Pour prédire le comportement macroscopique d’une structure composite tout en tenant compte des effets de la microstructure et des couplages thermomécaniques forts, un schéma d’homogénéisation dans le cadre de la technique EF2 a été mis en place.
Le cadre proposé ici, est l’extension de l’approche développée dans [182] avec la prise en considération de la partie thermique du problème d’homogénéisation, comme il est indiqué dans les sections précédentes.
Pour résoudre ce type de problème fortement couplé, on considère le matériau au niveau de la macro-structure comme étant un milieu homogénéisé soumis à des condi- tions aux limites thermomécaniques appropriées. Par conséquent, la réponse de tout point macroscopique est obtenue à partir de la solution d’un problème microscopique thermomécanique couplé au niveau de la cellule unitaire en utilisant des conditions aux limites périodiques.
L’organigramme de l’algorithme de stratégie de calcul par EF2 est présenté dans la
Figure 5.2. L’approche est totalement intégrée dans le logiciel d’EF Abaqus/Standard et permet de calculer la réponse macroscopique thermomécanique couplée, fortement non linéaire des composites.
Initialisation
- Applications des CLPs sur la cellule unitaire. - Calcul de la conductivité thermique
macroscopiqueκ.
- Calcul des opérateurs tangents
macroscopiques initiaux Dε, Dθ, Rε, Rθ. Échelle macroscopique - Résolution du problème macroscopique - Calcul de l’incrément de déformation macroscopique ∆εn+1. - Calcul de l’incrément de température macroscopique ∆θn+1. Échelle microscopique - Résolution du probléme microscopique.
- Calcul des champs locaux
σ, r, Vk.
- Calcul des opérateurs tangents microscopiques Dε, Dθ, Rε, Rθ.
-Calcul des champs macroscopiques σ, r, q. - Calcul des opérateurs tangents macroscopiques D ε , Dθ, Rε, Rθ via Aε, Aθ. Convergence globale Prochain incrément n=n+1
Mises à jour de tous les champs : σ, r, Vk, Dε, Dθ, Rε, Rθ, σ, r, q, Dε, Dθ, Rε, Rθ. D ε , Dθ, κ Rε, Rθ ∆θn+1 ∆εn+1 σ, r, q D ε , Dθ, Rε, Rθ non oui
Figure 5.2 L’organigramme de l’algorithme de calcul par EF à deux échelle (EF2) pour une réponse thermomécanique non linéaire fortement couplée d’un composite dans Abaqus/Standard.
Le calcul des opérateurs tangents thermomécaniques macroscopiques ainsi que le tenseur de la conductivité thermique macroscopique est décrit ci-dessous :
a) Calcul des opérateurs tangents thermomécaniques macroscopiques en
chaque point de Gauss
Afin d’accélérer la convergence globale, il faut introduire les opérateurs tangents thermomécaniques macroscopiques dans le processus de convergence du calcul EF.
Ces opérateurs tangents sont calculés en faisant le mappage des opérateurs tangents thermomécaniques microscopiques sur la cellule unitaire par l’intermédiaire des condi- tions aux limites périodiques. Les conditions aux limites périodiques dans la cellule unitaire peuvent être appliquées numériquement en utilisant le concept des nœuds de pilotage ("constraint drivers", section 3.2.1). Cette technique introduit six nœuds fictifs permettant d’appliquer un état de déformation, de contrainte ou même mixte contrainte-déformation macroscopique sur une cellule unitaire périodique ([105, 167]). Ces nœuds de pilotage sont liés à la cellule unitaire par l’équation cinématique (5.17)4.
Le déplacement attribué à ces nœuds de pilotage représente les déformations macrosco- piques. Le lecteur pourra se référencer à [148, 182, 181] pour plus de détails.
Pour obtenir les opérateurs tangents thermomécaniques, sept cas de chargement élémentaires sont considérés au niveau microscopique (Figure 5.3). Les opérateurs tangents microscopiques en chaque point d’intégration de la cellule unitaire sont obtenus à la fin de la première partie du problème de la cellule unitaire. Ces opérateurs tangents sont utilisés comme des entrées dans les sept analyses et sont considérés comme constants.
