Calcul des centres de classe pour le FPE

3.2.1 Cas des matrices réelles définies positives . . . 75 3.2.2 Extension aux matrices hermitiennes définies positives . . . 80 3.3 Simulations . . . 81 3.4 Données réelles. . . 86 3.4.1 Utilisation de la distance de Wishart . . . 86 3.4.2 Utilisation de la distance géométrique . . . 88 3.4.3 Répartition des pixels dans l’espace H-α . . . 89 3.5 Conclusion . . . 93

Ce chapitre est consacré à l’étude de l’impact du calcul des centres de classe lors de la classification. En premier lieu, l’influence du calcul par moyennage arithmétique traditionnel sera étudiée pour l’estimateur du point fixe puis l’utilisation de la géométrie riemannienne sera introduite. Nous verrons pourquoi le moyennage arithmétique (ou euclidien) n’est rigoureusement pas adapté au cas des matrices de covariance et l’intérêt d’employer une approche riemannienne.

3.1 Calcul des centres de classe pour le FPE

L’approche traditionnellement employée pour le calcul des centres de classes dans le classifieur Wishart est celle présentée dans l’Eq. (1.53), à savoir : le centre de classe est calculé comme la moyenne arithmétique des matrices de covariance des pixels appartenant à la classe considérée [50]. Elle découle directement de l’utilisation originelle de l’algorithme K-moyennes où les données sont représentées dans un espace euclidien, typiquement à deux ou trois dimensions. Dans ce cas, le centre de classe est le “barycentre” des données de la classe et est positionné spatialement au centre du cluster représenté dans l’espace correspondant aux données.

Dans le cas du radar, et plus précisément de la classification radar polarimétrique, les données sont des matrices hermitiennes définies positives. Il apparaît alors important de s’assurer que la méthode de calcul des centres de classe traditionnelle est bien adaptée aux données. Il s’avère d’autant plus que les données ne sont pas connues explicitement mais estimées à partir des données de base de l’image radar. Il y a alors deux approches possibles pour obtenir les centres de classe :

— approche 1, traditionnelle : utiliser l’approche traditionnelle de calculer la moyenne des matrices de la classe, ce qui entraîne une redondance des pixels (car chaque pixel est utilisé dans le calcul de plusieurs matrices de covariance donc il peut être utilisé plusieurs fois dans le calcul de la moyenne),

— approche 2, par estimation : revenir aux données pixel par pixel et estimer le centre de classe en utilisant tous les pixels de la classe.

Calcul du centre de la classe ω

∀ pixel ∈ ω Calcul Σ ∀ pixel ∈ ω Récupérer le vecteur k  Σ_ω = ¹ N † Σ Σω =

estima-tion à partir des k_i

 Σ_ω

FIGURE3.1 – Calcul des centres de classe

La Fig.3.1schématise ces deux approches. Dans le cas de la SCM, il est aisé de remarquer que les deux approches donnent un résultat relativement similaire, étant donné que la SCM est estimée, selon l’Eq. (1.35), comme la moyenne des produits des vecteurs k situés dans le voisinage du pixel considéré avec leurs transposés conjugués. On a alors les deux situations suivantes :

— approche traditionnelle : Σ_ω = ¹ N   Σ= ¹ N   i

k_ik^H_i avec les k_idonnées secondaires utilisées pour l’estimation de la matrice de covariance de chaque pixel. Ici, k_ipeut être utilisé plusieurs fois, — approche par estimation : Σ_ω = ¹

N 

kk^H.

Pour l’approche traditionnelle, on a la même somme que dans l’approche par estimation, à laquelle est ra-joutée la moyenne des données secondaires de chaque pixel. On a donc une somme beaucoup plus importante mais qui rajoute des termes a priori proches des termes déjà existants donc le moyennage devrait donner un résultat similaire selon les deux approches.

Dans le cas du FPE, l’estimation de la matrice est faite de manière non linéaire, selon l’Eq. (1.57). On peut donc s’attendre à avoir des résultats différents en suivant les deux approches. Il faut cependant prendre en compte le fait que les matrices estimées par le FPE sont normalisées pour avoir une trace égale à m, la taille du vecteur de données. On aura donc au final des centres de classe qui devraient être peu différents en norme suivant les deux approches. On discutera plus loin de l’influence de la distance entre matrices sur les comportements polarimétriques.

La Fig.3.2présente les résultats de classification par le classifieur Wishart avec initialisation par la décom-position de Cloude-Pottier pour la SCM et le FPE, selon les deux approches de calcul de centres de classe.

(a) SCM, approche traditionnelle (b) SCM, approche par estimation

(c) FPE, approche traditionnelle (d) FPE, approche par estimation

FIGURE 3.2 – Comparaison des résultats du classifieur Wishart suivant la méthode de calculs des centres : traditionnelle ou réestimation de la matrice.

Pour la SCM, les résultats sont en réalité très différents selon les deux approches. Avec l’approche tra-ditionnelle, on observe encore une fois bien les contours des différents champs présents dans l’image, qui disparaissent complètement avec l’approche par estimation. Il est probable que la perte du peu d’information spatiale disponible pour la classification (à savoir l’information contenue dans l’estimation de la matrice de covariance par un voisinage spatial autour du pixel considéré) soit responsable de cette mauvaise classifica-tion. En effet, l’initialisation est effectuée grâce à la décomposition de Cloude-Pottier (cf. Fig.1.15(a)) : si l’on considère par exemple les pixels situés dans la classe marron, ils composent principalement le champ situé dans le coin inférieur gauche, le parking et les coins réflecteurs. Les valeurs des matrices de covariance estimées par la SCM pour ces pixels varient énormément, de valeurs très faibles sur les champs à des valeurs très élevées sur les coins réflecteurs car la SCM n’est pas normalisée. Avec l’approche traditionnelle, ces fortes valeurs peuvent être compensées en considérant les pixels voisins. Avec l’approche par estimation, ces grandes variations sont probablement à l’origine de la moins bonne classification.

Pour le FPE, au contraire, les résultats sont très similaires, certainement dû au fait que les matrices de co-variance estimées par le FPE sont normalisées, ce qui permet de comparer des matrices ayant le même ordre de grandeur. On peut néanmoins remarquer que les contours des bâtiments semblent moins bien dessinés avec l’approche par estimation, dû au plus faible nombre de données pour l’estimation.

Il apparaît donc que l’approche par moyennage des matrices semble plus appropriée pour la classifica-tion Wishart. Cependant, il est important de prendre en compte la structure des objets manipulés lors de ce moyennage, à savoir les matrices de covariance polarimétriques. Ces matrices sont des matrices hermitiennes définies positives et l’utilisation de la moyenne arithmétique suppose que ces matrices appartiennent à un es-pace euclidien. En réalité, l’eses-pace des matrices hermitiennes définies positives est un eses-pace riemannien (donc à structure courbe, contrairement aux espaces euclidiens à structure plane) et il est nécessaire de prendre en compte la structure de cette espace pour calculer la moyenne de matrices de covariance polarimétriques. Ceci peut être réalisé en considérant la géométrie de l’information, une branche de la géométrie riemannienne.