𝑧 𝑥
Figure 5.5 : Schéma d’un four à induction avec les lignes de champ magnétique et les mouvements du fluide. À droite : zoom sur ce qu’il se passe près des parois, dans l’épaisseur de peau. Adapté de Davidson (2001).
5.3 c a s d e c a l c u l
De la même manière que pour l’instabilité de Rayleigh-Bénard, on considère ici une situation modèle de chauffage par induction. Le forçage est ici exercé directement dans le fluide, et non plus par les parois. La convection pilotée par des sources internes a reçu moins d’attention par rapport à l’instabilité classique de Rayleigh-Bénard, en dépit de toutes les applications industrielles. Avec nos choix de conditions limites adiabatique et isotherme en bas et en haut respectivement, la solution de l’équation de diffusion de la chaleur instationnaire avec terme source est régulière, comme on le verra dans la suite de cette étude. Ainsi, il n’y a pas initialement de flux de chaleur infini aux parois, contrairement à ce qui se passe pour un champ DC (figure4.6).
Dans cette situation, la convection apparaît directement pendant l’établissement du champ de base de température, contrairement au chapitre 4. Ainsi, pour comprendre le développement transitoire de l’instabilité thermo-convective, il a fallu adapter la méthode de LSA présentée précédemment, afin de prendre en compte cette évolution temporelle.
Les analyses de stabilité marginales (Roberts,1967b; Sparrow, Goldstein et Jonsson,1964; Tasaka et Ta- keda,2005) se basent sur le profil conductif stationnaire pour calculer le Rayleigh critique Rac. Pour un
fluide au repos, l’atteinte ou non de ce profil de base de la valeur du temps caractéristique de diffusion
τκ = h2/κ , avec h une longueur caractéristique et κ le coefficient de diffusion thermique. Ce temps ca-
ractéristique peut atteindre des durées τκ = O(103s) dans des systèmes physiques. Combiné à de grands
Ra, ceci pourrait permettre à la convection de démarrer avant que le profil de base de conduction ne soit
atteint : le démarrage de la convection se fait conjointement avec la diffusion transitoire de la chaleur. Dans ces situations, il faut donc prendre en compte l’évolution transitoire du champ de base dans la LSA pour rendre compte fidèlement du développement de l’instabilité.
De plus, il a déjà été montré par des simulations numériques de Kolmychkov, Mazhorova et Shcheritsa (2013) que les structures de l’écoulement en régime établi diffèrent sensiblement de celles du régime tran- sitoire (figures1.9aet 1.9b). Cette dynamique transitoire peut durer plusieurs dizaines de minutes dans des situations pratiques. Il est donc nécessaire de la caractériser. Cette étude de la dynamique aux temps
courts peut se faire comme précédemment par LSA, dans le but de prévoir les temps caractéristiques de l’instabilité.
Mis à part les effets transitoires, on considère ici le cas où les sources de chaleur sont concentrées dans l’épaisseur de peau δ. On étudie une couche de fluide horizontale de hauteur h d’un fluide conducteur électrique, initialement à la température de son environnement. Le fluide est soumis à la gravité −gez et
à un champ magnétique horizontal imposé à la paroi inférieure, comme décrit à la figure5.6. On considère ici un champ magnétique harmonique de pulsation ω et d’amplitude B0 imposé sur la paroi basse d’une
couche de métal liquide infinie dans les directions horizontales (x, y), comme le montre la figure5.6. Comme le champ magnétique est solénoïdal ∇ · B = 0, il n’est pas possible d’avoir une composante harmonique selon ez. On ne considère donc uniquement la situation où le champ est horizontal selon ex. La diffusion
x y z λ= 2πh/k h g B0cos(ωt)ex Tt ∂T /∂n= 0
Figure 5.6 : Schéma de la configuration. La paroi haute est maintenue à température constante Tt et la paroi basse est adiabatique.
du champ magnétique dans cette couche induit des courants électriques dans le fluide et génère une force de Lorentz. Cependant, comme ici B · ∇B = 0 (à cause de l’invariance par translation dans les directions (x, y)), la force de Lorentz a uniquement un rôle de pression magnétique, qui ne modifie pas l’écoulement.
Cet effet diffère totalement de la situation des champs DC (chapitre 4) où la force de Lorentz a un rôle stabilisant. Le terme source de chaleur par effet Joule décroît exponentiellement depuis la paroi basse avec une longueur caractéristique δ/2h. Tasaka et Takeda (2005) ont analysé la stabilité marginale de cette configuration. Ils ont montré que l’augmentation de δ/h augmentait légèrement le critère de stabilité marginale, et donc retardait la déstabilisation (figure 5.7). L’épaisseur de peau a donc un léger effet sur la stabilité marginale du fluide. L’effet sur le nombre d’onde marginal est également très limité. Plus loin du seuil de convection, on pourrait s’attendre néanmoins à des effets prononcés de δ/h. Ici, nous avons observé par DNS que, contrairement à ce qui pourrait être attendu, les structures sont indépendantes de l’épaisseur de peau, à la fois dans le régime linéaire et stationnaire, à puissance déposée constante.
