Calcul du gradient

Un des défis numériques de la méthode adjointe est le calcul de la corrélation croisée entre les champs directs et adjoints (équation (3.36)). Ce calcul implique la multiplication du champ directe et adjoint à chacun des pas de temps. Cependant, le champ adjoint est propagé du temps final au

z

Figure 4.6 – Schéma des cellules de la grille transférées de la mémoire globale à la mémoire locale à l’intérieur d’un groupe de travail local. Les cellules en blancs sont mises à jours tandis que les cellules en gris ne sont utilisées que pour les calculs des dérivées spatiales.

temps initial, tandis que le champ direct est propagé du temps initial au temps final. Pour que ces deux champs soient accessibles au même pas de temps, plusieurs stratégies ont été proposées. Dussaud et al. (2008) et Nguyen & McMechan (2015) en font une bonne revue. Quatre stratégies sont particulièrement utilisées:

— Sauvegarde en mémoire La stratégie la plus évidente est de sauvegarder en mémoire le champ sismique direct entier à chaque pas de temps ou à un sous-ensemble des pas de temps. Lorsque le champ adjoint est propagé du temps final au temps initial, le champ direct est lu de la mémoire, et le produit scalaire peut être évalué itérativement, pas de temps à pas de temps.

— Propagation inverse La stratégie de la propagation inverse (Clapp, 2008; Yang et al., 2014) consiste à sauvegarder chaque pas de temps du pourtour de la grille sismique qui n’est pas dans la zone absorbante. La largeur de bande du pourtour devant être sauvegardée est égale à la moitié de l’ordre du schéma de différences finies. Le champ direct est reconstitué lors de la propagation du champ adjoint en le propageant à temps inverse à partir de l’état final. À chaque pas de temps, les valeurs sauvegardées du pourtour sont réinjectées. Étant donné que le champ direct et adjoint sont propagés du temps final au temps initial, la corrélation croisée peut être calculée itérativement, pas de temps à pas de temps.

— Sélection de fréquences La corrélation croisée peut être calculée dans le domaine des fréquences (équation (3.37)). Lors de la mise à jour des champs direct et adjoint, quelques fréquences discrètes peuvent être calculées par la transformée de Fourier discrète et sauve- gardées en mémoire. Suite à la propagation du champ adjoint, la corrélation croisée peut être approximée par la multiplication des fréquences sélectionnées. Cette approche temps-

fréquence a été adoptée par Sirgue et al. (2008), entre autres. Une méthode alternative pour calculer un faible nombre de composantes fréquentielles a été proposée par Furse (2000), mais n’a pas été testée dans ce travail.

— Points de contrôle optimaux La méthode des points de contrôle optimaux proposée par Griewank (1992) et Griewank & Walther (2000) et appliquée par (Symes, 2007) consiste à sauvegarder en mémoire le champ sismique direct à un certain nombre de pas de temps nommés points de contrôle. Afin de calculer le produit scalaire, le champ direct est reconstitué lors de la propagation adjointe en propageant le champ directe à partir du point de contrôle du temps le plus rapproché. Pour un nombre fixe de points de contrôle, une distribution temporelle optimale qui minimise le nombre de mises à jour supplémentaires du champ direct peut être calculée. Pour cette distribution optimale, le nombre de points de contrôle et le nombre de mises à jour supplémentaires varient de façon logarithmique avec le nombre total de pas de temps. Des améliorations de la méthode ont été proposées par Anderson et al. (2012) et Komatitsch et al. (2016) dans le cas viscoélastique.

Parmi ces stratégies, la sauvegarde en mémoire est irréaliste, car elle requiert une énorme quan- tité de mémoire pour des problèmes de moyennes et grandes tailles. En 3D, un nombre d’éléments de l’ordre de O(N_tN3) doit être sauvegardé, ce qui dépasse rapidement les capacités en mémoire actuelles. Notons que l’utilisation de la compression et du sous-échantillonnage peuvent réduire le coût de cette approche (Boehm et al., 2016; Sun & Fu, 2013). La stratégie de la propagation ar- rière nécessite beaucoup moins de mémoire: un nombre de l’ordre de O(NtN2) éléments doit être

sauvegardé en 3D. Cependant, comme le champ direct doit être propagé une deuxième fois, cette stratégie nécessite un plus grand nombre de calculs, soit trois modélisations sismiques au lieu de deux. De plus, la propagation arrière n’est pas compatible avec l’équation viscoélastique. En effet, en inversant le temps, c’est-à-dire ∆t → −∆t, les équations de mise à jour des variables de mémoire (équation (2.51)) deviennent instables.

