CALCUL DE FORCES ÉLECTROSTATIQUES À PARTIR DE L’ÉNERGIE

Énergie électrostatique

DENSITÉ D’ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE Considérons pour simplifier le cas d’un

5.6. CALCUL DE FORCES ÉLECTROSTATIQUES À PARTIR DE L’ÉNERGIE

Lorsqu’on cherche à calculer les forces électrostatiques à partir de l’énergie emmagasinée dans un système, deux cas peuvent se présenter :

– la charge reste constante, – le potentiel reste constant.

5.6.1 Calcul de la force, à charge constante

C’est le cas d’un condensateur qui serait préalablement chargé, puis isolé et abandonné aux forces électrostatiques qui s’exercent entre les armatures.

À chaque travail élémentaire dW des forces électrostatiques correspond une variation dE_pde l’énergie emmagasinée. Le système étant isolé, la conserva-tion de l’énergie implique que :

dW +dE_p=0 Et comme dW = F ·−→

d, on en déduit l’expression de la force électrosta-tique :

F = −−−→

grad E_p (à charge constante) (5.8) en tout point de la distribution de charge.

5.6.2 Calcul de la force, à potentiel constant

C’est le cas où le condensateur chargé n’est plus isolé, mais reste relié à une source en permanence.

Dans ce cas, à tout travail élémentaire dW des forces électrostatiques cor-respondent à la fois une variation dE_pde l’énergie emmagasinée, et une éner-gie dE_s dépensée par la source pour maintenir le potentiel constant.

5.6 CALCUL DE FORCES ÉLECTROSTATIQUES À PARTIR DE L’ÉNERGIE 123

La conservation de l’énergie, appliquée à l’ensemble du système isolé (condensateur + source), s’exprime cette fois par :

dW +dF_p =dE_s

Nous avons vu (voir paragraphe 4) que l’énergie dépensée par la source est le double de l’énergie emmagasinée dans le condensateur, soit dE_s =2dE_p. On en déduit

dW +dE_p=2dE_p ⇒ dW =dE_p et comme dW = F ·−→

d, il vient : F = +−−→

grad E_p (à potentiel constant) en tout point de la distribution de charge.

Il est important de remarquer le changement de signe dans l’expression de F, par rapport au cas où la charge reste constante.

5.7. EXEMPLES D’APPLICATION

Exemple 1. Énergie d’une sphère conductrice chargée

Si la sphère est conductrice et en équilibre, elle ne peut être chargée qu’en surface (voir chapitre 4). Soit Q la charge portée par cette sphère, et C sa capacité. Son énergie est donnée par :

E_p= 1 2

Q² C

et, comme C =4πε₀R où R est le rayon de la sphère, on a : E_p= 1

2 Q² 4πε₀R

Exemple 2. Énergie d’une sphère chargée en volume

Il ne peut s’agir d’une sphère conductrice, car à l’équilibre, celle-ci ne peut contenir des charges volumiques. Il s’agira donc plutôt d’une distribution sphérique théorique : modèle d’une sphère diélectrique.

1^reméthode :

Soit ρ la densité de charge volumique supposée uniforme.

D’après le paragraphe 2, on a : E_p= 1

τρV dτ

où V est le potentiel au point courant M et τ est le volume de la sphère.

Si on se réfère au chapitre 3, paragraphe 7, exemple 2, le potentiel au point M, à l’intérieur de la sphère est donnée par

V = ρR² 2ε₀

1− r² 3R²

En prenant comme volume élémentaire le volume d’une coquille sphérique de rayon r, on a :

dτ=4πr²dr L’expression de l’énergie est donc :

E_p= 1

3πR³, on peut finalement mettre cette énergie sous la forme :

On reconstitue la distribution sphérique de charge, en amenant au fur et à mesure des pelli-cules sphériques de rayon r, r croissant de 0 à R, de l’infini où le potentiel est nul, vers la sphère de rayon r.

