6.4 Effet du confinement sur les collisions
6.4.4 Calcul classique avec r´esonance de diffusion
Je pr´esente ici un calcul du temps de thermalisation dans lequel le mouvement des atomes est trait´e classiquement et la section efficace de collision entre atomes est celle correspondant aux collisions entre atomes libres. Pour que le traitement classique des atomes soit valable, il faut que le nombre de niveaux vibrationnels peupl´es soit tr`es important et donc que la temp´erature soit tr`es sup´erieure `a ¯hωosc. De plus, de mˆeme que dans l’´equation de Boltzmann, les collisions seront suppos´ees ponctuelles. Cette supposition implique que l’´echelle des variations spatiales de la densit´e des atomes est tr`es sup´erieure `a la racine de la section efficace de collision. Avec une section efficace
1/Tx(µK−1)
1 n3D(0)vrmsτtherm(µm2 )
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05 0
0.004
0.003
0.002
0.001
0
Figure 6.17: Comparaison des r´esultats exp´erimentaux de thermalisation avec les cal-culs th´eoriques. Les diff´erents symboles correspondent `a diff´erents jours d’exp´eriences.
La droite continue correspond correspond `a l’´equation 6.12 valable aux temp´eratures
´elev´ees. La courbe en tiret´es est le r´esultat du calcul quantique sans approximations.
v´erifiant 6.3, cette condition s’´ecrit
∆z∆k ≫1 (6.18)
o`u ∆z est l’´etalement du nuage et ¯h∆k sa largeur en impulsion. Cette in´egalit´e est v´erifi´ee si la temp´erature est tr`es sup´erieure `a ¯hωosc. Les deux conditions pr´ec´edentes sont les mˆemes. Donc, outre la supposition que les propri´et´es collisionnelles ne sont pas modifi´ees par le confinement, la seule condition de validit´e du calcul pr´esent´e ci-dessous est que la temp´erature v´erifie
kBT ≫¯hωosc. (6.19)
Il est int´eressant de comparer cette th´eorie aux exp´eriences. En effet, dans cette th´eorie classique, on suppose que les propri´et´es collisionnelles sont celles des atomes libres. Si ce calcul est en accord avec nos r´esultats, on peut dire qu’aucune modification des propri´et´es collisionnelles n’est mise en ´evidence.
A l’´equilibre thermodynamique, tous les degr´es de libert´e ont la mˆeme ´energie.
Ainsi, en notant Ez l’´energie totale du mouvement dans la direction verticale et Eρ
l’´energie totale du mouvement horizontal, la quantit´e
∆E =Ez −1
2Eρ (6.20)
s’annule `a l’´equilibre. Il est donc naturel de s’int´eresser `a l’´evolution de cette quantit´e.
Le mouvement des atomes dans le pi`ege ne modifie pas l’´energie totale du mouvement dans chacun des degr´es de libert´e. Par contre, les collisions peuvent induire un transfert d’´energie entre le degr´e de libert´e vertical et les degr´es de libert´es horizontaux. Ainsi, la variation de ∆E est uniquement dˆue aux collisions. Les collisions ´etant suppos´ees ponctuelles, `a l’issue d’une collision, seule de l’´energie cin´etique peut ˆetre transf´er´ee du mouvement horizontal au mouvement vertical. Lors d’une collision entre deux atomes de vitesses initiales v1 et v2 et de vitesses finales v3 etv4, la variation de ∆E est o`u l’indice ρ (resp. z) r´ef`ere `a la composante horizontale (resp. verticale) du vecteur.
Or, par conservation de l’´energie totale,
v21ρ+v22ρ−v32ρ−v42ρ =v32z +v24z −v21z −v22z. (6.22) Pour le calcul du transfert d’´energie entre degr´es de libert´e, on note f(r,v)d3rd3v le nombre d’atomes dans l’´el´ement de volume d3rd3v entourant le point r,v de l’espace des phases. En un point donn´e, le nombre de collisions par seconde faisant passer deux atomes des vitesses v1 et v2 aux vitesses respectives v3 et v4 est
dN12→34=W12→34f(r,v1)f(r,v2) (6.24) De mˆeme le nombre de collisions par seconde transf´erant deux atomes des vitesses v3 et v4 aux vitessesv1 etv2 est, comme W12→34=W34→12, La variation de ∆E est donc
d∆E
dt = R d3r14
R d3v1d3v2d3v3d3v4m2 32(v21z +v22z −v32z −v42z)W12→34(f(r,v4)f(r,v3)−f(r,v1)f(r,v2)). (6.27)
Le facteur 1/4 est dˆu au fait que chaque type de collision αβ ↔ γδ apparaˆıt 4 fois dans la somme sur les vitesses (v1,v2,v3,v4), ces quatre occurrences correspondant aux termes αβ →γδ, βα→δγ, γδ→αβ etδγ →βα.
