Calcul du caract` ere sur les ´ el´ ements topologiquement uni- uni-potents

el´ements nilpotents de g(Fq). C’est une bijection de cet ensemble sur celui des ´el´ements unipotents de G(Fq).

Soit f ∈ C_c^∞(G_](F )). Supposons que le support de f est form´e d’´el´ements topologique-ment unipotents. On d´eduit de f une fonction f_Lie ∈ C∞

c (g_](F )). Son support est form´e d’´el´ements topologiquement nilpotents. Pour un tel ´el´ement X, on a f_Lie(X) = f (E(X)). On d´eduit aussi de f une fonction f_red sur K_n⁺0,n00 telle que, pour tout g ∈ K_n0,n00,

f_red(g) = Z

Ku n0,n00

f (gh) dh.

Cette fonction est invariante par Ku

n0,n00, on peut consid´erer que c’est une fonction sur G(Fq). Elle est alors `a support unipotent. On en d´eduit une fonction f<sub>red,Lie</sub> sur g(Fq) : celle-ci est `a support nilpotent et, pour un ´el´ement nilpotent X ∈ g(Fq), on a l’´egalit´e f_red,Lie(X) = f_red(E(X)). Enfin, on d´eduit de f_Lie une fonction f_Lie,red sur k_n0,n00 : pour X dans cet ensemble,

f_Lie,red(X) = Z

ku n0,n00

f_Lie(X + Y ) dY.

Cette fonction est invariante par translations par ku

n0,n00. On peut la consid´erer comme une fonction sur g(Fq). Elle est alors `a support nilpotent.

Lemme. On a l’´egalit´e f_red,Lie= f_Lie,red.

Preuve. En d´etaillant les d´efinitions, on voit qu’il s’agit de d´emontrer l’assertion suivante :

(1) soit X ∈ k_n0,n00 un ´el´ement topologiquement nilpotent ; alors l’application Y 7→ E(X)⁻¹E(X + Y ) envoie bijectivement k^u_n0,n00 sur K_n^u0,n00 et pr´eserve les mesures.

La d´emonstration est ´el´ementaire, on la laisse au lecteur. 

On a effectu´e les constructions ci-dessus pour le groupe G_] afin de ne pas introduire de notations suppl´ementaires. Mais il est clair que les mˆemes constructions et le mˆeme lemme valent pour les groupes de Levi de G_] et nous les utiliserons pour ceux-ci.

2.3 Calcul du caract`ere sur les ´el´ements topologiquement

uni-potents

Pour ] = iso ou an, soit π ∈ Irr_unip,]. On a d´efini l’´el´ement Res(π) ∈ Rpar,glob et l’isomorphisme k : R^glob → Rpar,glob en [15] 1.5 et 1.9. On note κ_π l’´el´ement de R^glob tel que Res(π) = k(κ_π). Soit f ∈ C_c^∞(G_](F )). On suppose que tout ´el´ement g du support de f est topologiquement unipotent. Un tel ´el´ement est compact, donc Θ_π(f ) est donn´e par la formule de 2.1. Nous allons expliciter cette formule `a l’aide de l’´el´ement κ_π ∈ Rglob.

Consid´erons un entier n₀ ∈ {1, ..., n}, une d´ecomposition n₀ = n⁰+n⁰⁰et une partition m = (m₁, ..., m_t > 0) ∈ P(n − n₀). Ces donn´ees sont soumises aux mˆemes restrictions qu’en 2.1 : si ] = an, on a n₀ ≥ 1 et n00 ≥ 1. On a associ´e `a ces donn´ees un groupe de Levi M de G_]. Soit φ ∈ C_c^∞(M (F )), supposons que le support de φ est form´e d’´el´ements topologiquement unipotents. On va d’abord calculer

I = Z

M (F )

φ(y)^X

ζ

La somme porte sur les signes ζ = ±, soumis aux conditions : si ] = iso, on a ζ = + si n⁰⁰ = 0 et ζ = − si n⁰⁰ = 1. La deuxi`eme fonction dans l’int´egrale est `a support dans le groupe compact K_m × K_n^±0,n00 et est invariante par K_m^u × Ku

n0,n00. On peut l’identifier `a une fonction sur le groupe M<sup>±</sup>(Fq), o`u

M^± = GL(m₁) × ... × GL(m_t) × SO(2n⁰+ 1) × O(2n⁰⁰)_].

D´efinissons une fonction φ_res sur K_m× K_n^±0,n00 par

φ_res(y) = Z Ku m×Ku n0,n00 φ(yh) dh.

