Calcul des grandeurs de sortie de l’alternateur

Le calcul est basé sur la théorie classique des machines synchrones à deux axes, l’axe direct d et l’axe en quadrature q. Le diagramme vectoriel de la machine est représenté sur la figure II.10. Les grandeurs qui y apparaissent et qui n’ont pas encore été présentées sont les suivantes :

 𝑅_𝑠 : Résistance d’une phase du stator  𝑋_𝜎 : Réactance de têtes de bobines  𝜆₁ : Flux magnétique capté par une phase  𝐸_𝑟 : Tension interne

 𝛼 : Angle du flux par rapport à l’axe d

 𝛿 : Angle interne de la machine (entre la tension et l’axe q)  𝜑 : Angle du facteur de puissance

Figure II.10. Diagramme vectoriel de l’alternateur en régime permanent

Nous utiliserons des calculs magnétostatiques pour déterminer les performances de la machine. La démarche d’analyse a été développée suivant des méthodes qui servent à

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déterminer le couple moyen à partir un nombre minimal de calculs magnétostatiques. [MIL08] fait une estimation du couple à partir d’un seul calcul magnétostatique. La méthode est étendue dans [BIA10], pour enlever l’effet des harmoniques dans le couple moyen. En revanche, dans notre procédure, nous allons nous concentrer sur les harmoniques des flux dans les phases.

Les hypothèses de départ sont les suivantes:

 Le comportement des amortisseurs en régime permanent peut être négligé.

 L’alternateur alimente une charge triphasée équilibrée et le courant peut être considéré comme un courant sinusoïdal. Les courants instantanés des phases 𝐼_𝑎, 𝐼_𝑏, 𝐼_𝑐sont exprimés en fonction du temps dans l’équation II.6.

𝐼𝑎(𝑡) = √2 𝐼𝑠 cos (𝜔𝑡) 𝐼_𝑏(𝑡) = √2 𝐼_𝑠cos (𝜔𝑡– 2𝜋/3 )

𝐼𝑐(𝑡) = √2 𝐼𝑠cos (𝜔𝑡– 4𝜋/3)

( II.6 )

𝜔 étant la fréquence angulaire, 𝑡 l’instant de temps et 𝐼_𝑠 est la valeur efficace du courant nominal qui peut être déterminée à partir de la puissance apparente 𝑆_𝑛 et la tension simple 𝑉.

𝐼𝑠= ^𝑆𝑛

3𝑉 ^{( II.7 )}

A partir du modèle éléments finis nous allons récupérer deux grandeurs : l’amplitude du fondamental du flux magnétique 𝜆₁ et l’angle 𝛼. Ces deux grandeurs peuvent être déterminées directement à travers l’induction d’entrefer à partir d’une seule solution magnétostatique, comme il est proposé dans [PET12]. Il faut ensuite évaluer analytiquement les flux de fuites d’encoche. Alternativement, nous proposons d’employer directement le flux des phases issu du calcul par élément finis. Théoriquement, pour avoir une représentation précise des flux des phases, il faudra discrétiser finement la période électrique et faire un calcul magnétostatique pour chaque point de discrétisation. Puisque ce qui nous intéresse est uniquement le flux fondamental, il est possible de réduire à un ensemble minimal le nombre de calculs par éléments finis. De cette façon, le temps de calcul nécessaire sera réduit. La constitution de cet ensemble est décrite dans le paragraphe suivant.

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(1) Sélection des positions angulaires de calcul

Le choix des positions angulaires ou instants de temps des calculs magnétostatiques est réalisé dans le repère de Park. La figure II.11 présente l’évolution du flux d’axe d et du flux d’axe q en fonction de la position angulaire sur une période électrique (de 0° à 360° électriques). La valeur moyenne de ces grandeurs, indiquée par des traits discontinus sur la figure, correspond au fondamental des flux des phases a, b, c. Grâce à la périodicité des formes d’onde des flux, les calculs magnétostatiques en certaines positions peuvent compenser les harmoniques principaux et laisser uniquement le fondamental.

(a)

(b)

Figure II.11. Forme d’onde des flux d’axe d et d’axe q, avec leur valeur moyenne, et l’ensemble minimal de positions angulaires pour le calcul du fondamental

La décomposition harmonique des formes d’onde des flux d et q se trouve à la figure II.12. 0 50 100 150 200 250 300 350 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11

Position Angulaire [°élec]

Fl u x [ W b ] Flux d Flux d Moyenne 0 50 100 150 200 250 300 350 -0.35 -0.34 -0.33 -0.32

Position Angulaire [°élec]

Fl u x [ W b ] Flux q Flux q Moyenne

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Figure II.12. Décomposition harmonique des flux d’axe d et d’axe q

Les composantes harmoniques d’amplitudes les plus importantes sont aux rangs 2, 4, 6, 12 et 18. Les rangs harmoniques 6, 12, 18 sont attendus car ils sont produits par le champ tournant. L’amplitude du rang 18 vient aussi de la contribution des harmoniques de la denture du stator, car il y a 36 encoches au total. Le rayon non uniforme de la culasse du stator (voir figure II.8) fait apparaître les composantes harmoniques de rang 2 et 4. Les 3 phases du stator n’ont donc pas le même circuit magnétique. En réalité, les effets de ces coupes dans la culasse du stator sont atténués dans l’assemblage de tôles. Les paquets de tôles sont décalés pour que cet effet soit distribué le plus uniformément possible dans la culasse.

