Calcul des propriétés électrostatiques de protéines

L’énergie électrostatique d’une distribution de charge,ρ(r), sous l’influence d’un potentiel,φ(r), est donnée par (Jackson, 1975)

E = ¹ 2

Z

ρ(r)φ(r)dV. (2.130)

Dans la simulation MD conventionnelle, les paramètres nécessaires pour évaluer des interactions électrostatiques sont souvent représentés comme des point-charges (ou “point-charges”) pour chaque type d’atome dans une molécule. Par conséquent, il est commode d’utiliser ces point-charges pour

calculer des expansions SPF 3D. Cependant, puisque ces modèles de charge assument en général la présence des atomes d’hydrogène, et puisque des atomes d’hydrogène ne sont pas normalement résolus dans des structures protéiques de rayon X, il est d’abord nécessaire d’ajouter à la protéine des hydrogènes polaires. Ceci est fait automatiquement dans le programme Hex en utilisant des géométries standard d’acides aminés pour déduire ou deviner les positions des hydrogènes. Des charges d’atome sont alors assignées à partir de l’ensemble de paramètres AMBER (Weiner et al., 1984). Les coefficients de densité de charge de SPF peuvent être calculés en égalisant une ex-pansion d’ETO pour ρ(r) à une expression classique de densité de charge due à un ensemble de point-charges,q_i, aux positionsx_i ≡ ri, en utilisant

ρ(r) =^X i q_iδ(x − xi) = N X n′=1 n′−1 X l′=0 l′ X m′=−l′ a^ρ_n′l′m′S_n′l′(r)y_l′m′(θ, φ), (2.131)

oùδ(x)est le delta 3D de Dirac

δ(x) =    1 si x = (0, 0, 0), 0 autrement. (2.132)

Puis en multipliant les deux côtés de l’Eq 2.131 parS_nl(r)y_lm(θ, φ)et en intégrant immédiatement on obtient le résultat

a^ρ_nlm=^X

i

q_iS_nl(r_i)y_lm(θ_i, φ_i). (2.133)

Les coefficients d’expansion pour le potentiel in vacuo peuvent être calculés à partir de la densité de charge en résolvant l’équation de Poisson

∇²φ(r) = −4πρ(r). (2.134)

En substituant l’expansion de série de chaque côté, en appliquant ∇² aux fonctions de base, en multipliant les deux côtés du résultat parS_n′l′(r)y_l′m′(θ, φ)et en intégrant, ceci donne

N X n=l+1 a^φ_nlm Z ∞ 0 S_nl^′′(r) + 2S_nl^′ (r)/r − l(l + 1)Snl(r)/r²
S_n′l(r)r²dr = −4πa^ρ_n′lm, (2.135)

oùS′_dénote∂S/∂retc. Puis, en intégrant par parties le termeS′

nl(r)ceci donne

N

X

n=l+1

a^φ_nlmG^(l)_nn′ = −4πa^ρ_n′lm, (2.136)

où chaque élément deG(l)a la forme symétrique

G^(l)_nn′ = − Z ∞

0

S_nl^′ (r)S_n^′′l(r)r²+ l(l + 1)S_nl(r)S_n′l(r)

On peut voir que pour chaque l etm, l’Eq 2.136 représente un ensemble d’équations simultanées avec des coefficients, a^φ_n′lm, qui peuvent être déterminés en inversant chaque matrice G^(l). Les éléments deG^(l) peuvent être calculés par la manipulation directe de l’expansion de série pour les polynômes de Laguerre. Par exemple, en écrivant

S_nl(r) = n−l−1 X k=0 D_nlke^−ρ/2ρ^l+k, (2.138) oùρ = 2Λret D_nlk = (−1)^{k (n − l − 1)!(n + l + 1)!}
1/2 (n − l − k − 1)!(k + 2l + 2)!k!^{, (2.139)} permet à l’Eq 2.137 d’être simplifiée terme à terme pour donner l’expression symétrique

G^(l)_nn′ = ¹ 4 n−l−1 X k=0 n′−l−1 X k′=0 D_nlkD_n′lk′(2l + k + k^′)![(k − k^′)²− (k + k^′) − 2(2l + 1)(l + 1)]. (2.140)