On peut la consid´erer elle-aussi comme une fonction sur M^±(Fq). On a l’´egalit´e

I = ^X

y∈M±(Fq)

φ_res(y)^X

ζ

proj_cusp(Res^ζ_m,n0,n00(π))(y).

On dispose de l’application

res_m: R^glob → C[ ˆS_m1] × ... × C[ ˆS_mt] ⊗ R^glob_n

0

obtenue en it´erant la construction de [15] 1.8. Notons Γ_n0,n00l’ensemble des γ = (r⁰, r⁰⁰, N⁰, N⁰⁰) ∈ Γn0 tels que r02+ r⁰+ N⁰ = n⁰, r002+ N⁰⁰= n⁰⁰. Pour un tel γ, notons resm(κπ)γ la com-posante dans

C[_Sˆ

m1] × ... × C[ ˆS_mt] ⊗ R_γ

de res_m(κ_π). Excluons d’abord le cas o`u ] = iso et n⁰⁰ = 1. On voit que X

ζ

proj_cusp(Res^ζ_m,n0,n00(π)) = ^X

γ∈Γ_n0,n00

proj_cusp◦ kM(res_m(κ_π)_γ).

Fixons γ = (r⁰, r⁰⁰, N⁰, N⁰⁰) ∈ Γ_n0,n00. Dans [10] 2.12 et 2.13, on a introduit des fonctions k(r⁰, w⁰) sur SO(2n⁰+ 1)(Fq) pour w⁰ ∈ WN0 et k(r⁰⁰, w) sur O(2n⁰⁰)](Fq) pour w⁰⁰ ∈ WN00. Une construction analogue vaut pour les groupes GL(m_j) : pour w ∈ S_mj, on d´efinit une fonction k(w) sur GL(m_j; Fq). Posons

W (m, N⁰, N⁰⁰) = Sm1 × ... × Smt× WN0 × WN00.

La fonction res_m(κ_π)_γest d´efinie sur ce groupe. Pour w = (w₁, ..., w_t, w⁰, w⁰⁰) ∈ W (m, N⁰, N⁰⁰), on pose k(r⁰, r⁰⁰; w) = k(w₁) ⊗ ... ⊗ k(w_t) ⊗ k(r⁰, w⁰) ⊗ k(r⁰⁰, w⁰⁰). Il r´esulte des d´efinitions que

k^M(res_m(κ_π)_γ) = |W (m, N⁰, N⁰⁰)|^{−1 X}

w∈W (m,N0,N00)

res_µ(κ_π)_γ(w)k(r⁰, r⁰⁰; w).

Dans chacun des groupes S_mj, W_N0 et W_N00, on d´efinit usuellement la notion d’´el´ement elliptique. L’application k entrelace la projection proj_cuspet la projection sur les ´el´ements elliptiques. Donc

proj_cusp◦ kM(res_m(κ_π)_γ) = |W (m, N⁰, N⁰⁰)|^{−1 X}

w∈W (m,N0,N00)ell

o`u W (m, N⁰, N⁰⁰)_ell est le sous-ensemble des ´el´ements elliptiques de W (m, N⁰, N⁰⁰). On obtient I = ^X γ=(r0,r00,N0,N00)∈Γ_n0,n00 |W (m, N⁰, N⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,N0,N00)ell res_m(κ_π)_γ(w) X y∈M±(Fq)

φ_res(y)k(r⁰, r⁰⁰; w)(y).

Les hypoth`eses sur le support de φ entraˆınent que φ<sub>res</sub> est `a support unipotent. D’apr`es la proposition [10] 2.16, k(r<sup>0</sup>, r<sup>00</sup>; w) est nulle sur les unipotents sauf si r<sup>0</sup> = r<sup>00</sup> = 0. Il ne reste qu’un seul γ qui contribue, `a savoir l’´el´ement γ_n0,n00 = (0, 0, n⁰, n⁰⁰). D’o`u

