Dans les paragraphes suivants nous rappelons les approches théoriques permettant la détermination de l’impédance et de l’admittance linéiques du pylône.
6.1. L’impédance et l’admittance linéiques des segments verticaux du pylône 6.1.1. Approche de Gutierrez et all
L’approche de Gutierrez et al. [2-9] traite les pylônes en treillis qui sont habituellement constitués de plusieurs modules et chaque module se compose de quatre longs bars appelés colonnes (figure 2.10). Pour cette approche les colonnes sont similaires à des cylindres.
Figure 2.10. Exemple d’un pylône en treillis avec ses dimensions géométriques. Remarque :
Sous l’hypothèse d’une propagation en mode TEM (Transverse Electromagnétique), les colonnes de chaque module peuvent être modélisées comme des lignes multiconductrices qui peuvent être ensuite réduites en lignes monophasées soit par réduction de Kron soit par les formules des faisceaux de conducteurs [2-9].
Soit l’élément infinitésimal 𝒅𝒉 d’une colonne verticale de rayon 𝒓𝑪 localisé à une hauteur 𝒉 au-dessus d’un sol de conductivité finie (figure 2.11.a). Dans cette méthode,
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l’élément 𝒅𝒉 est traité comme un élément d’une ligne conique renversée [2-9], celle en figure 2.11.b.
Figure 2.11. a. Cylindre vertical au-dessus d’un sol de conductivité finie.
b. Représentation d’une ligne conique et son image.
La prise en compte des pertes dues au sol de conductivité finie est assurée par l’épaisseur complexe 𝒑 associée à la méthode des images [2-10].
En effet, l’impédance caractéristique 𝒁𝟎𝒊𝒊(terme propre) de la ligne conique renversée se compose de [2-9] : 𝒁𝟎𝒊𝒊 = 𝒁𝑮𝒊𝒊+ 𝒁𝑺𝒊𝒊 (2.35) Où : 𝒁𝑮𝒊𝒊 = 𝟏 𝟐𝛑√µ𝛆𝒍𝒏 [√𝒉 𝟐+𝒓𝑪𝟐+𝒉 𝒓𝑪 ] (2.36)
𝒁𝑮𝒊𝒊 est l’impédance géométrique caractéristique d’un cylindre vertical situé à une hauteur h d’un sol parfaitement conducteur ;
61 | P a g e 𝒁𝑺𝒊𝒊 = 𝟏 𝟐𝛑√µ𝛆𝒍𝒏 [√(𝒉+𝒑) 𝟐+𝒓𝑪𝟐+(𝒉+𝒑) √𝒉𝟐+𝒓𝑪𝟐+𝒉 ] (2.37)
𝒁𝑺𝒊𝒊est l’impédance de correction due à la conductivité finie du sol. Avec 𝒑l’épaisseur de
peau complexe (𝒑 = 𝟏/√𝒋𝝎𝝁𝑺𝝈𝑺). 𝛍𝐒 et 𝛔𝐒 sont respectivement la perméabilité et la
conductivitédusol.
D’autre part, l’inductance géométrique 𝑳𝑮 propre est reliée à l’impédance géométrique
𝒁𝑮𝒊𝒊par :
𝑳𝑮 = √𝝁𝜺. 𝒁𝑮𝒊𝒊 (2.38)
Avec 𝛍 et 𝛆 sont respectivement, la perméabilité et la permittivité du milieu (air).
Le calcul de l’admittance linéique propre, passe par le calcul de la capacité
géométrique propre 𝑪𝑮 pour un conducteur vertical, donnée par [2-11] :
𝑪𝑮 = 𝝁𝜺(𝑳𝑮)−𝟏 (2.39)
En définissant en suite, l’inductance complexe généralisée𝑳𝑬𝑪 qui s’exprime par [2-11] :
𝑳𝑬𝑪 = √𝝁𝜺. 𝒁𝑺 (2.40)
Dont :
1. la partie réelle constitue l’inductance du sol 𝑳𝑬 :
𝑳𝑬 = 𝑹𝒆(𝑳𝑬𝑪) (2.41)
2. la partie imaginaire représente la résistance du sol𝑹𝑬 :
𝑹𝑬 = −𝛚 𝐈𝐦𝐚𝐠 (𝑳𝑬𝑪) (2.42) Après, en introduisant les paramètres propres𝑹𝑪𝒊𝒊 et 𝑳𝑪𝒊𝒊 exprimant l’effet de la pénétration
du champ électromagnétique dans les colonnes. Ces paramètres se calcul par l’expression
haute fréquence ci-après [2-12] :
𝒋𝛚𝑳𝑪𝒊𝒊+ 𝑹𝑪𝒊𝒊 =√𝒋𝝎𝝁𝝆
𝟐𝛑𝒓𝑪 (2.43)
Avec 𝝆 et𝝁 sont respectivement la résistivité et la perméabilité du matériau constituant la colonne (fer par exemple) ; 𝒓𝑪 estle rayon équivalent de la colonne verticale.
