Partiellement Mesure s
3.2. Etat de l’art sur le diagnostic des RdP temporisés
3.3.2. Calcul de la probabilité des trajectoires
Dans cette section, on s’intéresse au calcul de la probabilité d’une trajectoire compatible partiellement temporisée. Ce calcul est important car il évalue la probabilité qu’une trajectoire compatible soit réellement celle dont sont issues les mesures. Pour ce faire, on s’appuiera sur les informations temporelles contenues dans cette trajectoire. Si l’on considère une trajectoire compatible (𝜎, 𝑀) ∈ Γ−1(𝑀𝑇) avec 𝜎 de la forme (3.2), plusieurs probabilités doivent être prises en compte pour le calcul de la probabilité de la trajectoire. Ces probabilités sont les suivantes :
a) la probabilité d’être dans le marquage 𝑀 à la date 𝜏0 notée 𝜋0(𝑀).
b) la probabilité de la trajectoire (𝜎𝑈, 𝑀) obtenue à partir de la trajectoire temporisée (𝜎, 𝑀) en faisant abstraction du temps.
c) la probabilité de franchir chaque groupe de transitions silencieuses 𝑇(𝑡𝑖,1). . . 𝑇(𝑡𝑖,ℎ𝑖−1) pour 𝑖 = 1, … , 𝐾 avant la date 𝜏𝑖 (c.-à-d. 𝑡𝑖,ℎ𝑖−1< 𝜏𝑖) et de ne pas franchir la dernière transition mesurée 𝑇(𝜏𝑖) entres les dates 𝑡𝑖,ℎ𝑖−1 et 𝜏𝑖 d) la probabilité de franchir 𝑇(𝜏𝑖) dans un petit intervalle de temps [𝜏𝑖, 𝜏𝑖 + 𝑑𝑡]
pour 𝑖 = 1, … , 𝐾 tel que 𝑑𝑡 corresponde à une durée très petite comparativement aux dynamiques du système étudié.
e) la probabilité de franchir les transitions 𝑇(𝑡𝐾+1,1) … 𝑇(𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1) dans ]𝜏𝐾, 𝜏𝑒𝑛𝑑] et de rester dans le dernier marquage atteint entre 𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1 et 𝜏𝑒𝑛𝑑 (c.-à-d. 𝑀(𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1) = 𝑀(𝜏𝑒𝑛𝑑)). Ceci correspond à la probabilité d’occurrence de la clôture silencieuse dans ]𝜏𝐾, 𝜏𝑒𝑛𝑑].
La probabilité d’être dans le marquage 𝑀 à la date 𝜏0 est donnée par la probabilité stationnaire 𝜋0(𝑀) = 𝜋∞(𝑀) introduite dans la Section 1.2.4. Suivant l’hypothèse H3.1, celle-ci est non nulle.
La probabilité de la trajectoire non temporisée (𝜎𝑈, 𝑀) correspondante est donnée par l’équation (3.3). Celle-ci résulte du fait que les durées de tir des transitions sont des variables aléatoires exponentielles indépendantes. Le double produit est quant à lui dû à la forme de la séquence compatibles donnée par (3.2).
𝑃𝑈(𝜎𝑈, 𝑀) = ∏ ( ∏ ( 𝑛𝑘,𝛾(𝑀(𝑘, 𝛾 − 1)). 𝜇𝑘,𝛾 ∑𝑇𝑗∈𝑇𝑛𝑗(𝑀(𝑘, 𝛾 − 1)). 𝜇𝑗) 𝛾=1…ℎ𝑘 ) 𝑘=1…(𝐾+1) (3.3) Avec 𝑀(𝑘, 𝛾) les marquages résultant du franchissement des transitions 𝑇(𝑡𝑘,𝛾) pour 𝑘 = 1, … , (𝐾 + 1) ; 𝛾 = 1, … , (ℎ𝑘− 1) . 𝑀(𝑘, 0) sont les marquages résultant du franchissement des transitions 𝑇(𝑡𝑘−1,ℎ𝑘−1) , pour 𝑘 = 2, … , 𝐾 , et 𝑀(1,0) = 𝑀. Enfin, 𝑛𝑘,𝛾(𝑀(𝑘, 𝛾 − 1)) représente le degré de validation de la transition 𝑇(𝑡𝑘,𝛾) au marquage 𝑀(𝑘, 𝛾 − 1).
Maintenant, intéressons-nous à la probabilité (c). Pour calculer la probabilité de franchir une séquence donnée avant une certaine date et de ne pas franchir la dernière transition avant cette même date, la Proposition 3.1 est introduite. Le but de cette proposition est de calculer la probabilité qu’une séquence d’événements silencieux soit franchie dans une fenêtre temporelle donnée et que la dernière transition de la séquence ne le soit pas.