À un instant quelconque, la charge amenée est : dq =4πr²drρ

5.7 EXEMPLES D’APPLICATIONS 125

R M O r

O r

et le potentiel régnant à la surface de la sphère est : V = K q

où q est la charge portée par la sphère à cet instant, soit : q= 4

3πr³ρ

L’énergie élémentaire acquise par la sphère est donc : dE_p =V dq

= K4πr³ρ

3r 4πr²drρ

= K16

3 π²ρ²r⁴dr On en déduit :

E_p= K · 16 3 π²ρ²

r⁴dr = K16

15π²ρ²R⁵ et comme ρ= Q

3πR³, on arrive finalement à la même expression de l’énergie :

E_p= 3 5

K Q² R 3^eméthode :

On utilise le fait que, une fois la sphère chargée, il existe en tout point de l’espace (intérieur ou extérieur à la sphère) une densité volumique d’éner-gie :

w= 1 2ε₀E²

où E est la norme du champ électrique créé par la sphère chargée, en ce point.

Contribution de l’intérieur (rR) :

Si on se réfère encore au chapitre 3, paragraphe 7, exemple 2, le champ à l’intérieur de la sphère est donnée par :

E = ρr 3ε₀e_r

ou encore puisque ρ= Q 4

3πR³

E = K Qr R³ e_r

L’énergie emmagasinée dans la sphère elle-même est donc : E_p(int)= Contribution de l’extérieur (r R) :

À l’extérieur de la sphère, le champ est donné par : E = K Q

r² e_r L’énergie contenue à l’extérieur est donc :

E_p(ext)= On retrouve bien le résultat précédent.

Exemple 3. Force d’attraction entre les armatures d’un condensateur plan

On considère un condensateur plan dont les armatures ont une surface S et sont écartées d’une distance x.

On suppose que l’armature inférieure A est fixe et que l’armature supérieure B est susceptible de se déplacer sous l’action des forces électrostatiques qui s’exercent entre les deux armatures.

5.7 EXEMPLES D’APPLICATIONS 127

On suppose que le condensateur est chargé de telle sorte que l’armature inférieure soit de signe positif et l’ar-mature supérieure de signe négatif. On peut prévoir que la force subie par l’ar-mature B sera verticale et dirigée vers le bas. Il s’agit de déterminer l’expres-sion de cette force.

1) Condensateur chargé et isolé (q =cte) : D’après le paragraphe 6, on a dans ce cas :

F = −−−→

Ainsi, on obtient la même force attractive dans les deux cas : à charge cons-tante ou à potentiel constant.

5.1. On considère un condensateur cylindrique d’axe dont les armatures de rayons R1 et R2

(R₂> R₁) sont séparées par du vide.

1) Soit V1−V2la différence de potentiel entre l’ar-mature interne et l’arl’ar-mature externe du condensa-teur, et q la charge de ce condensateur par unité de longueur. Rappeler l’expression du potentiel en un point M situé entre les deux armatures et celle de la capacité Cl par unité de longueur de ce condensa-teur.

2) En utilisant l’énergie emmagasinée entre les armatures, retrouver l’expression de Cl.

5.2. Une sphère de centre O et de rayon R contient une charge +3q (q >0) répar-tie uniformément dans son volume avec une densité uniforme ρ. À l’intérieur de la sphère se trouvent trois charges ponctuelles, chacune égale à −q , placées aux som-mets A,B et C d’un triangle équilatéral de centre O. Les distances OA, OB et OC sont égales à r (r < R).

1) Donner les expressions :

– du potentiel V₁ créé en A par les charges ponctuelles −q placées en B et C,

– du potentiel V₂créé en A par la distribution volumique de charges sachant que V2(O)=0 ,

En déduire le potentiel total V_A au point A.

2) Calculer l’énergie potentielle électrostatique Ep(r) des trois charges négatives à partir du travail fourni par un opérateur qui amène successivement les trois charges de l’infini, où le potentiel est nul, jusqu’en A, B ou C en présence de la distribution volumique de charges.

3) Tracer la courbe E_p(r). Déterminer la position d’équilibre pour les trois charges (−q). Préciser la stabilité de cet équilibre.