De plus, à part aux temps très courts, l’écoulement présente une symétrie de réflexion par rapport au plan médian, contrairement aux équations régissant l’écoulement. Ce résultat est différent d’autres résultats numériques et expérimentaux obtenus dans le régime stationnaire et pour des sources homogènes. En particulier, pour de forts Rayleigh 106 ≤ Ra ≤ 1010 (comme défini à l’équation (1.5) et dans le
paragraphe suivant), Goluskin et van der Poel (2016) ont montré que les profils de vitesse et température sont dissymétriques (figure5.2).
Nous présentons d’abord la géométrie, rappelons les outils utilisés et les équations résolues avec les conditions limites associées. Ensuite les résultats obtenus par DNS sont présentés. Les résultats de la LSA avec un champ de base transitoire sont exposés. Enfin, une discussion et une analyse des résultats sont proposées.
5.3 cas de calcul 75
Figure 5.7 : Nombre de Rayleigh et nombre d’onde critiques pour un terme source exponentiellement décroissant, avec = δ/2h, d’après Tasaka et Takeda (2005). Les tirets horizontaux représentent les nombres d’onde et de Rayleigh critiques kc et Rac lorsque le chauffage est homogène (Roberts, 1967b). La définition du Rayleigh critique de Tasaka et Takeda,2005diffère de la nôtre et de celle de Roberts,
5.4 f o r m u l at i o n d u p ro b l è m e e t é q u at i o n s
Dans ce chapitre on considère le temps caractéristique de diffusion thermique τκ = h2/κ comme échelle
de temps de référence et la hauteur h de la cellule comme longueur de référence. La couche fluide est infinie dans les directions horizontales (x, y), similairement au chapitre4. La paroi supérieure est consti- tuée d’un conducteur parfait de la chaleur et de l’électricité. La paroi basse est isolée thermiquement et électriquement. Ces conditions limites permettent de comparer nos résultats à ceux de Roberts (1967b), Tasaka et Takeda (2005) et Tasaka et al. (2005). De plus, on considère ici que le temps caractéristique de diffusion magnétique τη = h2/η est bien plus court que les échelles advectives et de diffusion thermique
et visqueuse. Cette condition correspond à l’hypothèse des faibles nombres de Reynolds magnétique (Rm) et de Prandtl magnétique (P m), ce qui est en général le cas pour les métaux liquides à l’échelle du labo- ratoire. On suppose également que les propriétés physiques du fluide sont constantes, et correspondent à celle d’un métal liquide. Pour un métal liquide tel que le gallium (Assael et al., 2012; Aurnou et Olson,
2001), cela revient à fixer P r = τκ/τν = 0.025 et P m = τη/τν = 1.55 × 10−6, comme dans le chapitre 4,
avec τν = h2/ν le temps caractéristique de diffusion visqueuse.
Dans le cas Rm 1, comme considéré ici, les équations sans dimension régissant l’évolution du champ magnétique sont indépendantes de l’hydrodynamique et sont données par :
∂B ∂t = P r P m4 B, (5.2) j= δ h∇ × B, (5.3) ∇ · j= ∇ · B = 0, (5.4) B(z = 0, t) = cos ωt ex, B(z = 1, t) = 0. (5.5)
Contrairement aux champs DC, le forçage harmonique du champ magnétique interdit l’utilisation de la loi d’Ohm en formulation quasi-statique à l’aide du potentiel électrique. Il faudrait résoudre un problème intégro-différentiel pour le champ électrique. La méthode retenue ici utilise la loi d’Ampère (5.3), et est directe. Ici la densité de courant est donc adimensionnée par j0 = B0/µ0δ et ω est une pulsation sans
dimension. L’équation (5.5) correspond aux conditions limites magnétiques. Les coordonnées d’espace sont adimensionnées par la hauteur h. La solution du système (5.2)–(5.5), obtenue par transformation de Fourier, est donnée par :
B= " cos(ωt) [1 − z] + ∞ X n=1 (α1,n+ α2,n) sin(λnz) # ex, (5.6) j= δ h " −cos(ωt) + ∞ X n=1 λn(α1,n+ α2,n) cos(λnz) # ey, (5.7) avec α1,n= 2ω λn " λ2 nsin(ωt) P r/P m − ω cos(ωt) + ω e−λ 2 nt P r/P m (λ2 n P r/P m)2+ ω2 # , (5.8) α2,n= 2 λn e−λ2nt P r/P m, (5.9)
avec λn = nπ. Les détails de calculs sont donnés à l’annexeD.
Grâce au rapport des nombres de Prandtl P r/P m 1, les termes exponentiels des équations (5.8) et (5.9) sont amortis quasi-immédiatement, et on peut supposer que le champ magnétique B et les courants électriques j sont établis quasi-instantanément, après un temps de l’ordre de P m/P r ∼ 6×10−5. L’évolution