I = |W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)_ell res_m(κ_π)_γ n0,n00(w) ^X y∈M±(Fq) φ_res(y)k(w)(y),

o`u on a pos´e simplement k(w) = k(0, 0; w). A ce point, on peut supprimer l’hypoth`ese restrictive faite plus haut. Si ] = iso et n⁰⁰ = 1, on a I = 0 car on se limite `a ζ = − et K<sub>n</sub><sup>−</sup>00,iso ne contient pas d’´el´ement topologiquement unipotent. Mais la formule ci-dessus donne le mˆeme r´esultat, car pour l’unique ´el´ement elliptique w<sup>00</sup> ∈ W<sub>1,ell</sub>, on a k(0, w<sup>00</sup>)<sub>iso</sub> = 0, cf. [10] 2.13. Notons M la composante neutre de M<sup>±</sup> et m son alg`ebre de Lie. On dispose de l’application E de 2.2, qui est une bijection de l’ensemble mnil(Fq) des ´el´ements nilpotents de m(Fq) sur l’ensemble M_unip(Fq) des ´el´ements nilpotents de M(Fq). Notons φ_red,Lie la fonction sur m(Fq) qui est nulle hors des ´el´ements nilpotents et qui v´erifie φred,Lie(X) = φred(E(X)) pour tout X nilpotent. Pour w ∈ W (m, n⁰, n⁰⁰)ell, d´efinissons de mˆeme une fonction k(w)_Lie. On obtient

(2) I = |W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)ell res_m(κ_π)_γn0,n00(w)I_w, o`u I_w = ^X X∈m(Fq) φ_red,Lie(X)k(w)_Lie(X).

Fixons w = (w₁, ..., w_t, w⁰, w⁰⁰) ∈ W (m, n⁰, n⁰⁰)_ell. On peut supposer sgn_CD(w⁰⁰) = 1 si ] = iso, sgnCD(w⁰⁰) = −1 si ] = an, sinon la fonction k(0, w⁰⁰) est nulle sur SO](Fq), cf. [10] 2.13. A tout w_j est associ´ee une classe de conjugaison de sous-tore maximal elliptique dans GL(m_j) (qui est d’ailleurs l’unique telle classe). A w⁰, resp. w⁰⁰, est associ´ee une classe de conjugaison de sous-tore maximal elliptique dans SO(2n⁰+ 1), resp. SO(2n⁰⁰)]. On fixe des tores dans ces classes de conjugaison et on note T_w leur produit qui est donc un sous-tore maximal elliptique dans M. On dispose de l’induction de Deligne-Lusztig de Tw `a M. Ce foncteur vaut aussi pour les alg`ebres de Lie. Notons tw l’alg`ebre de Lie de T<sub>w</sub> et consid´erons la fonction caract´eristique de {0} dans t<sub>w</sub>(Fq). On note Q<sub>w</sub> son image par induction de Deligne-Lusztig, qui est une fonction sur m(Fq), `a support nilpotent. On a l’´egalit´e

(3) k(w)_Lie = 2βQ_w, o`u β = 0 si n⁰⁰ = 0, β = 1 si n⁰⁰ > 0.

En effet, d’apr`es nos d´efinitions de [10] 2.12 et 2.13, k(w) est ´egal `a (−1)n2β fois la trace d’un Frobenius sur un faisceau-caract`ere. D’apr`es [5] th´eor`eme 1.14, cette trace est ´egale, sur les unipotents, (−1)n fois l’image par induction de Deligne-Lusztig de la fonction caract´eristique de 1 dans T<sub>w</sub>(Fq). En descendant par l’application E `a l’alg`ebre de Lie, on obtient (3).

En [16] 1.1, on a fix´e un caract`ere ψ<sub>F</sub> de F de conducteur $o. Il lui est associ´e un caract`ere de Fq grˆace auquel on d´efinit comme en [16] 1.1 une transformation de Fourier ϕ 7→ ˆϕ dans C_c^∞(m(Fq)). On la normalise de sorte que ˆϕ(X) = ϕ(−X). D’apr`ˆ es [6] proposition 7.2 et ´egalit´e 6.15(a), on a l’´egalit´e

(4) ˆQ_w(X) = sgn(w)q^−n/2Q_w(X) pour tout ´el´ement nilpotent X ∈ m_nil(Fq).

Fixons un point X_w ∈ t_w(Fq) en position g´en´erale. Notons ϕ[X_w] la fonction ca-ract´eristique de la classe de conjugaison par M(Fq) de Xw. D’apr`es [14] proposition II.8, on a l’´egalit´e

(5) ˆϕ[X_w](X) = ˆQ_w(X) pour tout ´el´ement nilpotent X ∈ m_nil(Fq).

En rassemblant (3), (4) et (5), on obtient l’´egalit´e k(w)Lie(X) = sgn(w)q^n/22^βϕ[Xˆ w](X), pour X ∈ m_nil(Fq). D’o`u

I_w = sgn(w)q^n/22^{β X}

X∈m(Fq)

φ_red,Lie(X) ˆϕ[X_w](X),

puis, par la formule de Parseval,

I_w = sgn(w)q^n/22^{β X}

X∈m(Fq)

ˆ

φ_red,Lie(X)ϕ[X_w](X).

