Calcul des contraintes uniaxiales

Cette section présente la procédure utilisée dans le cas d’un état de contrainte uniaxial pour séparer les déformations élastiques et les déformations plastiques à partir des déformations totales mesurées dans le but de calculer les contraintes σ= g(ε). La procédure est basée sur les hypothèses suivantes.

1. Le comportement du matériau est supposé homogène élastoplastique isotrope et les paramètres pilotant la loi de comportement sont connus a priori.

2. L’état de contrainte est uniaxial suivant l’axex :

σxy = σyy= σxz = σyz = σzz = 0

la seule composante σxx du tenseur des contraintes est alors simplement notée σ. Dans ce cas,

cumuléep vaut directement : p = εpxxet sera notée εp par la suite. La loi d’élasticité linéaire est

donnée en fonction de la déformation élastique longitudinaleεe

xx(notéeεepar la suite) :σ = Eεe,

où E est le module d’Young, et les exposants p et e indiquent respectivement une composante plastique et élastique .

3. Le critère de plasticité considéré ici est le critère isotrope de Von Mises qui dans le cas uniaxial est donné par :

f (σ, σs) = |σ| − σs= 0

oùσsest le seuil de plasticité calculé à partir du seuil de plasticité initialσ0et d’une loi d’écrouis-

sageR(εp) :

σs = σ0+ R(εp)

4. Une série de mesures du champ de déformation εxx (noté par la suite ε)est disponible afin de

rendre compte de l’histoire du chargement. De plus, le premier champ mesuré est supposé être situé entièrement dans le domaine élastique afin de pouvoir calculer le premier état de contrainte de manière directe à partir des paramètres élastiques.

Dès l’apparition de la plasticité, le calcul d’un nouvel état de contrainte σ(M, tj+1) en chaque point de

mesureM à un instant donné tj+1 dépend de l’état de précédent (σ(M, tj), εp(M, tj), σs(M, tj)) et de

l’incrément de déformation mesurédε = ε(M, tj+1)−ε(M, tj). Quatre cas doivent alors être distingués,

selon la nature des déformations mesurées.

– Le premier et le deuxième concernent des déformations uniquement élastiques. Le premier cas est une charge entièrement comprise dans le domaine élastique.

– Le deuxième cas concerne une décharge entièrement comprise dans le domaine élastique.

– Le troisième cas est dit plastique car des déformations irréversibles se propagent du début à la fin de l’incrément de déformation.

– Le quatrième cas est un cas mixte puisque le début de l’incrément de déformation est entièrement élastique jusqu’à atteindre la surface de charge. Au delà, des déformations plastiques doivent être prises en compte.

Selon le cas, l’incrément de contrainte sera calculé de manière directe ou incrémentale. Pour savoir quel cas considérer, un calcul préliminaire est effectué. L’incrément de déformation est supposé être entièrement élastique. Le nouvel état de contrainte fictif qui en découle s’écrit alors :

σT(M, tj+1) = σ(M, tj) + Edε (3.9)

Cet état de contrainte fictif est alors comparé au critère de Von Mises à l’instant précédent afin de dé- terminer si des déformations plastiques ont eu lieu. Ce résultat ainsi que la valeur du critère à l’instant précédent permettent de distinguer les quatre cas suivants :

1. Charge élastique : le seuil de plasticité n’est pas atteint à l’instanttj+1:

j+1

σT(M, tj+1) < σs(M, tj)

et l’état de contrainte précédent vérifiait le critère de plasticité :

σ(M, tj) = σs(M, tj)

l’incrément de déformation est encore purement élastique et le calcul des contraintes se fait de manière directe :

σ(M, tj+1) = σT(M, tj+1)

3. Cas plastique : le nouveau niveau de contrainte fictif est supérieur au seuil de plasticité calculé à l’état précédent :

σT(M, tj+1) > σs(M, tj)

et l’état de contrainte précédent vérifiait le critère de plasticité :

σ(M, tj) = σs(M, tj)

Dans ce cas, la séparation des déformations élastiques et des déformations plastiques est faite sur la totalité de l’incrément de déformation mesuré :

∆ε = ε(tj+1) − ε(tj) = ∆εe+ ∆εp

Pour pouvoir calculer l’incrément de déformation plastique, une procédure adaptée doit être mise en place car l’incrément de déformation ne peut être exprimé de manière explicite en fonction de l’état précédent. L’équation différentielle à résoudre est obtenue à partir de la formulation de Prandtl-Reuss (voir section 2.2.1.2, équation 2.23 ) de la condition de consistance :

∂εp ∂t = ∂σ ∂t ∂R ∂εp = E(∂ε ∂t − ∂εp ∂t ) ∂R ∂εp

∂εp ∂t = E∂ε ∂t (E + ∂R ∂εp)

oùR(εp) est l’expression de la loi d’écrouissage isotrope. Cette équation différentielle est résolue

par une méthode d’Euler. L’incrément de tempsT = tj+1−tjentre deux états successifs est divisé

enN sous-incréments et l’incrément de déformation plastique est calculé pas à pas :        εp_(t jk+1) = ε p_(t jk) + E [ε(tj+1) − ε(tj)] /N E + ∂R ∂εp εp(tj0) = ε p_(t j) (3.10)

Dans cette expression, le module tangent de la courbe d’écrouissage ∂R(ε

p₎

∂εp est évalué à partir des

déformations plastiques à l’instant précédentεp_(t

jk). Le nombre N doit donc être choisi suffisam-

ment grand pour pouvoir assurer la convergence. A priori, les sauts de déformation d’un point à l’autre sont différents. Il a donc été choisi d’imposer plutôt la taille du sous-incrément de déforma- tion. Ainsi, le nombreN est différent d’un point à l’autre. La procédure incrémentale est valable

quelle que soit l’expression de la loi d’écrouissage isotrope (elle peut également être formulée pour un écrouissage cinématique). Dans le cas du modèle de Voce (voir 2.2.1.3), l’expression du module tangent de la courbe d’écrouissage vaut :

∂R

∂εp = R0+ b Rinfexp(−bε p₎

Le nouvel état de contrainte est ensuite calculé à partir des déformations élastiques :

σ(M, tj+1) = σ(M, tj) + E(dε − dεp)

4. Cas mixte : le nouvel état de contrainte est supérieur au seuil de plasticité calculé à l’état précédent :

σ(M, tj+1) > σs(M, tj)

mais contrairement au cas plastique l’état de contrainte précédent n’atteignait pas le seuil de plas- ticité :

σ(M, tj) < σs(M, tj)

Dans ce cas, au cours du pas de chargement, une partie de l’incrément de déformation mesurée est purement élastique, c’est celle qui permet d’atteindre le seuil de plasticité :

dεa =

σs(M, tj) − σ(M, tj)

E

que l’erreur commise sur la composante uniaxiale du champ de contrainte était inférieure à trois pourcent (voir figure 5.5, chapitre 5).