Figure 5.3 Connexion des nœuds de pilotage avec la cellule unitaire pour le calcul des composantes des opérateurs tangents thermomécaniques macroscopiques.
Dans un premier temps, les six cas de chargement élémentaires de type mécanique sont réalisés, dans lesquels des états de déformation élémentaires (une composante égale à 1 et le reste égale à zéro) sont affectés aux nœuds de pilotage (voir section 3.2.1). Dans chaque cas de chargement élémentaire, les forces générées sur les nœuds fictifs divisées par le volume de la cellule unitaire représentent une colonne de l’opérateur tangent mécanique macroscopique Dε
[182], tandis que les déformations générées à chaque point microscopique représentent une colonne du tenseur de concentration mécanique Aε. En assemblant les résultats des six cas de chargements mécaniques et en utilisant l’équation
(5.453), les opérateurs tangents macroscopiques D
ε et Rε
sont obtenus. Dans le septième cas de chargement élémentaire de type thermique, le déplacement nul est considéré pour tous les nœuds de pilotage, tandis qu’une température macroscopique unitaire (θ = 1) est attribuée à chaque point de la cellule unitaire. Les forces générées aux nœuds de pilotage divisée par le volume de la cellule unitaire représentent directement l’opérateur tangent macroscopique thermique Dθ
, tandis que les déformations générées à chaque point microscopique représentent le tenseur de concentration thermique Aθ. Le dernier opérateur tangent thermomécanique Rθ
est obtenu en moyennant l’équation (5.45)4 sur le volume de la cellule unitaire.
b) Calcul du tenseur de la conductivité thermique macroscopique
Comme il est déjà mentionné dans la section précédente, la conductivité thermique macroscopique κ est calculée une fois au début de la procédure d’homogénéisation périodique séparément de l’équilibre microscopique. Cela peut être considéré comme un calcul séparé de la procédure itérative EF2. En général dans les analyses par EF pour
les milieux périodiques, la cellule unitaire est associée à un maillage périodique. Cela signifie que pour chaque nœud situé sur une limite de la cellule unitaire, il y a toujours un autre nœud à la même position relative du côté parallèle opposé. Pour appliquer un gradient de température macroscopique ∇θ sur la cellule unitaire en tenant compte des conditions aux limites périodiques en température, un champ de température est appliqué entre chaque paire de nœuds parallèles opposés. Ces derniers sont désignés ici par les indices i et j. Le champ de température est lié au gradient de température macroscopique par la relation générale suivante [171] :
θi− θj = ∇θ ·
xi− xj
. (5.52)
D’un point de vue technique, à l’aide du concept des nœuds de pilotage, on peut appliquer numériquement les trois composantes du vecteur de gradient de température macroscopique ∇θ sur la cellule unitaire, tout en tenant en compte les conditions aux limites périodiques en température (Figure 5.4). Plus de détails sur ce concept sont présentés dans l’Annexe C et les références [105, 106, 167]. Ces nœuds de pilotage (trois "constraint drivers") sont liés au maillage de la cellule unitaire par l’équation
5.52. Leurs températures notés ici par θcd
i , prennent exactement les valeurs du vecteur gradient de température macroscopique.
Lors des calculs par EF dans Abaqus/Standard, l’analyse de transfert de chaleur permet de calculer un vecteur de flux de chaleur sur ces nœuds fictifs. Ce flux de
chaleur correspond directement au flux de chaleur macroscopique q multiplié par le volume de la cellule unitaire V .
Pour obtenir le tenseur de conductivité thermique macroscopique, on applique sur la cellule unitaire les trois cas de chargement élémentaires thermiques qui correspondent au gradient de température macroscopique unitaire :
∇θ1 = (1 0 0)T , ∇θ2 = (0 1 0)T , ∇θ3 = (0 0 1)T . (5.53)
Conditions aux limites
Figure 5.4Connexion de la cellule unitaire avec les nœuds de pilotage thermiques. Les flux de chaleur macroscopiques q1, q2 et q3 générés sur les nœuds de pilotage
fictifs, correspondent directement aux trois colonnes du tenseur (d’ordre 2) de la conductivité thermique macroscopique :
(κ)ij = −(qi)j. (5.54)