Chaque matriceG^(l)peut alors être inversée en utilisant des techniques numériques standard. Grâce à cette approche, les expansions de charge-densité et de potentiel à l’ordre N=30 peuvent être cal-culées pour une protéine typique en moins d’une seconde. Il vaut la peine de noter que l’équation de Poisson est normalement résolue en utilisant l’intégration numérique sur une grille 3D qui peut être coûteuse, et sujette à erreur. Si les point-charges ne sont pas trop éloignés de l’origine, la solution analytique présentée ici est efficacement exacte jusqu’à l’ordre d’expansion choisi. La figure 2.14 montre le potentiel électrostatique d’ETO sur la surface de la protéine de lysozyme d’oeuf de poule (Code PDB 1LZA) calculée à l’ordre N=30.

Figure 2.14: Le potentiel électrostatique d’ETO calculé à l’ordre N=30 pour le lysozome (code PDB 1LZA). L’image sur la gauche montre le potentiel électrostatique sur l’isosurface contournée de densité de SPF N=30. L’image sur la droite montre le même potentiel sur la densité gaussienne atomique contournée originale. Les couleurs rouges et bleues représentent des potentiels négatifs et positifs respectivement. Dans ces images, le lysozyme est orienté de manière à montrer son site catalytique (rouge) dans la région gauche de la molécule.

Chapitre 3

Corrélations polaires sphériques de

Fourier

3.1 Notation d’un opérateur et opérations de coordonnées 3D

Dans les applications infographiques, par exemple, dans lesquelles des objets graphiques complexes sont souvent représentés par des listes de polygones connectés, il est relativement simple de lo-caliser de tels objets dans une scène en multipliant les coordonnées des sommets du composant polygone par des matrices de rotation et de translation homogènes4 × 4bien choisies. D’autre part, afin de comparer une paire de formes moléculaires semblables ou d’amarrer une paire de molécules complémentaires, il est nécessaire de tourner et translater l’une ou les deux molécules afin de trouver l’orientation relative qui donnera la meilleure superposition ou contraposition respectivement. Cepen-dant, même si les molécules sont représentées comme des expansions équivalentes aux expansions de Fourier et que le but est de transformer de telles expansions directement, il n’est pourtant pas trivial d’en déduire comment les opérations correspondantes des coordonnées pourraient être représentées et implémentées.

Par conséquent, il me semble utile de commencer par définir des opérateurs de coordonnées abstraits,_Rˆ _etTˆ_{, qui, respectivement, tourneront et translateront des objets ou des représentations} de l’espace euclidien ou de Hilbert de manière appropriée. Par exemple, si _Rˆ_{z(α) représente un} opérateur permettant à une molécule (objet) d’effectuer une rotation de α autour de l’axez et si la molécule est représentée par une expansion SPF avec les coefficientsa_nlm, alors nous souhaitons trouver les coefficients de rotation a^′_nlm appropriés de sorte que la molécule tournée puisse être représentée comme ˆ Rz(α)σ(r) = N X n=1 n−1 X l=0 l X m=−l a^′_nlmR_nl(r)y_lm(θ, φ). (3.1)

de Hilbert et l’opération correspondante sur les coordonnées dans un espace euclidien. Par exemple, une rotation “active” positive des coefficients d’expansion (objet) est complètement équivalente à une rotation opposée “passive” des fonctions de base (axes de coordonnées). En d’autres termes, Eq 3.1 peut également être écrite comme

ˆ R_z(α)σ(r)≡ σ( ˆR_z(α)⁻¹r) = N X k=1 k−1 X j=0 j X p=−j a_kjpR_kj(r)y_jp(θ, φ − α), (3.2)

où les indices sur la droite ont été re-nommés pour faciliter la prochaine étape. Si nécessaire, la forme de l’opérateur de rotation sur la gauche peut être instanciée comme une matrice3 × 3

ˆ R_z(α)⁻¹ = R_z(−α) =    cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1   . (3.3)