Ou encore, en explicitant la fonction ϕ[X_w],

I_w = sgn(w)q^n/22^β|T_w(Fq)|^{−1 X}

x∈M(Fq)

ˆ

φ_red,Lie(x⁻¹X_wx).

La conjugaison se fait ici par le groupe M(Fq) et on rappelle que M est la composante neutre de M^±. Mais, dans la formule ci-dessus, on peut remplacer X_w par un conjugu´e quelconque par un ´el´ement de M^±(Fq). Un tel conjugu´e v´erifie les mˆemes propri´et´es que Xw. On peut donc remplacer la conjugaison par M(Fq) par la conjugaison par M^±(Fq) tout entier, `a condition de diviser par [M<sup>±</sup>(Fq) : M(Fq)], qui vaut pr´ecis´ement 2β. D’o`u

(6) I_w = sgn(w)q^n/2|T_w(Fq)|^{−1 X}

x∈M±(Fq)

ˆ

φ_red,Lie(x⁻¹X_wx).

Notons m l’alg`ebre de Lie de M . Comme en 2.2, on d´efinit une fonction φLie sur m(F ) : elle est `a support topologiquement nilpotent ; pour X ∈ m(F ) topologiquement nilpotent, on a φ_Lie(X) = φ(E(X)). On en d´eduit une fonction φ_Lie,red sur k_m ⊕ k_n0,n00

(avec une d´efinition ´evidente de km et, ci-dessous, de k^u_m) par

φLie,red(X) = Z ku m⊕ku n0,n00 φLie(X + Y ) dY

pour tout X ∈ k_m ⊕ k_n0,n00. On peut consid´erer que c’est une fonction sur m(Fq). Le lemme 2.2 dit que φ_red,Lie = φ_Lie,red. On dispose de la fonction ˆφ_Lie (la transform´ee de Fourier de φ_Lie) dont on d´eduit comme ci-dessus une fonction ( ˆφ_Lie)_red sur k_m⊕ k_n0,n00, que l’on peut consid´erer comme une fonction sur m(Fq). On v´erifie l’´egalit´e

( ˆφ_Lie)_red= ˆφ_Lie,red.

Dans la formule (6), rempla¸cons ˆφ_red,Lie par ( ˆφ_Lie)_red. Les termes de la formule vivent dans m(Fq) mais on peut les relever dans km⊕ kn0,n00. On rel`eve ainsi Xw en un ´el´ement

de ce r´eseau que l’on note X_w. La somme en x ∈ M^±(Fq) devient une int´egrale sur K_m× K_n^±0,n00, divis´ee par la mesure de Ku

m× Ku n0,n00. On obtient (7) I_w = sgn(w)q^n/2|T_w(Fq)|⁻¹mes(K_m^u × Ku n0,n00)⁻¹ Z Km×K^± n0,n00 ( ˆφ_Lie)_red(x⁻¹X_wx) dx.

Notons T_w le centralisateur de X_w et t_w son alg`ebre de Lie. Le tore T<sub>w</sub> est non ramifi´e sur F et poss`ede une structure naturelle sur o. On a t_w(o) = t_w(F ) ∩ (k_m ⊕ k_n0,n00) et $t_w(o) = t_w(F ) ∩ (ku

m⊕ ku

n0,n00). Posons X_w = X_w+ $t_w(o). Montrons que (8) pour tout x ∈ K_m× K_n^±0,n00, on a l’´egalit´e

( ˆφLie)red(x⁻¹Xwx) = mes(Xw)⁻¹ Z Ku m×Ku n0,n00 Z Xw ˆ

φLie(x⁻¹y⁻¹Ywyx) dYwdy.

On se ram`ene imm´ediatement au cas x = 1 en conjuguant par x la fonction ˆφ_Lie. Supposons donc x = 1. Posons T_w(F )u = T_w(F ) ∩ (Ku

m × Ku

n0,n00). C’est l’image par E de $t_w(o), on a donc mes(T_w(F )u) = mes(X_w). Les ´el´ements Y_w appartiennent `a t<sub>w</sub>(F ) donc T<sub>w</sub>(F ) commute `a ces ´el´ements. On peut remplacer l’int´egrale en y ∈ K_m^u × Ku

n0,n00

du membre de droite ci-dessus par une int´egrale en y ∈ T_w(F )u\(Ku m×Ku

n0,n00), multipli´ee par mes(X_w). Ce facteur fait disparaˆıtre son inverse qui figure dans ce membre de droite. Consid´erons l’application