Si le taux de collision est plus important que la fr´equence d’oscillation horizontale, la largeur de la distribution en vitesse horizontale est modifi´ee avant que les atomes n’aient eu le temps d’osciller. Ainsi, dans les directions horizontales, apr`es un temps de l’ordre de quelques collisions, la distribution en vitesse ne correspond plus `a la distribution en position et l’oscillation des atomes va ensuite entraˆıner une oscillation de la largeur de la distribution en vitesse. Par contre, si le taux de collisions est beaucoup plus petit que la fr´equence d’oscillation des atomes, pour chaque degr´e de libert´e, l’´ecart entre l’´energie cin´etique et l’´energie potentielle reste toujours tr`es petit devant la variation globale d’´energie n´ecessaire `a l’´etablissement de l’´equilibre thermodynamique.
En effet, les temps de collisions des diff´erents atomes se r´epartissent sur plusieurs p´eriodes d’oscillation et les oscillations entre l’´energie cin´etique et potentielle induites par chaque atome se brouillent.
On suppose que cette limite est bien v´erifi´ee (r´egime “sans collisions”). D’autre part, on suppose que la distribution en vitesse et en position dans chaque direction est gaussienne. Enfin, comme les collisions sont isotropes et comme initialement les deux degr´es de libert´e horizontaux ont la mˆeme ´energie, il est naturel de supposer qu’ils gardent une ´energie ´egale au cours de la thermalisation. Ainsi, `a chaque instant, la distribution f s’´ecrit
A partir de cet ansatz gaussien, on peut calculer 6.27. L’int´egrale surv3 etv4 peut ˆetre remplac´ee par une int´egrale `a deux dimensions sur l’angle de d´eviation dans le centre de masse de la collision, W12→34 ´etant remplac´e par
W12→34=|v2−v1| σ
4π (6.29)
Dans les exp´eriences effectu´ees, la vitesse moyenne des atomes est tr`es sup´erieure `a la vitesse ¯h/(ma) `a partir de laquelle la formule 6.3 n’est plus valable. Pour presque toutes les collisions, σ est donc bien d´efinie par 6.3 et on utilise donc 6.3. Le calcul des int´egrales est compliqu´e si aucune supposition n’est faite sur θz et θρ. Par contre, si on suppose que l’´ecart initial entre θz et θρ est faible, on peut lin´eariser en θz−θ0 et
o`u ¯n est la densit´e moyenne dans le pi`ege. En rempla¸cant N(θz −θρ) par ∆E on a
Ainsi, on attend une ´evolution exponentielle de ∆E. A cet ordre du calcul, la vitesse quadratique moyenne dans chacune des directions ´evolue aussi exponentiellement avec la mˆeme constante de temps
τtherm = 15√
o`uvrms =qθ0/mest la vitesse quadratique moyenne etσ(vrms) la section efficace pour une vitesse relative ´egale `a vrms.
Or ¯n s’´ecrit
Donc τtherm s’´ecrit en fonction de la densit´e moyenne `a deux dimensions ¯n2D τtherm= 1 si les atomes sont confin´es sur une taille inf´erieure `a la longueur de diffusion, aucune modification des propri´et´es collisionnelles n’a lieu : la thermalisation s’explique par un calcul classique o`u les propri´et´es collisionnelles sont celles existant entre atomes libres (σ = 8π/k2 car kBT ≫h¯2/(2ma2)). Ainsi, pour voir des effets du confinement sur les propri´et´es de collisionnelles, il faut que la temp´erature ne soit pas grande devant ¯hωosc. Le calcul classique pr´ec´edent peut s’´etendre `a deux situations diff´erentes. Nous avons tout d’abord poursuivi le calcul dans le cas o`u l’´ecart initial en temp´erature est trop important pour pouvoir lin´eariser. D’autre part, nous nous sommes int´eress´e au cas o`u le taux de collisions est de l’ordre ou plus grand que la fr´equence d’oscillation.
Au del`a de la lin´earisation
Il peut ˆetre int´eressant de poursuivre le calcul classique pr´ec´edent dans le cas o`u l’´ecart initial en ´energie est important. Le d´eveloppement `a l’ordre 1 en θz −θρ n’est alors plus valable. Un calcul de 6.27 sans lin´eariser mais en supposant toujours un ansatz gaussien 6.28 donne
o`u θ0 est la valeur d’´equilibre de θz.
