Calcul du potentiel - Théorème de Gauss - Cours et exercices corrigés électrostatique et électr

Théorème de Gauss

3) Calcul du potentiel

Le champ E étant radial, dV = − E ·−→

La continuité de V à la surface de la sphère donne : ρR³

Exemple 3. Application de l’équation de Poisson

Retrouver l’expression du potentiel V(r) créé par une sphère chargée d’une densité volumique ρen intégrant l’équation de Poisson.

L’équation locale de Poisson s’écrit : V = −ρ

ε₀ Par suite de la symétrie sphérique, on a :

V = 2

Par suite de l’absence de charge pour r > R, on a :

Il reste donc à déterminer les deux constantes B et C.

Continuité de V en r = R : B

Ce sont les mêmes expressions que celles obtenues en appliquant le théo-rème de Gauss.

3.1 FLUX DU CHAMP ÉLECTRIQUE CRÉÉ PAR UNE CHARGE PONCTUELLE 65

On pourrait de même retrouver les expressions du champ E(r) à partir de la loi de Gauss locale :

⎧⎨

⎩

divE = ρ

ε₀ à lintérieur divE =0 à lextérieur en prenant, par suite de la symétrie sphérique (cf. 1.6.3)

divE = 1 r²

dr(r²E_r) 3.8. RÉCAPITULATION

Les exemples d’application présentés jusqu’ici montrent que la détermination du champ E créé par des charges dans le vide peut se faire en suivant trois méthodes différentes :

1) par un calcul direct, en partant de l’expression du champ créé par une charge ponctuelle ou par un élément différentiel de charge, et en la sommant ensuite sur la distribution de charge,

2) en appliquant le théorème de Gauss, si la symétrie de la distribution de charge est élevée (sphérique, cylindrique, plane),

3) en appliquant les équations locales, en tenant compte des conditions aux limites.

On peut résumer les lois locales dans le vide de la manière suivante : Relation entre champ et potentiel : E = −−−→

grad V Le champ E est irrotationnel : −→

rotE = 0

Théorème de Gauss : divE = ρ

ε₀

Équation de Poisson V + ρ

ε₀ =0 Équation de Laplace

(en l’absence de charges) : V =0 Conditions de passage entre

deux distributions :

⎧⎨

⎩

E_1T = E_2T E_2N − E_1N = σ

ε₀N₁₂

3.1. Parmi les distributions de charges suivantes, quelles sont celles pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Gauss pour le calcul du champ électrique ? Exprimer alors ce champ en précisant sa direction et son sens :

1) fil de longueur de densité linéique de charge λ.

2) fil infini de densité linéique de charge λ.

3) circonférence de densité linéique de charge λ.

4) disque de densité surfacique de charge σ.

5) plan infini (π) de densité surfacique de charge σ.

6) sphère de rayon R chargée uniformément : a) en surface avec une densité surfacique σ ; b) en volume avec une densité volumique ρ.

Dans le cas de la sphère, donner l’allure des courbes E(r)et V(r).

3.2. 1) On creuse dans une sphère de centre O₁et de rayon R une cavité sphérique de même centre O₁ et de rayon R

4. Il n’y a pas de charge dans la cavité. Dans le volume sphérique restant, la den-sité volumique de charges est ρ₀=cte>0.

En utilisant le principe de superposition, détermi-ner l’expression du champ électrique E(r) et le potentiel V(r) qui en résulte (en prenant V(∞)=0) dans les trois cas suivants :

a) r R 4 b)R

4 r R c) r R

Donner l’allure des courbes E(r)et V(r). 2) La cavité est centrée en O₂tel que O₁O₂ = R

Exercices 67

E

XERCICES

R O

O₁ O₂

Exprimer :

a) le champ en un point M intérieur à la cavité en fonction de r₁ =−−→

O₁M et

r₂=−−→

O₂M . Que peut-on en conclure ?

b) Le champ en un point N extérieur à la sphère de rayon R en fonction de r1=−−→

O1N et r₂=−−→

O₂N .

3.3. Une sphère de centre O et de rayon R porte une charge +3q(q >0) répartie uniformément dans son volume avec une densité uniforme ρ. À l’intérieur de la sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q , placées aux som-mets A, B et C d’un triangle équilatéral ayant O comme centre de gravité.

1) Déterminer le champ électrique E1créé en A par les deux charges B et C, en fonction de r = O A . 2) En utilisant le théorème de Gauss, déterminer le champ électrique E₂ créé en A par la distribution volumique de charges.

3) En déduire l’expression de r pour que la charge placée en A soit en équilibre.

4) Déterminer le potentiel électrostatique V₁créé en A par les charges ponctuelles −q placées en B et C. Calculer le potentiel V2 créé par la distribution volumique de charges sachant que V2(0)=0 . En déduire le potentiel total VA au point A.

3.4. On considère une certaine distribution de charges positives et négatives à symé-trie sphérique de centre O, telle que le potentiel électrique V(M) qu’elle crée en un point M distant de r du point O soit de la forme (potentiel dit écranté) :

V(M)= A

4πε0r exp(−r/a) où A et a sont des constantes positives.