5.3. 1) Rappeler l’expression du champ électrique E créé en un point M (r,θ)par un dipôle de moment P₁, parallèlement à O₁x , placé en O₁ dans les trois cas suivants :

Exercices 129

E

XERCICES

r M R₂

R₁ Δ

R O

B C

A (−q)

(−q) (−q)

a) O1M₁=r θ1 =(P₁,−−−→

O₁M₁)=0 b) O₁M₂=r θ₂ =(P₁,−−−→

O₁M₂)=π c) O1M3=r θ3 =(P1,−−−→

O1M3)= π 2

2) Sur la perpendiculaire à P1 menée de O1, on place en M₃ un deuxième dipôle de moment dipolaire P2(voir figure) ; la distance =O1M3

étant grande devant les dimensions des dipôles.

Quelle est l’expression de l’énergie potentielle du dipôle P₂dans le champ de P₁?

3) On considère à présent une chaîne, supposée infinie, de molécules polaires iden-tiques, distantes de d, (d est très grand, devant la dimension du dipôle) dans les deux configurations suivantes :

• configuration α:

M₂ O₁ P₁ x M₃

M₁

M₃

O₁ P₁ ᐉ P₂

d M d

chaîne α P P P P

• configuration β :

d M d

chaîne β − P P − P P

On choisit une molécule M quelconque dans la chaîne.

a) Chaîne α

– Donner l’expression du champ électrique E créé en M par les deux molécules situées de part et d’autre de M, puis celle du champ électrique total ETen M, dû à la chaîne infinie.

– En déduire l’énergie potentielle du dipôle placé en M dans le champ des autres dipôles.

b) Chaîne β

Mêmes questions que pour la chaîne α.

On donne : 1+ 1 2³ + 1

3³ +. . .1,2 1− 1

2³ + 1

3³ −. . .0,9

5.4. Un condensateur plan est constitué par deux plaques métalliques de surface S =30 cm²distantes de x =5 cm. Il est chargé sous une ddp de 500 V puis isolé.

1) Quelles sont : – sa capacité C ?

– la charge Q de ses armatures ? – son énergie potentielle E_p? Faire l’application numérique

2) On écarte les armatures de façon à porter leur distance à x=10 cm.

a) Quelles sont, à la fin de l’opération : – la tension finale V?

– l’énergie potentielle E_p du condensateur ?

En déduire la variation d’énergie potentielle F_p du condensateur au cours de l’o-pération.

b) On suppose que l’écartement des plaques est réalisé par un opérateur de façon quasi statique. Quel est le travail W fourni par l’opérateur ?

Comparer W et E_p.

3) On effectue la même opération mais en maintenant constante la ddp à 500 V grâce à une liaison avec un générateur de tension. On néglige la résistance du générateur et des fils de jonction.

a) Quelles sont, à la fin de cette opération : – la nouvelle charge Q des armatures ? – l’énergie potentielle E_pdu condensateur ?

Quelle a été la variation d’énergie potentielle E_p du condensateur au cours de cette opération ?

b) Comme dans la question 2b, l’écartement des plaques est réalisé par un opérateur.

Quel est le travail Wfourni par cet opérateur ? Comparer W et E_p. Établir le bilan énergétique de l’opération.

Exercices 131

5.5. 1) Un condensateur de capacité C1 est chargé sous une différence de potentiel V1, puis isolé.

Donner les expressions de la charge Q₀ et de l’énergie W₀ emmagasinées dans le condensateur C1à la fin de l’opération.

2) On décharge le condensateur C₁ dans un condensateur C2, initialement neutre, à tra-vers une résistance R. Calculer, à l’équilibre, en fonction de Q₀, C₁et C₂:

a) les charges Q₁ et Q₂ prises par les deux condensateurs,

b) les différences de potentiel V₁et V₂aux bornes des deux condensateurs, c) les énergies W1 et W2 emmagasinées dans les deux condensateurs.

3) a) Écrire la variation de q1 en fonction du temps au cours de la décharge de C1

dans le circuit.

b) En déduire l’énergie W_Jdissipée par effet Joule dans la résistance R, en fonction de Q0, C1 et C2, pendant la décharge de C1.

c) Montrer que la variation d’énergie du système entre l’état initial et l’état final cor-respond à l’énergie dissipée par effet Joule.