Transition avec le r´egime hydrodynamique
J’ai pr´ef´er´e me restreindre ici `a un calcul sp´ecifique `a la situation exp´erimentale ´etudi´ee et uniquement valable dans la limite o`u le taux de collisions est beaucoup plus faible que la p´eriode d’oscillation. En effet, comme expliqu´e ci-dessus, cette condition justifie l’utilisation de l’ansatz 6.28. Dans le cas o`u le taux de collision n’est pas tr`es petit devant la p´eriode d’oscillation, le calcul pr´ec´edent n’est plus valable. On s’attend `a voir apparaˆıtre des oscillations. Pour rendre compte de ce r´egime et pour voir la limite de validit´e du traitement pr´ec´edent, nous avons repris les calculs de l’article de D. Guery-Odelin et al. [83] dans le cas d’une r´esonance de diffusion (σ = 8π/k2). Ce calcul est valable pour des faibles ´ecarts `a l’´equilibre car il est lin´earis´e. D’autre part, il suppose que la g´eom´etrie du pi`ege est cylindrique (ωx = ωy). Ceci n’est pas le cas dans notre exp´erience mais on ne s’attend pas `a des changements qualitatifs important du fait de l’anisotropie dans le plan (x, y). L’int´erˆet du calcul de [83] est de d´ecrire aussi bien le r´egime o`u le taux de collision est faible que celui o`u le taux de collisions est ´elev´e (r´egime hydrodynamique). Nous reprenons ici les notations de [83]. Les 6 ´equations coupl´ees sur les hχiigardent la mˆeme forme mais le terme hχ6Icolli s’´ecrit
hχ6Icolli= χ6
τ , (6.36)
o`u
τ = 15√ π 4
1
¯
nqθm0 8π¯h2 (m2)2θm0
(6.37) τ s’´ecrit simplement en fonction du temps τtherm d´efini par 6.32 et correspondant `a la constante de temps de thermalisation dans le r´egime “sans collision” : on a
τ = 1
2τtherm. (6.38)
A partir des ´equations de [83], de 6.36 et 6.37, on calcule l’´evolution de l’´energie cin´etique du mouvement horizontal pour une situation initiale correspondant `a notre exp´erience. Pour un temps de collisionτ sup´erieur `a 5/ωx, ce calcul redonne l’´evolution exponentielle attendue d’apr`es 6.30. Par contre pour un temps plus court, on voit apparaˆıtre des oscillations. Les graphes 6.18 montrent le passage au r´egime hydrody-namique. D’apr`es ces graphes, des oscillations d’amplitude sup´erieure `a un dixi`eme de la variation globale apparaissent d`es queτ = 5/ωosc, ce qui correspond `a 5 ms avec nos fr´equences d’oscillations horizontales. Ceci correspond `a un temps de thermalisation
`a 1/e de 2τ = 10 ms. Ainsi, on s’attend `a voir apparaˆıtre des oscillations d`es que le temps de thermalisation devient plus petit que 10 ms. Dans la limite o`u le taux de collision est tr`es grand, ces oscillations ne sont presque plus amorties (r´egime hydro-dynamique). Dans les exp´eriences, on a mesur´e des temps de thermalisation de 7.5 ms environ. Mais nous n’avons pas vu d’oscillations.
(a)
Figure 6.18: Thermalisations `a la limite du r´egime hydrodynamique. Les courbes don-nent l’´evolution de l’´energie cin´etique du mouvement horizontal par degr´e de libert´e (courbe continue) et de l’´energie cin´etique du mouvement vertical (courbe pointill´ee).
Le rapport entre les fr´equences d’oscillation horizontales et verticales est 0.175/80 = 2.2×10−3 comme dans notre exp´erience. Le param`etre τ d´efini ´equation 6.37 est de 0.2/ωx(c),1/ωx(b)et5/ωx(a). Avec une fr´equence d’oscillation horizontale de 175 Hz comme celle que nous avons, 10/ωx= 9.1 ms.
En fait, comme nous le verrons dans la section suivante, aux temp´eratures inf´erieures
`a environ ¯hωosc (5µK) le temps de thermalisation entre les mouvement horizontaux et vertical est beaucoup plus petit que le taux des collisions ne modifiant pas le niveau vibrationnel du mouvement vertical. Or, dans les exp´eriences, pour une temp´erature de 5µK environ, nous avons mesur´e un temps de thermalisation entre les mouvements horizontaux et vertical de l’ordre de 10 ms `a la limite du r´egime hydrodynamique. Il est donc probable que, pour ces exp´eriences, le r´egime hydrodynamique ´etait v´erifi´e pour les collisions ne modifiant pas le niveau vibrationnel du mouvement vertical. Pour le voir, il faut cr´eer une situation hors d’´equilibre thermodynamique dans le plan (x, y), puis regarder l’´evolution des distributions en vitesse horizontales.