans l’article original de Klopfenstein [72].
C’est pourquoi Θmin est calculé par recherche numérique du plus petit
16.4 CALCUL DES TRANSITIONS KLOPFENSTEIN 109
calculé directement par résolution numérique de l’équation différentielle non linéaire ci-dessous :
dρ dy =j· Θ · ρ − 1 2· (1 − ρ)· d ln(Z0) dy
La valeur qui nous intéresse étant ρ(y = -1), c’est à dire le coefficient de réflexion au début de la transition.
FIGURE 73 – Coefficient de réflexion en fonction de la longueur normalisée Θ, cal- culé par la formule théorique et par résolution de l’équation différen- tielle, et cible. On notera que le coefficient de réflexion issu de la for- mule théorique dépasse l’unité, ce qui est impossible.
Il est important de noter que, dans le calcul numérique de cette équation différentielle non linéaire, les discontinuités d’impédance éventuellement présentes au début et à la fin de la transition doivent impérativement être prises en compte.
La position normalisée y est employée au lieu de la position réelle z car la position normalisée ne dépend pas de la constante diélectrique effective Keff, qui n’est pas encore connue à ce stade.
Ensuite, à partir de l’impédance caractéristique Z0, nous calculons les di-
mensions transversales (largeur de la ligne, hauteur du fuselage, etc..., voir
figure 75) et la constante diélectrique effective Keff(figure 76) en fonction
de la position normalisée y.
Ce calcul se fait par interpolation numérique d’une table, calculée au préalable, donnant Z0et Keffen fonction des dimensions transversales. Cette
110 CALCUL DE TRANSITIONS D’IMPÉDANCE OPTIMISÉES
FIGURE 74 – Coefficient de réflexion en dB en fonction de la longueur normalisée Θ, calculé par la formule théorique et par résolution de l’équation dif- férentielle, et cible. On notera que le coefficient de réflexion issu de la formule théorique dépasse l’unité, ce qui est impossible.
FIGURE 75 – Rayon d’une transition Klopfenstein de 0,625 Ω vers 50 Ω réalisée avec une ligne coaxiale à plusieurs diélectriques en fonction de la po- sition normalisée y.
16.4 CALCUL DES TRANSITIONS KLOPFENSTEIN 111
FIGURE 76 – Constante diélectrique effective Keffd’une transition Klopfenstein de 0,625 Ω vers 50 Ω réalisée avec une ligne coaxiale à plusieurs diélec- triques en fonction de la position normalisée y.
• Lorsqu’il n’existe pas de formules analytiques de calcul de l’impédance caractéristique ou de la constante diélectrique effective : c’est le cas, par exemple, des slotlines, utilisées dans les combineurs Spatium™ [4,19,62–65], ou des ridges, utilisés dans la première version du com- bineur de puissance qui sera développé dans cette thèse. Dans ce cas, la table est obtenue par simulation numérique.
• Lorsqu’il existe des formules explicites de calcul de l’impédance en fonction des dimensions mais pas de formule explicite de synthèse des dimensions en fonction de l’impédance : c’est le cas, par exemple, des lignes coaxiales à plusieurs diélectriques, utilisée dans une ver- sion suivante du combineur de cette thèse. Dans ce cas, la table est obtenue par calcul : l’interpolation sert principalement à inverser la formule.
• Lorsqu’il existe des formules de synthèse mais qu’elles sont peu pré- cises : c’est le cas des lignes microruban.
Enfin, la position réelle z est calculée à partir de la position normalisée y et de Keffpar intégration numérique :
dz= Θmin· c
4 · π · ƒmin·
Æ
Keff(y)· dy
112 CALCUL DE TRANSITIONS D’IMPÉDANCE OPTIMISÉES
FIGURE 77 – Rayon en fonction de la position réelle de la transition étudiée poureff réel et Keff= 1. La version discrétisée est également montrée.