Maintenant, en égalisant les additions dans les équations 3.1 et 3.2, en multipliant les deux côtés parR_nl(r)y_lm(θ, φ)et en intégrant, on obtient

a^′_nlm= a_nlp Z 2π

0

ψ_m(φ)ψ_p(φ − α). (3.4)

En d’autres mots, en considérant l’intégrale de recouvrement entre les fonctions de base originales et transformées, on peut calculer (au moins en principe) les coefficients d’expansion transformés. En pratique, ceci est simple pour des rotations-zpures, mais beaucoup plus difficile pour des rotations et des translations générales. Néanmoins, ceci est essentiellement le point de départ utilisé dans la section 3.4 pour calculer les translations. Toutefois, il est d’abord nécessaire d’étudier plus en détails les rotations.

Puisqu’une rotation implique toujours un axe et un angle de rotation, trois paramètres angulaires sont nécessaires pour décrire une rotation générale dans l’espace 3D (c-à-d. deux angles fixant l’orientation de l’axe et le troisième angle indiquant la valeur de rotation sur cet axe). En travaillant avec les SH, il est normal de suivre la convention “z-y-z” d’Euler pour des rotations dans l’espace 3D, dans lequel une rotation active d’un objet est décrite par des rotations successives deγ autour de l’axez, deβautour de l’axeyet finalement deα(encore) autour de l’axez. Ceci peut être représenté comme

ˆ

R(α, β, γ) = ˆRz(α) ˆRy(β) ˆRz(γ) (3.5)

où l’opérateur à l’extrême droite est appliqué en premier. Comme il est montré ci-dessous, des rotations autour de l’axezsont simples à implémenter pour des expansions de SH. Par conséquent, la conventionz-y-zd’Euler est un choix naturel pour représenter les rotations 3D. Lorsqu’il est appliqué

aux coordonnées cartésiennes, l’opérateur général de rotation Euler peut être instancié comme

R(α, β, γ) =   

cos α cos β cos γ − sin α sin γ − cos α cos β sin γ − sin α cos γ cos α sin β sin α cos β cos γ + cos α sin γ cos α cos γ − sin α cos β sin γ sin α sin β

− sin β cos γ sin β sin γ cos β   .

(3.6) Inversement, la forme de l’Eq 3.6 nous indique qu’une matrice générale de rotation, R, peut être décomposée en trois angles de rotation d’Euler selon

β = cos⁻¹(R22)

γ = cos⁻¹(−R20/ sin β) α = cos⁻¹(R₀₂/ sin β).

(3.7)

Les cas spéciaux deR₂₂= 1etR₂₂= −1peuvent être résolus en mettantγ = 0etα = cos−1(R₀₀) ouα = cos⁻¹(R11)respectivement.

Bien qu’un certain système puisse demander l’application d’une transformation arbitraire de co-ordonnées à une expansion polaire de Fourier, une translation générale est beaucoup plus difficile à calculer qu’une rotation générale dans une base SH. Par conséquent, il est avantageux de calculer des translations seulement par rapport à l’axe dezet de définir un mouvement général comme une composition d’une ou plusieurs rotations et d’une seule translation en z pure. Par exemple, si T représente une matrice générale de transformation homogène4 × 4,

T =       R₀₀ R₀₁ R₀₂ T_x R₁₀ R₁₁ R₁₂ T_y R₂₀ R₂₁ R₂₂ T_z 0 0 0 1       , (3.8) et si r =^qT2 x + T2 y + T2 z θ = cos⁻¹(T_z/r) φ = cos⁻¹(T_x/r sin θ) (3.9)

(oùφ = 0siθ = 0), alorsT peut être décomposé en

T = R₂T_z(r) R₁, (3.10)

où T_z(r)représente une translation pure der le long de l’axe positif dez, et oùR₁ etR₂ sont des rotations pures. Il est alors simple de voir que

et

R₁= T_z(−r) Ry(−θ) Rz(−φ) T . (3.12) Puisque R₁ se résoudra normalement grâce aux trois angles distincts de rotation d’Euler, on peut voir qu’une transformation générale 3D peut être caractérisée par un paramètre de translation et cinq paramètres angulaires.