5.6. A) L’énergie potentielle d’interaction entre les deux atomes d’une molécule dia-tomique d’iodure d’hydrogène (IH) est représentée par une expression de la forme :

Ep(x)= −a x⁶ + b

x¹² (potentiel de Lennard-Jones)

où x représente la distance séparant les deux atomes, et a et b sont deux constantes positives.

1) Tracer la courbe E_p(x). Déterminer la valeur x₀ pour laquelle le système est en équilibre stable. Quelle est l’énergie potentielle Ep(x0) correspondante ?

2) Pour une molécule d’iodure d’hydrogène, l’énergie de dissociation est E_D=5·10⁻¹⁹joule et la distance x₀ =1,64 Å.

– Quelle est la relation entre EDet Ep(x0) ? – Quelles sont les valeurs des constantes a et b ?

B) On considère maintenant que la liaison entre les deux atomes de masse m₁(pour l’hydrogène) et m2(pour l’iode) est équivalente à un ressort de rappel k, dont la lon-gueur au repos est égale à la lonlon-gueur x0de la liaison à l’équilibre. Les déplacements respectifs de m₁ et m₂par rapport à leurs positions d’équilibre sont x₁et (x₂−x₀).

C₁ R

C₂

1) Écrire les équations différentielles vérifiées par x₁ et x₂. Déduire de ces deux équations l’équation différentielle vérifiée par la variable x =x2−x1. On posera 1

μ = 1 m₁ + 1

m₂ (μest la masse réduite de l’oscillateur).

2) Déterminer la fréquence propre angulaire ω0de vibration de la molécule, c’est-à-dire la fréquence du mouvement relatif de la masse m₂par rapport à la masse m₁. C) On revient à la molécule d’iodure d’hydrogène. En utilisant un développement limité au deuxième ordre de E_p(x)au voisinage de x =x₀, montrer que la force de liaison est effectivement une force de rappel de la forme F_x = −k(x−x₀). En déduire l’expression de k en fonction x₀ et E_D.

3) A.N. : Calculer : – la constante k, – la pulsation ω0,

– la fréquence ν0 des oscillations.

On donne : m1 =mH=1,67·10⁻²⁷ kg m₂=m_I=127m₁

Corrigés 133

m₁ e_x x₀

x₂

x₁ m₂

m₂ M

x (équilibre)

C

ORRIGÉS

5.1. 1) Par suite de la symétrie, le champ en tout point M est radial et ne dépend que de r = H M. On prend pour surface de Gauss une surface cylindrique de rayon r , de hauteur h et d’axe passant par le point M où l’on veut calculer E.

Le théorème de Gauss donne :

Si V₁ est le potentiel de l’armature interne, le potentiel au point M est :

V_M =V₁−

Entre les deux armatures, la différence de potentiel est : V₂−V₁ = − q

2) Entre les armatures du condensateur, la densité d’énergie électrostatique a pour expression :

w= ε0E²

2 = q²

8π²ε₀r²

L’énergie W_hemmagasinée dans un volume dτ de hauteur h est : Wh =

Par unité de longueur, on a : W1 = W_h h = q²

4πε₀ ln R₂ R₁ et comme W₁ = 1

2 q² C1

, on obtient :

C_l = 2πε0

lnR2

qui est bien l’expression trouvée dans la 1^requestion.

1.2. 1) On a :

V1=VB +VC (potentiels créés en A par les charges placées en B et C).

V₁= −2K q

A B = −2K q r√

En un point intérieur à la sphère de rayon R, le champ E créé par la distribution sphérique est radial et a pour norme :

Er =3K q r

R³(voir chapitre 3, exercice 3) V₂= −

E dr = −3K qr² 2R³ +C Or : V2(O)=0 ⇒C =0 ⇒V₂ = −3K qr²

2R³ On en déduit le potentiel total au point A :

V_A =V₁+V₂ = −2K q r√

3 −3K qr² 2R³

2) Travail pour amener la charge −q de l’infini en A, en présence de la distribution volumique :