Proposition 3.1. Considérons un RdPS < 𝐺,, 𝑀𝐼 > et une trajectoire (𝜎, 𝑀) avec 𝑀 le marquage à la date 𝜏𝑘−1 et 𝜎 = 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1)𝑇(𝑡𝑛). Si (𝜎, 𝑀) est réalisée, la probabilité que les transitions 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1) soit franchies dans [𝜏𝑘−1, 𝜏𝑘] et que 𝑇(𝑡𝑛) ne soit pas franchie avant 𝜏𝑘 est donnée par :
𝑃(𝑡𝑛−1 ≤ 𝜏𝑘 ≤ 𝑡𝑛 ) = ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡) (1 − 𝐹𝑛−1,𝑛((𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) − 𝑡)) 𝑑𝑡
𝜏𝑘−𝜏𝑘−1 0
(3.4) avec 𝑓𝑛−1 la fonction de densité de probabilité donnée par une Erlang généralisée (voir
Annexe) d’ordre 𝑛 − 1 caractérisant la durée de franchissement des transitions 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1) et 𝐹𝑛−1,𝑛 est la fonction de répartition qui caractérise la durée de franchissement de la dernière transition 𝑇(𝑡𝑛).
Démonstration. Considérons la trajectoire (𝜎, 𝑀) avec 𝜎 = 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1)𝑇(𝑡𝑛). La durée de franchissement des transitions 𝜎 = 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1) peut être donnée comme une somme de durées (𝑡𝑛−1− 𝜏𝑘−1) = 𝑑1 + ⋯ + 𝑑𝑛−1. Chaque durée 𝑑𝑖 pour 𝑖 = 1, … , (𝑛 − 1) est une VA indépendante exponentielle de paramètre ∑𝑇𝑖∈𝑇𝑛𝑖(𝑀(𝑖 − 1)). 𝜇𝑖 avec 𝑀(0) = 𝑀. Ainsi, la durée (𝑡𝑛−1− 𝜏𝑘−1) est elle-même une VA pouvant être caractérisée par une densité de probabilité 𝑓𝑛−1(𝑡) donnée par une Erlang généralisée. On en déduit que la probabilité de la condition 𝜏𝑘−1≤ 𝑡𝑛−1 ≤ 𝜏𝑘 (qui est équivalente à 0 ≤ 𝑡𝑛−1− 𝜏𝑘−1≤ 𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) est donnée par :
𝐹𝑛−1(𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) = ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡)𝑑𝑡
𝜏𝑘−𝜏𝑘−1
0
(3.5) Suivant le même raisonnement pour la VA (𝑡𝑛 − 𝜏𝑘−1), la probabilité que celle-ci vérifie la même condition (c.-à-d. 0 ≤ 𝑡𝑛− 𝜏𝑘−1≤ 𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) est donnée par :
𝐹𝑛(𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) = ∫ 𝑓𝑛(𝑡)𝑑𝑡
𝜏𝑘−𝜏𝑘−1 0
(3.6) En utilisant les propriétés de la convolution, cette équation peut être réécrite comme suit :
𝐹𝑛(𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) = ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡)𝐹𝑛−1,𝑛((𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) − 𝑡)𝑑𝑡
𝜏𝑘−𝜏𝑘−1 0
(3.7) 𝐹𝑛−1,𝑛 étant la fonction de répartition de la VA 𝑑𝑛 qui caractérise la durée nécessaire pour le franchissement de la transition 𝑇(𝑡𝑛) depuis sa validation. La différence entre les équations (3.5) et (3.7) donne la probabilité de franchir les transitions 𝑇(𝑡1)𝑇(𝑡2)𝑇(𝑡3) … 𝑇(𝑡𝑛−1) dans [𝜏𝑘−1, 𝜏𝑘] et de ne pas franchir 𝑇(𝑡𝑛) avant 𝜏𝑘, ainsi on obtient :
𝑃(𝑡𝑛−1≤ 𝜏𝑘 ≤ 𝑡𝑛 ) = ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡)𝑑𝑡 𝜏𝑘−𝜏𝑘−1 0 − ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡)𝐹𝑛−1,𝑛((𝜏𝑘− 𝜏𝑘−1) − 𝑡)𝑑𝑡 𝜏𝑘−𝜏𝑘−1 0 (3.8) Cette équation peut être réécrite selon (3.4). Notons que l’équation (3.4) ne fournit aucune condition quant au franchissement de la dernière transition 𝑇(𝑡𝑛) après l’instant 𝜏𝑘.
L’objectif de la Proposition 3.2 est de calculer la probabilité qu’une transition soit franchie dans une durée très petite 𝑑𝑡 (probabilité (d)).
