4. RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME
4.3 Calcul des paramètres intéressants
structure que [K], sauf qu’elle est triangulaire. Après l’élimination des opérations sur les zéros (les éléments à l’extérieur de la bande), les éléments de la matrice [L] se calculent par les relations suivantes [24]:
Egalement, les vecteurs {y} et {u} se calculent par l’algorithme suivant [24]:
même elle st définie positive.
4.3 Calcul des paramètres intéressants
Après la détermination de la solution du vecteur {u} dans chaque nœud du maillage, notre intérêt s’oriente vers le calcul de quelques paramètres intéressants de l’application de l’équation de Poisson. La discipline mécanique des fluides, par exemple, à l’intérêt sur le calcul de l’écoulement dans des conduites, tels que l’air pour pressuriser des cabines des avions, alimenter les réservoirs de carburant des engins, conduire l’huile pour le graissage des arbres des moteurs etc. Donc, on a besoin de
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connaître quelques résultats qui reflètent l’écoulement, tels que, le coefficient de perte de charge, vitesse maximale, débit du fluide traversant la conduite et vitesse moyenne.
La discipline ‘Résistance des matériaux’, donne le résultat de la torsion des poutres des sections uniquement circulaires. Si la section de la poutre est non circulaire, le calcul de la contrainte de torsion et l’angle de torsion seront données par l’élasticité linéaire, après faire la résolution numérique de l’équation de Poisson où la variable u de l’équation est appelée dans ce cas, flux de contrainte. Donc on a l’intérêt de faire le calcul de la formule de torsion sous la forme d’une certaine constante et la distribution de contrainte de torsion dans la surface de la section de la poutre. Le calcul de la valeur moyenne d’une certaine variable continue, et en particulier, vitesse moyenne de l’écoulement traversant une conduite a besoin de la valeur de l’aire de la surface de la conduite. Donc notre intérêt s’oriente encore vers le calcul de l’aire de section des conduites. Les positions des nœuds de maillage doivent être données par rapport à un repère passant par le centre de gravité de la section, ce qui veut dire, l’intérêt de calcul de la position du centre de gravité de cette section.
4.3.1 Aire et position du centre de gravité de la surface de la section
La surface du domaine a été subdivisée en petits éléments finis de forme triangulaires, ou quadrilatères de forme simples. Alors, l’aire totale de cette section sera approximer par la somme de toutes les aires des surfaces des éléments élémentaires simples. On peut écrire, par conséquent:
i NE
1 i
Ai
A (79)
Si l’élément fini est un quadrilatère (ou rectangle), la surface de cet élément peut être considéré comme l’union de deux triangles. Pour une section subdivisée en petits éléments de géométrie simples, le centre de gravité de cette surface composée est donnée par:
A A ) x ( x
NE i
1 i
i i G G
;
A A ) y ( y
NE i
1 i
i i G G
(80)
Si l’élément fini est un triangle, sa surface est donnée par la formule (13) et la position de son centre gravité d est donnée par les formules (21) et (22).
4.3.2 Intégrale de surface de la solution u du problème
Le calcul des paramètres physiques des phénomènes de la nature utilisent le résultat de certaine intégrale de surface de la solution du vecteur {u} pour déterminer par exemple le débit volumique du fluide à travers une section de forme quelconque, le moment de torsion Mt exercé sur une poutre de section non circulaire, la vitesse moyenne umoy, le courant électrique à travers des fils. Ces paramètres sont donnés par le résultat suivant [9].
Par conséquent, l’intégrale suivante a un grand intérêt physique. Pour cela, on va déterminer mathématiquement l’approximation de résultat de cette intégrale en utilisant le principe de la discrétisation et les fonctions d’interpolations. Soit:
A
y d x d ) y , x ( u
H (81)
Avec H, représentant le débit volumique par unité de profondeur pour le cas du mouvement des fluides et par exemple le moment de torsion pour le cas des problème de l’élasticité 2D, et u(x,y) qui représente la distribution de vitesse dans ce cas de mouvement de fluide, la distribution de flux de contrainte pour le cas de problème de torsion des poutres de section non circulaire. La vitesse moyenne d’un fluide à travers une section droite est donnée par:
A
moy u(x,y)dx dy A
H 1 (82)
On peut considérer l’intégrale comme la somme des intégrales dans les petits éléments finis du maillage. La fonction u(x,y) dans l’élément fini est donnée par la formule (11) pour un élément triangulaire à trois nœuds.
Pour un élément triangulaire à trois nœuds, les fonctions d’interpolations sont données par la formule (12). Remplaçant la relation (12) dans la relation (81), en utilisant les relations (21), (22), (23), (24) et (25):
i NE
1 i
i 3 2 1
i (u u u )
3 A
H 1 (83)
La formule (83) donne le résultat de l’intégrale de surface de la solution {u} pour une discrétisation en éléments finis triangulaires à trois nœuds.
Parfois il est très intéressant pour certains phénomènes physiques, par exemple, le problème de l’étude de la torsion des poutres de section non circulaire, de calculer la dérivée de la solution u dans tous les points du maillage considéré. On parle de la dérivée par rapport à x et la dérivée par rapport à y.
Ces dérivées représentent la distribution des contraintes xz et y z. Dans ce cas, il faut déterminer la contrainte maximale ainsi que sa position dans le domaine.
4.3.3 Position et valeur maximale de la solution u du problème
Il est parfois utile de déterminer la valeur et la position de la solution maximale de {u} du problème. Par exemple, si le vecteur {u} du problème représente la distribution de contrainte d’une sollicitation élastique, il est très intéressant de déterminer sa valeur et sa position afin de localiser la section et le point dangereux qui provoque la rupture, ou, pour faire un dimensionnement d’une structure travaillante sous une contrainte inférieure à une certaine contrainte admissible de rupture, déterminée par les essais pratiques de la résistance des matériaux.
Si par exemple la solution {u} du problème représente la distribution de la vitesse de l’écoulement, il est utile de déterminer la position et la valeur maximale de cette vitesse afin de déterminer la vitesse débitante. Donc nous somme en présence d’un vecteur contient un nombre important de valeur et le problème consiste à déterminer la valeur maximale et la position dans le domaine physique. Il est possible de voir plusieurs points dans le maillage possédants la même valeur maximale de la solution {u}.
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