W₁= −q(V₂−V_∞)= −q V₂

Travail pour amener la charge −q de l’infini en B, en présence de la charge −q en A et de la distribution volumique :

W₂ = −q(V₂+V_B)

Corrigés 135

A(−q)

B C

(−q) (−q)

r O

Travail pour amener la charge −q de l’infini en C en présence des charges −q en A et B et de la distribution volumique

W₃= −q(V₂+V_B+V_C) D’où l’énergie potentielle :

Ep(r)=W1+W2+W3 = −3q V2−q(2VB+VC)

Tableau de variation :

r 0 R

Pour r =re= R

√3, l’énergie potentielle des trois charges est minimum, donc r_e cor-respond à une position d’équilibre stable.

5.3. 1)

Kq² 9

D’après le paragraphe 8 du chapitre 2, le champ électrique créé par un dipôle P1en un point M(r,θ) est :

2) L’énergie potentielle du dipôle P₂dans le champ de P₁est :

E_p = − P₂· E₁

(où E1est le champ créé en M3par le dipôle P1).

Or, d’après la 1^requestion :

EM3= K P₁

r³ e_θ avec P1e_θ= − P1

E₁= −KP1

E_p= − P₂·

− KP₁ l³

= KP₁· P₂ l³ (P₁,P₂)=π ⇒ E_p= −K P1P2

3) a) Chaîne α

M₃ ᐉ O₁ P₁ P₂

P N P M P N' P P

• Champ créé en M par le dipôle placé en N : EN = 2KP

d³ Champ créé en M par le dipôle placé en N:

EN = 2KP d³

Le champ E créé par les molécules situées de part et d’autre de M est donc : E = EN + EN = 2KP

d³

En groupant les dipôles deux par deux, on obtient pour le champ total en M : ET = 4KP

d³ + 4KP

(2d)³ + 4KP (3d³) +. . .

= 4KP d³

1+ 1

2³ + 1 3³ +. . .

=4,8 KP d³

• Énergie potentielle du dipôle placé en M dans le champ des autres dipôles : Ep= −P·ET = − P·4,8 KP

d³ = −4,8 K P² d³ b) Chaîne β

Corrigés 139

N₂ N₁ M N'₁ N'₂

d d

• Champ créé en M par les deux dipôles placés en N1 et N₁ : E = −4KP

d³

• Champ créé en M par les deux dipôles placés en N2 et N₂ : E= +4KP

(2d)³ Le champ électrique total E_Ten M est donc :

ET = −4KP d³

1− 1

2³ + 1 3³ −. . .

= −3×6KP d³

• L’énergie potentielle du dipôle placé en M est donc cette fois : E_p = − P· E_T = 3,6K P²

d³

5.4. 1) La capacité C, la charge Q et l’énergie potentielle du condensateur sont respectivement :

C = ε0S x

Q =C V =C(V1−V2) Ep = 1

2C V²

+ Q − Q

x V₁ V₂

A.N. : C = 1 La charge Qrestant constante au cours de l’opération, on a :

Q =C V =CV V =V C b) Si l’opérateur déplace l’armature portant les charges négatives dans le sens des x >0, la force qu’il exerce doit être égale et opposée à la force électrique à laquelle est soumise cette armature :

Fop= − Fe

En appelant p la pression électrostatique, on a : F_e = −pSi = −σ²S

2ε₀ i Fop= σ²S

2ε0

i Le travail W de l’opérateur est donc :

W =

Comme la charge Q est constante, on a :

L’augmentation d’énergie potentielle du condensateur est due uniquement au travail de l’opérateur. L’énergie potentielle du condensateur est alors :

E_p= 1 D’où la variation d’énergie potentielle du condensateur :

E_p =E_p−E_p= E_p

2 −E_p = −E_p 2 b) À chaque instant du processus, on a :

Fop= − Fe= σ²S Le travail de l’opérateur est alors :

Cette fois la variation d’énergie interne est l’opposé du travail de l’opérateur : E_p= −W.

En effet, si nous faisons le bilan énergétique au cours de l’opération, la variation d’é-nergie potentielle du condensateur est due :

– au travail W de l’opérateur,

– à l’énergie fournie par le générateur Egpour maintenir la tension V =cte.

