Calcul du comportement élastique linéaire équivalent d'un sol

(3.9) où les scalaires pdd(2i−1) et qdd(2i−1) sont exprimés par :

pdd(2i−1) = ¹ 3 µ 1 + νdd(2i−1) 1 − νdd(2i−1) ¶ (3.10) qdd(2i−1) = ² 15 µ 4 − 5νdd(2i−1) 1 − νdd(2i−1) ¶ (3.11) avec νdd(2i−1) le c÷cient de Poisson eectif à l'étape (2n − 1).

A l'étape 2i + 1, au cours de laquelle on ajoute une fraction ∆S de sable qui représente un taux d'hétérogénéité H2i+1, le comportement équivalent obtenu est donné par :

Kdd(2i+1)= Kdd(2i)+ H_2i+1^¡Ks− Kdd(2i)¢     ¹ (1 − pdd(2i)) + ^KS Kdd(2i)pdd(2i)     (3.12) et

µ^dd(2i+1) = µ^dd(2i)+ H2i+1

¡ µ^s− µ^dd(2i)¢     ¹ (1 − qdd(2i)) + ^µ S µdd(2i)q^dd(2i)     (3.13)

3.2.4 Calcul du comportement élastique linéaire équivalent

d'un sol injecté : comparaison des deux méthodes

Dans cette section, nous présentons quelques résultats numériques avec une porosité initiale avant injection xée à Φi = 36% correspondant à un rayon Rs = 0, 85 pour les grains de sable dans la méthode des milieux périodiques pour une cellule de base unité. Ces deux paramètres étant xés, nous allons examiner l'inuence du taux et la répartition spatiale du ciment sur le comportement macroscopique.

Quelques résultats obtenus avec la méthode des milieux périodiques pour diérentes microstructures et avec la méthode analytique itérative sont présentés dans la table 3.2 (la porosité nale vaut 30%). Dans la table 3.2, δ[.] désigne l'erreur relative des résultats obtenus avec la méthode des milieux périodiques par rapport aux résulats obtenus avec la méthode analytique itérative, exprimée en % :

δ = ^|C÷f.périodique − C÷f.analytique|

3.2. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE 83

Microstructure E (GPa) δE µ (GPa) δµ ν δν

(1-1) 8,629 13,41 3,354 7,45 0,2862 30,92 (2-1) 8,634 13,47 3,443 10,29 0,2537 16,02 (1-2) 8,269 8,67 3,216 3,03 0,2854 30,56 (2-2) 7,5266 1,08 2,979 4,56 0,2631 20,35 Analytique 7,6086 × 3, 1219 × 0,2186 ×

Tableau 3.2  Caractéristiques élastiques homogénéisées obtenues avec la méthode des milieux périodiques et avec la méthode analytique itérative

Nous constatons qu'à cette valeur de la porosité nale (30%), les résultats obtenus pour le module d'Young avec la méthode des milieux périodiques sont proches pour diérentes microstructures, sauf pour la microstructure 2-type 2 qui donne des résul-tats plutôt proches des résulrésul-tats obtenus avec la méthode analytique itérative. Quant au module de cisaillement isotrope µ (ce module est calculé par : µ = E/(2(1 + ν)) pour la méthode des milieux périodiques), les résultats numériques et analytiques sont proches. Cependant, ce sont les microstructures de type 2 qui donnent les résultats les plus proches des résultats analytiques. Similairement au module de cisaillement isotrope µ, la même remarque est faite pour le c÷cient de Poisson. Toutes ces constatations seront globalement expliquées dans la suite lors des discussions sur les courbes obtenues avec diverses valeurs de la porosité nale.

84 CHAPITRE 3. APPLICATION AUX SOLS INJECTÉS

Figure 3.17  C÷cient de Poisson homogénéisé, ν.

3.2. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE 85

Figure 3.19  Module de cisaillement isotrope, µ

Sur les gures 3.16, 3.17, 3.18 et 3.19, nous avons tracé le module d'Young, le c÷cient de Poisson, le module de cisaillement, G (le comportement obtenu par la méthode des milieux périodique étant quasi-isotrope), ainsi que le module de cisaille-ment isotrope, µ = E/(2(1 + ν)), fonctions de la porosité nale, (ou encore du taux de cimentation). Pour les microstructures de type 2, nous avons xé l'épaisseur de la couche de ciment à lc = 0, 01, soit un rapport lc/Rs = 0, 0117.

Sur ces gures, on remarque que :

 Le module de Young ainsi que le module de cisaillement isotrope, µ, calculés par la méthode itérative sont proches de ceux calculés sur la microstructure (1-1).

 Le c÷cient de Poisson est quasiment constant,

 Vis-à-vis du cisaillement, la microstructure 1 est plus rigide que la microstructure 2.

 Vis-à-vis de la traction, la microstructure 2, est plus rigide que la microstructure 1, pour les forts taux de cimentation. Mais cette raideur s'inverse au prol de la microstructure 1, dès que baisse le taux de cimentation.

 À forts taux de cimentation, les microstructures de type 2 (avec une couche d'épaisseur 0,01) sont plus raides, en traction comme en cisaillement, que les microstructures de type 1 (sans couche). Cette tendance s'inverse avec la baisse du taux de cimentation.

Ces constatations, montrent nettement que le comportement équivalent est fonction non seulement du taux de cimentation mais aussi de sa répartition spatiale.

86 CHAPITRE 3. APPLICATION AUX SOLS INJECTÉS

Figure 3.20  Module d'Young homogénéisé : Inuence des couches de ciment épaisses

Figure 3.21  C÷cient de Poisson homogénéisé : Inuence des couches de ciment épaisses

3.2. COMPORTEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE 87

Figure 3.22  Module de cisaillement homogénéisé : Inuence des couches de ci-ment épaisses

Figure 3.23  Module de cisaillement isotrope : Inuence des couches de ciment épaisses

Nous avons ensuite cherché à atteindre de forts taux de cimentation. Pour ce faire nous avons utilisé des V.E.Rs de type 2 avec des couches de ciment épaisses (d'épaisseur

88 CHAPITRE 3. APPLICATION AUX SOLS INJECTÉS

module d'Young, le c÷cient de Poisson, le module de cisaillement, G, ainsi que le module de cisaillement isotrope, µ, fonctions de la porosité nale, (ou encore du taux de cimentation).

Sur ces gures, on remarque que :

 Là encore, nous avons une bonne concordance entre le module d'Young et le module de cisaillement isotrope, µ, obtenus par la méthode itérative et ceux calculés sur la microstructure 1 par la méthode périodique.

 Les c÷cients de Poisson sont quasiment constants.

 Les modules calculés avec les couches épaisses sont moins rigides que ceux calculés avec les couches moins épaisses. Ceci peut se comprendre, puisqu'en augmentant la couche de ciment en surface des grains de sable, on aaibli les éléments de liaison entre ces grains. Cependant, nous avons vu, dans le cas de la couche d'épaisseur lc = 0, 01 examinée précédemment, que cette remarque n'est valide que pour les faibles taux de cimentation. Nous reviendrons plus loin sur ces com-portements pour comprendre le rôle exacte joué par la partie de ciment en surface des grains de sable.

3.2.5 Discussion et comparaison des diérents modèles pour