1) Quelles sont les dimensions de A et de a ?

2) Calculer le champ E(M) correspondant, en tout point de l’espace (excepté O).

A R

O r

C B

3) À partir de l’expression de ce champ sur une sphère de centre O et de rayon r , déterminer la charge interne Q(r) contenue dans cette sphère. En déduire la charge totale de la distribution.

4) Calculer la densité volumique de charge ρ, à la distance r , en précisant son signe.

5) Montrer qu’au point O, il existe une charge positive finie, dont on précisera la valeur en fonction des données. Quelle est alors l’expression du champ au voisinage de O ?

6) Comment peut-on finalement décrire la distribution de charge proposée ?

3.5. Exprimer le champ électrique créé en tout point de l’espace par une distribution volumique de charge ρ(>0) répartie uniformément entre deux cylindres coaxiaux de longueur infinie de rayons respectifs R₁et R2 (R1 <R2),

1) en utilisant le théorème de Gauss, 2) à partir de l’équation locale :

divE = ρ ε0

3.6. Une sphère de centre O et de rayon R contient une charge Q répartie uniformé-ment avec une densité volumique ρ= 3Q

4πR³.

1) Exprimer le potentiel en tout point de l’espace en utilisant les équations locales de Laplace et de Poisson.

2) En déduire le champ électrique E(r).

3) Retrouver l’expression de E(r)en appliquant le théorème de Gauss.

Corrigés 69

R₂ R₁

C

ORRIGÉS

3.1. 1) Fil de longueur finie : non, on ne peut appliquer le théorème de Gauss.

2) Fil de longueur infinie : oui. Dans ce cas, la surface de Gauss est un cylindre ayant pour axe le fil. Soit h et r respectivement la hauteur et le rayon de ce cylindre, r étant

la distance du fil au point M où l’on calcule le champ électrique. Pour des raisons de symé-trie, ce champ est radial. On a : 3) Circonférence : non.

4) Disque : non.

5) Plan infini. On peut appliquer le théorème de Gauss : la distribution est invariante par translation quelconque parallèle au plan et V ne dépend donc que de la distance z au plan.

Par conséquent, le champ E = −−−→

grad V = −dV

dz ez est perpendiculaire au plan (π). Tant que le calcul est fait en un point M tel

que (π)puisse être considéré comme infini,E est uniforme de part de d’autre de π, seul son sens change. En effet, si l’on prend pour sur-face de Gauss un cylindre de hauteur h et de surface de base S , symétrique par rapport à (π), (voir figure ci-contre), on a :

Le sens de E indiqué sur la figure correspond à σ>0. Les sens de E1et E2changent si σ<0.

6) Dan le cas de la sphère creuse ou pleine, on peut appliquer le théorème de Gauss.

Dans les deux cas le champ radial ; centrifuge si σ (ou ρ) >0, centripète si σ

soit : 4πr²E = qint

ε₀

a) Sphère chargée en surface (on suppose σ>0) :

si r > R :

q_int=4πR²σ ⇒ E_ext = σ ε0

R² r²e_r si r < R :

q_int=0 ⇒ E_int= 0 En utilisant la relation E = −dV

dr e_r, on trouve : Vext= σ

ε0

R² r +C1

V_ext(∞)=0 ⇒ C₁ =0 ⇒ V_ext = σ ε0

R² r V_int=C₂

La continuité de V(r) sur la surface implique que : V_int= σ

ε0

R Allure des courbes V(r) et E(r):

r M

e_r E R

Corrigés 71

V (r )

V (r ) E (r )

E (r )

O R r

εσ₀ εσ₀

On note une discontinuité de E, d’une valeur σ

ε₀, à la traversée de la surface de la sphère.

b) Sphère chargée en volume (on suppose ρ>0): si r > R : qint= 4

3πR³ρ ⇒ Eext = ρ 3ε0

R³ r²er

si r < R : qint= 4

3πR³ρ ⇒ Eint= ρ 3ε0

rer

D’où :

Vext = ρ 3ε₀

R³ r +C1

V_ext(∞)=0 ⇒ C₁=0 ⇒ V_ext = ρ 3ε0

R³ r

et V_int= − ρ

3ε₀ r²

2 +C₂ La continuité de V(r) à la traversée de la surface s’écrit :

− ρ 6ε0

R²+C2 = ρ 3ε0

R² +C2 = 3ρR²

6ε0

d’où : V_int= ρ

6ε₀(3R²−r²) Allure des courbes V(r) et E(r):

V (r )

V (r ) E (r )

E (r )

O R

r ρ 2εR ₀²

ρ 3εR ²₀

ρ 3εR₀

On peut noter que, dans ce cas, le champ est continu à la traversée de la surface de la sphère.

On remarque que, aussi bien dans le cas de la sphère chargée en surface que dans le cas de la sphère chargée en volume, le calcul de Eext revient à considérer la charge totale Q portée par la sphère comme placée au centre O de cette sphère.