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Enfin, les paramètres linéiques R, L et Ctotaux d’une colonne verticale se somment :
𝑹 = 𝑹𝑬+ 𝑹𝑪 (2.44a)
𝑳 = 𝑳𝑮+ 𝑳𝑬+ 𝑳𝑪 (2.44b)
𝑪 = 𝑪𝑮 (2.44c)
L’impédance et l’admittance linéiques sont alors :
𝒁 = (𝑹 + 𝒋𝝎𝑳) (2.45a)
𝒀 = 𝒋𝝎𝑪 (2.45b)
6.1.2. Approche d’Ametani et all
Soit un système multiconducteur de colonnes verticales (figure 2.12). Pour ce système Ametani et all appliquent la profondeur de pénétration complexe 𝒉𝒆de Deri [2-13], et considèrent la réécriture de l’intégrale de Neumann [2-14],proposée par Rogers et all [2-15], afin de déterminerl’impédance mutuelle entre deux conducteurs verticaux de forme cylindrique, tel que :
𝒁𝒊𝒋= 𝒋𝛚(𝛍𝟎/𝟐𝛑). 𝑷𝒊𝒋 (2.46) Avec : 𝑷𝒊𝒋 = (𝑴 + 𝑴′)/𝟐. 𝑿𝒊𝒋 (2.47) 𝑴 = ∫ ∫𝒉𝒎𝒉𝒏 𝒉𝒓𝒉𝒔𝒅𝒙𝒊𝒅𝒙𝒋𝑺 et 𝑴′ = ∫ ∫ 𝒅𝒙𝒊𝒅𝒙𝒋 ′ 𝑺′ 𝒉𝒔′ −𝒉𝒓′ 𝒉𝒏 𝒉𝒎 (2.48)
Dont les différentes dimensions géométriques, voir figure 2.12, se calculent comme suit :
𝑺 = √(𝒚𝒊− 𝒚𝒋)𝟐+ (𝒙𝒊− 𝒙𝒋)𝟐= √(𝒅𝟐+ (𝒙𝒊− 𝒙𝒋)𝟐) (2.49)
𝑺′ = √(𝒅𝟐+ (𝒙𝒊− 𝒙′𝒋)𝟐) (2.50)
𝑿𝒊𝒊 = 𝒉𝒏− 𝒉𝒎; 𝑿𝒋𝒋 = 𝒉𝑺− 𝒉𝒓; 𝑿𝒊𝒋 = (𝑿𝒊𝒊+ 𝑿𝒋𝒋)/𝟐 (2.51)
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Figure 2.12. Un système multiconducteur de colonnes verticales.
Après la résolution des intégrales données en (2.48), A. Ametani formule l’expression des coefficients 𝑷𝒊𝒋, suivantes [2-16] :
𝑷𝒊𝒋 = ( 𝟏 𝟐𝑿𝒊𝒋) [−𝒉𝟏𝒍𝒏𝑨𝟏+ 𝒉𝟐𝒍𝒏𝑨𝟐+ 𝒉𝟑𝒍𝒏𝑨𝟑− 𝒉𝟒𝒍𝒏𝑨𝟒+ 𝒂𝟏− 𝒂𝟐− 𝒂𝟑+ 𝒂𝟒− (𝒉𝟓𝒍𝒏𝑨𝟓− 𝒉𝟔𝒍𝒏𝑨𝟔− 𝒉𝟕𝒍𝒏𝑨𝟕+ 𝒉𝟖𝒍𝒏𝑨𝟖− 𝒂𝟓+ 𝒂𝟔+ 𝒂𝟕− 𝒂𝟖)] (2.53) Dans laquelle : ℎ1 = ℎ𝑛− ℎ𝑆, ℎ2 = ℎ𝑚− ℎ𝑆, ℎ3 = ℎ𝑛− ℎ𝑟, ℎ4 = ℎ𝑚− ℎ𝑟, ℎ5 = ℎ𝑛+ ℎ𝑆+ 2ℎ𝑒, ℎ6 = ℎ𝑚+ ℎ𝑆+ 2ℎ𝑒, ℎ7 = ℎ𝑛+ ℎ𝑟+ 2ℎ𝑒, ℎ8 = ℎ𝑚+ ℎ𝑟+ 2ℎ𝑒 (2.54) 𝑎𝑘 = √(ℎ𝑘2+ 𝑑2) ; 𝐴𝑘 = 𝑎𝑘+ ℎ𝑘 , 𝑘 = (1,2 … .8 ) (2.55)
Remarque : L’impédance propre d’un conducteur i se calcule à partir des coefficients
propres 𝑷𝒊𝒊 qui sont obtenus en opérant, dans l’expression des 𝑷𝒊𝒋, les changements suivants : 𝒅 = 𝒓𝒊 , 𝒉𝑺 = 𝒉𝒏 et 𝒉𝒓= 𝒉𝒎. Cela donne :