Proposition 3.2. On considère un RdPS < 𝐺,, 𝑀𝐼 > caractérisé par le marquage 𝑀 à la date 𝑡. Supposons que 𝑇(𝑡𝑗) soit la prochaine transition franchie à une date 𝑡𝑗. La probabilité de franchir celle-ci dans un petit intervalle de temps [𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡] est donnée par :
𝑃(𝑡𝑗 ∈ [𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡]) = ( ∑ (𝑛𝑘(𝑀). 𝜇𝑘)
𝑇𝑘∈𝑻
) . 𝑑𝑡 + 𝑜(𝑑𝑡) (3.9)
Démonstration. La démonstration résulte du fait que des transitions sont
simultanément validées. Ainsi, leur vitesse de franchissement est donnée par la somme de tous les degrés de validation de ces transitions multipliés par leur taux de franchissement. En multipliant le résultat par la durée ((𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝑡) on obtient (3.9). Il faut noter que 𝑜(𝑑𝑡) est issu du développement limité d’ordre 1 de la fonction exponentielle, 𝑑𝑡 étant considéré assez petit, 𝑜(𝑑𝑡) est donc négligeable. Concernant le franchissement des transitions 𝑇(𝑡𝐾+1,1) … 𝑇(𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1) dans ]𝜏𝐾, 𝜏𝑒𝑛𝑑] (probabilité (e)), le résultat de la Proposition 3.1 peut être utilisé pour retrouver cette probabilité. En effet, celle-ci est donnée par :
𝑃(𝜏𝐾≤ 𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1≤ 𝜏𝑒𝑛𝑑 ) = ∫ 𝑓𝑛−1(𝑡). (1 − 𝐹𝑛−1,𝑛((𝜏𝑒𝑛𝑑− 𝜏𝐾) − 𝑡)) 𝑑𝑡 𝜏𝑒𝑛𝑑−𝜏𝐾
0
(3.10) avec 𝑓𝑛−1 la fonction densité de probabilité de la somme des VA exponentielles correspondant aux durées de franchissement des transitions 𝑇(𝑡𝐾+1,1) … 𝑇(𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1). 𝐹𝑛−1,𝑛 est la fonction de répartition qui caractérise la durée de franchissement de n’importe quelle transition validée au marquage 𝑀(𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1). Celle-ci correspond à une VA exponentielle de paramètre égal à ∑𝑇𝑗∈𝑻(𝑛𝑗(𝑀(𝜏𝑒𝑛𝑑)). 𝜇𝑗).
La proposition suivante évalue la probabilité d’une trajectoire compatible partiellement temporisée en utilisant les probabilités (a, b, c, d, e).
Proposition 3.3. Considérons un SED modélisé par un RdPS partiellement mesuré
< 𝐺,, ℒ, 𝐻, 𝑀𝐼 > qui satisfait les hypothèses H3.1 et H2.2 ainsi qu’une trajectoire de mesure 𝑀𝑇de la forme (3.1) obtenue dans [𝜏0, 𝜏𝑒𝑛𝑑]. La probabilité 𝑃(𝜎, 𝑀) de la trajectoire compatible partiellement temporisée (𝜎, 𝑀) ∈−1(𝑀𝑇) est donnée par :
𝑃(𝜎, 𝑀) = 𝜋(𝜎, 𝑀)
∑(𝜎′,𝑀′)∈ −1(𝑀𝑇)𝜋(𝜎′, 𝑀′)
(3.11) avec 𝜋(𝜎, 𝑀) défini par (3.12).
𝜋(𝜎, 𝑀) = 𝜋0(𝑀). 𝑃𝑈(𝜎𝑈, 𝑀). ∏ 𝑃 (𝑡𝑗,ℎ𝑗−1≤ 𝜏𝑗 ≤ 𝑡𝑗,ℎ𝑗) 𝑗=1…𝐾 . 𝑃(𝜏𝐾≤ 𝑡𝐾+1,ℎ𝐾+1−1≤ 𝜏𝑒𝑛𝑑) × ∏ 𝑃(𝑡𝑘,ℎ𝑘 ∈ [𝑡, 𝑡 + 𝑑𝑡]) 𝑘=1…𝐾 (3.12)
Démonstration. L’équation (3.12) est obtenue en utilisant les différents résultats de probabilité (a, b, c, d, e) détaillés auparavant. Notez que le comportement réel du système est nécessairement représenté par l’une des séquences compatibles. Ainsi, l’équation (3.11) est utilisée pour normaliser les probabilités de telle sorte que ∑(𝜎,𝑀)∈ −1(𝑀𝑇)𝑃(𝜎, 𝑀)= 1. Grace à cette normalisation, le terme 𝑑𝑡 est simplifié rendant possible le calcul de la probabilité de la trajectoire compatible en utilisant l’équation
(3.11).
Remarque 3.2. Nous avons fait remarquer dans le Chapitre 2 qu’une adaptation de