Eg=V(Q−Q)=V²(C−C)= −2W

=2E_p On retrouve bien ;

W+E_g= −E_p+2E_p =E_p

5.5. 1) À la fin de l’opération, la charge Q0du condensateur C1est : Q0=C1V1

et son énergie W₀est :

W0 = 1 2C1V₁² 2) a) Pour le circuit fermé A BC A, on a :

(VA−VB)+(VB−VC)+(VC−VA)=0 Par conséquent :

−q1

C₁ +Ri + q2

C₂ =0 (1)

Quand l’équilibre est établi, on a :

i =0 q₁= Q₁ q₂ =Q₂ Il vient, en remplaçant dans (1) :

−Q₁ C₁ + Q₂

C₂ =0 soit Q₁ C₁ = Q₂

C₂ = Q₁+Q₂

C₁+C₂ = Q₀ C₁+C₂ D’où :

C₁

q₁ q₂

R i C

C₂

Corrigés 143

Q1 =Q0

C₁

C₁+C₂ et Q2= Q0

C₂ C₁+C₂ b)On en déduit les tensions aux bornes des condensateurs :

V₁ = Q₁

C₁ = Q₀

C₁+C₂ et V₂= Q₂

C₂ = Q₀ C₁+C₂ c)Les énergies emmagasinées par les deux condensateurs sont :

W₁= 1 3) b)Au cours de la décharge de C₁dans le circuit, le courant i qui traverse la résis-tance R a pour expression :

i= −dq₁ Elle a pour solution :

x = K e⁻^RC^t d’où q₁

C =K e⁻^RC^t + Q₀ C2

Détermination de la constante K :

à l’instant t =0, début de la décharge, on a : q₁ =Q₀⇒ K = Q0

C − Q0

C₂ = Q0

C₁

Finalement, on obtient :

q₁= Q0

e⁻^RC^t +Q₀ C1

C1+C2

b) Au cours de la décharge, le courant i qui circule dans le circuit s’écrit :

i = −dq1

dt = Q0

RC1

e⁻^RC^t L’énergie dissipée par effet Joule pendant le temps dt est :

dW_J=Ri²dt = Q²₀ c) Énergie du système à l’instant initial :

W₀= 1 2

Q²₀ C₁ Énergie du système à l’instant final :

W₁+W₂ = 1 2

Q²₀ C1+C2

La variation d’énergie est donc : W0−(W1+W2)= 1 Par conséquent, elle correspond bien à l’énergie dissipée par effet Joule.

5.6. A) 1) Ep = −ax⁻⁶+bx⁻¹²

x0 est une position d’équilibre.

q₁ Q₀

O t

Q₀C₁ C₁+C₂

Tableau de variation : C’est le minimum de E_p, donc l’équilibre en x₀est stable.

2) L’énergie de dissociation de la molécule est l’énergie qu’il faut fournir à la molé-cule pour éloigner un des deux atomes à l’infini, à partir de sa position d’équilibre.

On a donc :

B) 1) Les équations différentielles vérifiées par x1et x2sont : m₁x¨₁=k(x₂−x₁−x₀)

a²

On en déduit :

μ, la solution de l’équation différentielle est de la forme : x = A cos(ω0t+ϕ) avec ω0=

k μ

La molécule a un mouvement de vibration sinusoïdal, de fréquence ν0 = ω0

2π, autour de la position d’équilibre.

C) E_p= −ax⁻⁶+bx⁻¹² On a successivement :

E_p(x)= −a²

on a : F = −72ED(x−x0)ex

x₀²

Cette force de liaison est bien une force de rappel de la forme F = −K(x−x0)ex

avec K = 72E_D

x₀² K = 72×5·10⁻¹⁹

(1,64·10⁻¹⁰)² =1 338 N·m⁻¹ ω0=

k(m1+m2) m1m2

1 338 1,67·10⁻²⁷

128 127

9·10¹⁴rad·s⁻¹ ν0= ω0

2π =1,43·10¹⁴Hz

Corrigés 147

4) A.N. :

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