𝒁𝒊𝒊 = 𝒋𝛚(𝛍𝟎/𝟐𝛑). 𝑷𝒊𝒊 (2.56)
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𝑹 = 𝑹𝒆(𝒁𝒊𝒊) et 𝑳 = 𝑰𝒎𝒂𝒈(𝒁𝒊𝒊)/𝝎 (2.57) Finalement afin de calculer la capacité linéique propre, le sol est considéré parfaitement
conducteur, en posant l’épaisseur de pénétration 𝒉𝒆= 𝟎 dans l’expression des
coefficient𝑠 𝑷𝒊𝒊 pour avoir les coefficients 𝑷𝟎𝒊𝒊 caractérisant un sol parfait [2-16]. Ce qui donne :
𝑪 = 𝟐. 𝝅𝜺𝟎.𝑷𝟎𝒊𝒊−𝟏 (2.58)
Comme précédemment, l’impédance et l’admittance linéiques sont : 𝒁 = 𝒁𝒊𝒊 et 𝒀 = 𝒋𝝎𝑪.
6.2. L’impédance et l’admittance linéiques des bras horizontaux
Soit un système à plusieurs conducteurs de longueurs finies dont le retour s’effectue par le sol, figure 2.13. Les impédances propres et mutuelles de ce système peuvent être déterminées via l’intégrale de Neumann [2-14], en considérant la profondeur de pénétration complexe de Deri[2-13] dans le sol, définie auparavant 𝒉𝒔 = 𝒉𝒆 (sol de conductivité finie).
Figure 2.13. Système multiconducteur de longueurs finies. Donc, l’impédance linéique mutuelle se formule comme suit :
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Avec :
𝑷𝒊𝒋′ = (𝑴𝒅+ 𝑴𝒊)/𝟐 (2.60)
𝑴𝒅: L’inductance mutuelle directe entre les conducteurs i et j[2-17] ;
𝑴𝒊: L’inductance mutuelle entre le conducteur i et l’image j’ du conducteur j par rapport au plan de masse.
Si la borne du conducteur j, 𝒙𝒋𝟏= 𝟎 et les bornes 𝒙𝒊 = 𝒙𝒋𝟐 = 𝒍, les coefficients 𝑷𝒊𝒋′
s’expriment : 𝑷𝒊𝒋′ = [𝒍 𝒍𝒏𝟏+√𝟏+(𝒅𝒊𝒋/𝒍) 𝟐 𝟏+√𝟏+(𝑺𝒊𝒋/𝒍)𝟐 + 𝒍 𝒍𝒏𝑺𝒊𝒋 𝒅𝒊𝒋− √𝒍𝟐+ 𝒅𝒊𝒋𝟐 + √𝒍𝟐+ 𝑺𝒊𝒋𝟐 + 𝒅𝒊𝒋− 𝑺𝒊𝒋] (2.61) D’où : 𝒅𝒊𝒋= √(𝒉𝒊− 𝒉𝒋)𝟐+ 𝒚𝟐 (2.62) 𝑺𝒊𝒋 = √(𝒉𝒊+ 𝒉𝒋+ 𝟐𝒉𝑺)𝟐+ 𝒚𝟐, (𝒚 = 𝒚𝒊𝒋) (2.63) 𝒉𝑺= √𝛒𝒔/(𝒋𝛚𝛍𝒔) (2.64)
Afin d’avoir l’impédance propre linéique 𝒁𝒊𝒊 = 𝒋𝛚(𝛍𝟎/𝟐𝛑). 𝑷𝒊𝒊′ , en mettant 𝒋 = 𝒊 , 𝒅𝒊𝒋= 𝒓𝒊 , 𝑺𝒊𝒋= 𝟐(𝒉𝒊+ 𝒉𝑺).