Cas a) Eext= σ

3.2. Principe de superposition : En tout point M, le champ est la somme des champs créés l’un par la sphère (O₁,R) portant la charge volumique ρ₀, l’autre par

portant la charge volumique −ρ0. En utilisant les résultats du cours et en posant er =

−−→O₁M −−→

O1M on obtient :

Corrigés 73

r E1 E2 E = E1+ E2 On obtient alors V(r) en utilisant la relation :

V(r)= −

La continuité de V(r) en r = R s’écrit :

2) En appliquant toujours le principe de superposition : Le champ électrique est uniforme.

M O₁ O₂

b) En utilisant les résultats de la première question (cas c)) respectivement en B et C.

On a successivement : EB = K q en désignant par i le vecteur unitaire porté par

−→O A.

2) La distribution volumique créée en n’importe quel point un champ électrique radial. L’application du théorème de Gauss à la sphère de centre O, de rayon r pas-sant par A donne :

La sphère contient la charge totale +3q (sans les trois charges ponctuelles −q ) donc : 4

E₂

Le champ E₂est radial centrifuge :

Pour que la charge placée en A soit en équilibre, il faut que : F_A = −qE_A = 0 ⇒ E_A = 0 1) A a les dimensions d’une charge et a d’une longueur

2) E₍M) = −−−→

3) Théorème de Gauss, appliqué à une sphère de centre O et de rayon r : Q

On en déduit :

La charge totale de la distribution correspond à la valeur de Q lorsque r −→ ∞. On trouve :

Qtotale=0

4) Densité volumique de charge à la distance r . On peut écrire : ρ(r)4πr²dr =dQ

Tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle Q₀= A>0 placée au point O.

6) La distribution de charge proposée est équivalente à : – une charge ponctuelle Q0= A positive placée en O ;

– une charge négative −A répartie dans tout l’espace avec la densité volumique : ρ(r)= − A

4πa² 1

r exp(−r/a) – la distribution dans son ensemble est neutre.

Corrigés 77

3.5. Pour des raisons de symétrie (voir exem-ple 1), le champ électrique E est radial. La charge volumique ρ étant positive, ce champ sera centrifuge.

1) Application du théorème de Gauss :

(S)

E·dS= qint

ε0

La symétrie cylindrique de la distribution impose de prendre pour surface de Gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. On a : a) r <R1:

q_int=0 ⇒ E = 0 b) R1 <r < R2 :

2πr h E =π(r²−R₁²)hρ ε0

E = ρ 2ε0

r− R₁²

u_r c) r > R₂:

Cette fois, on a :

2πr h E =π(R₂²−R₁²)h ρ ε0

E = ρ

2ε0r(R₂²−R₁²)ur

2) Utilisation de l’équation locale :

divE = ρ ε0

En coordonnées cylindriques, pour un champ électrique radial, on a : divE = 1

r d dr(r Er) a) r <R1(pas de charges) :

divE =0 ⇒r E_r = A(cte) E_r(r =0)=0 ⇒ A=0⇒ E = 0

b) R₁ <r < R₂ :

On a de nouveau

divE =0 ⇒r Er =C

3.6. La distribution étant de symétrie sphérique, le potentiel V et le champ électrique E ne dépendront que de r .

En coordonnées sphériques, le laplacien se réduit à :

V = 1

L’équation de Poisson s’écrit : 1

e_r r M

R O

(Q )

En r =0, par symétrie :

E = 0⇒ dV

r=0

=0 Donc A=0. Par suite :

V(0<r < R)= −ρr² 6ε0

+B où la constante B sera déterminée ultérieurement.

b) pour r >R on a ρ=0 et l’équation de Laplace s’écrit : 1

r² d dr

r²dV

=0 D’où l’on tire successivement :

r²dV dr =C V = −C

r +D V(∞)=0 ⇒ D=0 Par suite : V(r > R)= −C

r Détermination des constantes B et C :

Le potentiel et le champ électriques sont continus pour r = R. On a donc d’une part :

−ρR²

6ε₀ +B = −C

R (1)

et d’autre part :

−ρR 3ε0

= C

R² (2)

L’équation (2) donne : C = −ρR³ 3ε0

L’équation (1) donne : B = ρR² 3ε0

+ρR² 6ε0

= ρR² 2ε0

Finalement puisque ρ= 3Q

4πR³, on obtient :

• pour r R : V(r)= K Q 2R

3− r²

R²

• pour r R : V(r)= K Q

Dans ce dernier cas, tout se passe comme si toute la charge Q était placée au point O.

2) Le champ électrique E(r)est donnée par : E(r)= −−−→

grad V = −dV dr er

On obtient :

• pour r R : E(r)= K Qr

R³ er

• pour r R : E(r)= K Q

r² er

3) En appliquant le théorème de Gauss :

E·dS= Q_int ε0

où la surface de Gauss S est la sphère (O,r) sur laquelle se trouve le point où l’on calcule le champ E(r ).

a) pour r< R :

Qint= 4

3πr³ρ₀ ⇒ E = ρ₀r 3ε0

er = K Qr R³ er

b) pour r> R :

Q_int=Q ⇒ E = K Q r² e_r On retrouve bien les mêmes résultats.

Corrigés 81

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