Ainsi, pour l’équation viscoélastique, seules les stratégies en fréquence et de points de contrôle optimaux sont envisageables. Les ressources en mémoire de la stratégie de la sélection de fréquences varient selon O(NfN3), où Nf est le nombre de fréquences sélectionnées. Cependant, il est possible

de choisir un nombre restreint de fréquences (Sirgue & Pratt, 2004), mitigeant le coût en mémoire de cette stratégie. La méthode des points de contrôle optimaux nécessite la sauvegarde de O(NcN3)

nombre de pas de temps de la simulation, le nombre de points de contrôle et le nombre de mises à jour additionnelles, la mémoire requise reste la plupart du temps raisonnable. Par exemple, pour 10 000 pas de temps, en utilisant 30 points de contrôle, le coût de la méthode n’est que de 3.4 fois celui d’une seule modélisation directe.

Dans ce travail, la stratégie de la propagation arrière a été implémentée pour le cas élastique et la stratégie de la sélection en fréquence a été implémentée pour les cas élastiques et viscoélastiques. L’implémentation de la méthode des points de contrôle optimaux ou de la méthode hybride points de contrôle/propagation arrière (Yang et al., 2016a) sera l’objet de travaux futurs.

Le calcul du gradient selon la stratégie de la propagation arrière est schématisé à l’Algorithme 10. Par désir de simplicité, cet exemple n’est écrit que pour un seul engin de calcul et donc aucune communication n’est requise. De plus, cet algorithme est appliqué à l’équation élastique. Ainsi, à chaque pas de temps lors de la propagation du champ direct, les valeurs des variables sismiques sur les pourtours du modèle sont sauvegardées. Comme la quantité de mémoire dans les GPUs est assez limitée, ces valeurs sont transférées à l’hôte à chaque pas de temps. Cette communication est simultanée aux calculs de mise à jour, ce qui est possible avec OpenCL en utilisant une deuxième queue de commandes. Après avoir calculé les résidus (ligne 7), ceux-ci sont propagés par la routine adjointe et le champ direct est propagé à rebours en redéfinissant le pas de temps comme négatif ∆t → −∆t. De plus, à chaque pas de temps, les valeurs du pourtour du champ direct sont réinjectées. Ainsi, lors de la propagation arrière, les champs directs et adjoints sont accessibles au même pas de temps et la composante du gradient est additionnée à chaque pas de temps (ligne 13).

Algorithme 10 Stratégie de la propagation arrière 1: while t < Ntdo

2: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(vi) 3: SauvegarderSauvegarderSauvegarder vi sur pourtour

4: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(σ_i)

5: SauvegarderSauvegarderSauvegarder σ_i sur pourtour

6: IncrémenterIncrémenterIncrémenter t

7: CalculerCalculerCalculer résidus

8: while t > 0 do

9: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(vi, i~v) 10: InjecterInjecterInjecter v_i sur pourtour

11: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(σ_i, i~σ) 12: InjecterInjecterInjecter σi sur pourtour

13: Calcul partielCalcul partielCalcul partiel gradients

La stratégie de sélection de fréquences est décrite à l’Algorithme 11. Lors de la propagation du champ direct, la transformée de Fourier discrète des variables sismiques est calculée de façon incrémentielle pour les fréquences sélectionnées. Lors de la propagation des résidus, la transformée de Fourier discrète des variables adjointes est obtenue de la même façon. Après la propagation adjointe, les composantes fréquentielles des champs adjoints et directs sont multipliées pour obtenir le gradient. À noter qu’en raison de la quantité de mémoire limitée des GPU, le nombre de fréquences pouvant être calculé est limité.

Algorithme 11 Stratégie de la sélection des fréquences 1: while t < Ntdo

2: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(vi) 3: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER(σ_I, rI) 4: ExécuterExécuterExécuter DFT(v_i, σI, rI) pour f reqs 5: IncrémenterIncrémenterIncrémenter t

6: CalculerCalculerCalculer résidus

7: while t > 0 do

8: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER( i~v) 9: ExécuterExécuterExécuter KERNEL_ACTUALISER( ~σi, ~rI) 10: ExécuterExécuterExécuter DFT( ~v_i, ~σi, , ~rI) pour f reqs 11: DécrémenterDécrémenterDécrémenter t

12: CalculerCalculerCalculer gradients