Pour un sol parfaitement conducteur (𝛒𝐬 = 𝟎), l’épaisseur de peau 𝒉𝒔 = 𝟎, cela donne pour les coefficients𝑷𝒊𝒋′ :
𝑷𝟎𝒊𝒋′ = [𝒍 𝐥𝐧𝟏+√𝟏+(𝒅𝒊𝒋/𝒍) 𝟐 𝟏+√𝟏+(𝑫𝒊𝒋/𝒍)𝟐 + 𝒍 𝒍𝒏𝑫𝒊𝒋 𝒅𝒊𝒋− √𝒍𝟐+ 𝒅𝒊𝒋𝟐 + √𝒍𝟐+ 𝑫𝒊𝒋𝟐 + 𝒅𝒊𝒋− 𝑫𝒊𝒋] (2.65) Pour lesquelles : 𝑫𝒊𝒋= √(𝒉𝒊+ 𝒉𝒋)𝟐+ 𝒚𝒊𝒋𝟐 (2.66)
Si en mettant 𝒋 = 𝒊 , 𝒅𝒊𝒋= 𝒓𝒊 , 𝑫𝒊𝒋= 𝟐𝒉𝒊 dans l’expression des 𝑷𝟎𝒊𝒋′ , nous aboutissons aux coefficients propres 𝑷𝟎𝒊𝒊′ et nous déduisons alors la capacité linéique propre d’un
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𝑪 = 𝟐𝝅𝜺𝟎. 𝑷𝟎𝒊𝒊′ −𝟏 (2.67)
Idem, l’impédance et l’admittance linéiques sont donc : 𝒁 = 𝒁𝒊𝒊 et 𝒀 = 𝒋𝝎𝑪.
6.3. Paramètres linéiques des mises à la terre des pylônes
La mise à la terre des pieds des pylônes par des piquets horizontaux, verticaux ou un ensemble des deux est le moyen le plus usuel pour la protection du réseau électrique contre la foudre dont le but est d’écouler rapidement les courants de défauts, traversant le pylône, vers la terre.
En effet, nous formulons dans le passage subséquent les paramètres linéiques de ces mises à la terre soit en électrode horizontale ou en piquet vertical.
6.3.1. Electrode horizontale
Sur la figure 2.14 se présente une électrode de longueur 𝒍 enterrée horizontalement dans un sol de conductivité finie à une profondeur 𝒉.
Figure 2.14. Electrode enfouie horizontalement.
E. D. Sunde [2-18] considère cette électrode comme une ligne de transmission décomposée en des cellules en 𝝅 à constantes reparties (figure 2.15).
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Il donne ainsi les expressions des constantes reparties (l’inductanceL, la conductanceG, et la capacitéClinéiques) de l’électrode, tel que [2-18] :
𝑮 = 𝟐𝝅 𝝆𝒔.[𝒍𝒏( 𝟐.𝒍 √𝟐.𝒉.𝒓)−𝟏] (2.68) 𝑪 = 𝟐𝝅.𝜺𝒔 [𝐥𝐧( 𝟐𝒍 √𝟐.𝒉.𝒓)−𝟏] (2.69) 𝑳 = 𝝁 𝟐𝝅. [𝐥𝐧 ( 𝟐.𝒍 √𝟐.𝒉.𝒓) − 𝟏] (2.70)
Sa résistance linéique interne𝑹𝒊 se calcul par :
𝑹𝒊=𝝆𝑪
𝑺 (2.71)
Dans ces expressions : 𝝆𝒔 et 𝜺𝒔 respectivement, la résistivité et la permittivité électriques du sol, 𝒍 la longueur de l’électrode, 𝒓 son rayon,𝒉 la profondeur d’enfouissement dans le sol, 𝝆𝑪
la résistivité de l’électrode et 𝑺 sa section. 6.3.2. Electrode enterrée verticalement
Dans le cas d’une électrode enterrée verticalement (de longueur 𝒍, figure 2.16), E. D. Sunde applique la théorie des images. Le problème devient équivalent à celui d’une électrode de longueur double, écoulant un courant double dans un milieu infini de caractéristiques celles du sol [2-18].
Figure 2.16. Electrode enterrée verticalement.
68 | P a g e 𝑮 = 𝟐𝝅 𝝆𝒔.[𝒍𝒏 (𝟒.𝒍 𝒓) −𝟏] (2.72) 𝑪 = 𝟐𝝅.𝜺𝒔 [𝒍𝒏(𝟒.𝒍 𝒓)−𝟏] (2.73) 𝑳 = 𝝁 𝟐𝝅[𝒍𝒏 (𝟒.𝒍 𝒓) − 𝟏] (2.74)
La résistance linéique interne 𝑹𝒊 de l’électrodeverticale se calcule, comme pour une
électrode horizontale, par la même équation (2.71).