Afin d’annuler un rang harmonique défini, il est nécessaire de choisir deux positions décalées de la moitié de la période du rang harmonique, ainsi la valeur moyenne de la grandeur associée à cet harmonique sera nulle. Les périodes des harmoniques sont corrélées. La suppression d’un rang harmonique peut annuler d’autres rangs ou bien augmenter leur influence. Par exemple, si on considère le rang 2, il sera annulé par deux positions décalées de 90° électriques. De ce fait, ces deux positions vont annuler aussi les amplitudes des rangs 6 et 18, qui sont les plus importantes dans cette machine. Cependant l’influence des rangs 4 et 12 sera doublée. Pour éviter cela, nous pouvons choisir deux positions supplémentaires décalées de 45° électriques par rapport aux deux positions précédentes. Elles sont décalées de 90° électriques entre elles. Selon ce critère, les quatre instants de temps à choisir sont ceux associés aux positions angulaires 0° et 90°, et 45° et 135°. Les fondamentaux des flux d et q 𝜆_𝑑 et 𝜆_𝑞 peuvent s’exprimer comme la valeur moyenne de ces quatre positions.

𝜆𝑑₁ = (𝜆𝑑(0°) + 𝜆_𝑑(45°) + 𝜆_𝑑(90°) + 𝜆_𝑑(135°))/4 ( II.8 ) 𝜆_𝑞1 = (𝜆_𝑞(0°) + 𝜆_𝑞(45°) + 𝜆_𝑞(90°) + 𝜆_𝑞(135°))/4 ( II.9 ) 0 2 4 6 12 18 30 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 Rang de l'harmonique F lu x [ W b ] flux d'axe d flux d'axe q

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Les flux dans ces quatre positions sont indiqués sur la figure II.11 par des cercles. Une comparaison des fondamentaux de flux est établie dans le tableau II.3 entre les résultats des quatre positions et les résultats obtenus pour une discrétisation de la période électrique en 200 points. Nous avons fait cette comparaison pour différentes valeurs d’angle de calage 𝜓. Les résultats sont convenables.

𝝍 [°] 𝝀 [Wb] 200 positions 4 positions Ecart

75 𝜆𝑑 0.9623 0.9612 0.11% 𝜆𝑞 -0.1084 -0.1084 0.00% 60 𝜆𝑑 1.0222 1.0206 0.16% 𝜆𝑞 -0.2138 -0.2141 -0.14% 45 𝜆_𝑑 1.0907 1.0895 0.11% 𝜆𝑞 -0.3011 -0.3012 -0.03% 30 𝜆𝑑 1.1602 1.1592 0.09% 𝜆_𝑞 -0.345 -0.3452 -0.06% 0 𝜆_𝑑 1.2835 1.2825 0.08% 𝜆𝑞 -0.3329 -0.3329 0.00%

Tableau II.3. Comparaison des fondamentaux du flux magnétique des bobinages

Si le stator est représenté avec un diamètre extérieur constant, les trois phases seront identiques et il n’y aura pas de présence remarquable des harmoniques 2 et 4. Par conséquence, les positions angulaires employées dans la référence [BIA10] seront les mêmes que les positions de cette section.

A partir des fondamentaux des flux dans les axes d et q, nous pouvons déterminer le flux fondamental des phases 𝜆₁ (équation II.10) et l’angle 𝛼 (équation II.11).

𝜆1= √𝜆_𝑑2₁ + 𝜆²𝑞₁ ( II.10 )

𝛼 = atan^𝜆𝑞1

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(2) Calcul de la tension de sortie et du facteur de puissance

La tension interne 𝐸_𝑟 en valeur efficace de l’alternateur peut être calculée par :

𝐸_𝑟= √2 𝜋 𝑓 𝐾_{𝑠𝑘𝑒𝑤1} 𝑁_{𝑠𝑠𝑝ℎ} 𝜆₁ ( II.12 )

𝑓 est la fréquence de l’alternateur, 𝐾_{𝑠𝑘𝑒𝑤1} est le coefficient qui représente le vrillage de la machine pour l’harmonique fondamental [PYR08] et 𝑁_{𝑠𝑠𝑝ℎ} est le nombre de spires en série par phase.

La tension de sortie peut être évaluée après la prise en compte des chutes de tension dans le bobinage du stator. Le flux de fuites des têtes de bobines peut être représenté par une réactance 𝑋_𝜎 [PYR08]. En se basant sur le diagramme de la figure II.10, la tension de sortie est exprimée par le système d’équations :

{^{𝑉 cos 𝛿 = 𝐸}_{𝑉 sin 𝛿 = 𝐸}^{𝑟cos 𝛼 – 𝑅𝑠 𝐼𝑠 cos 𝜓 – 𝑋𝜎𝐼𝑠 sin 𝜓}

𝑟sin 𝛼 – 𝑅𝑠 𝐼𝑠 sin 𝜓 + 𝑋𝜎𝐼𝑠 cos 𝜓 ^{( II.13 )}

Finalement, le facteur de puissance de l’alternateur peut être calculé par :

𝐹𝑃 = cos(𝜓 − 𝛿) ( II.14 )