ι : T_w(F )^u\(Ku m× Ku

n0,n00) × $t_w(o) → m(F )

(y, Z) 7→ y−1(X_w + Z)y − X_w Il est clair que son image est contenue dans ku

m ⊕ ku

n0,n00. Montrons qu’elle est injective. Si (y, Z) et (y⁰, Z⁰) ont mˆeme image, on a y⁻¹(X_w + Z)y = y0−1(X_w + Z⁰)y⁰. Le point X_w est en position g´en´erale et ses valeurs propres (dans une clˆoture alg´ebrique ¯_Fq de Fq) sont distinctes. Les valeurs propres de X_w+ Z et X_w+ Z⁰ sont enti`eres (dans une clˆoture alg´ebrique de F ) et leurs r´eductions dans ¯<sub>Fq</sub> sont les mˆemes que celles de X<sub>w</sub>. On en d´eduit ais´ement que les points X<sub>w</sub>+ Z et X<sub>w</sub> + Z<sup>0</sup> ne peuvent ˆetre conjugu´es que s’ils sont ´egaux. Donc Z = Z<sup>0</sup>. Alors y<sup>0</sup>y<sup>−1</sup> commute `a X_w + Z⁰ et appartient donc `a T_w(F ). Cela prouve l’injectivit´e de ι. L’application ι est diff´erentiable. Sa d´eriv´ee en un point (y, Z) est l’application

t_w(F )\m(F ) × t_w(F ) → m(F )

(Y, Z) 7→ y−1([Xw+ Z, Y] + Z)y

Celle-ci est bijective et, parce que les valeurs propres de X_w + Z sont enti`eres et de r´eductions toutes distinctes, on v´erifie qu’elle pr´eserve les mesures. Donc ι est un iso-morphisme local, de jacobien constant de valeur 1. On en d´eduit que l’image de ι est ouverte dans ku

m ⊕ ku

n0,n00 et que cette image a mˆeme mesure que l’espace de d´epart. D’autre part, l’image de ι est clairement compacte et l’espace de d´epart a mˆeme me-sure que ku

m⊕ ku

n0,n00. Cela entraˆıne que ι est un isomorphisme pr´eservant les mesures de T_w(F )u\(Ku

m× Ku

n0,n00) × $t_w(o) sur ku m⊕ ku

n0,n00. Le membre de droite de (8) (en x = 1) s’´ecrit Z Tw(F )u\(Ku m×Ku n0,n00) Z $tw(o) ˆ

D’apr`es les propri´et´es de ι, c’est aussi Z ku m⊕ku n0,n00 ˆ φLie(Xw+ Y ) dY.

Mais ceci est la d´efinition de ( ˆφ_Lie)_red(X_w). Cela d´emontre (8). Utilisons (8) pour transformer (7). L’int´egrale en Ku

m× Ku

n0,n00 est absorb´ee par celle en K_m× K_n0,n00 mais introduit un facteur mes(K_m^u × Ku

n0,n00) qui compense l’inverse de cette mesure intervenant dans (7). On obtient

Iw = sgn(w)q^n/2|Tw(Fq)|⁻¹mes(Xw)⁻¹ Z Km×K^± n0,n00 Z Xw ˆ φLie(x⁻¹Ywx) dYwdx.

Rappelons que l’on a suppos´e sgn_CD(w⁰⁰) = 1 si ] = iso et sgn_CD(w⁰⁰) = −1 si ] = an. Notons W (m, n⁰, n⁰⁰)_ell,] le sous-ensemble des ´el´ements de W (m, n⁰, n⁰⁰)_ell dont la composante w⁰⁰ v´erifie cette condition. En revenant `a (2), on obtient

(9) I = |W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)_ell,] res_m(κ_π)_γ n0,n00(w)sgn(w)q^n/2|T_w(Fq)|⁻¹ mes(Xw)⁻¹ Z Km×K^± n0,n00 Z Xw ˆ φLie(x⁻¹Ywx) dYwdx.

Notons plus pr´ecis´ement I_n0,n00(φ) cette expression. En 2.1, on a d´efini un terme Θ^M_π,cusp(φ). On a l’´egalit´e Θ^M_π,cusp(φ) = ^X n0,n00 mes((A_M(F )K_m× K_n^±0,n00)/A_M(F ))⁻¹ Z AM(F )\M (F ) I_n0,n00(^mφ) dm,

o`u (n<sup>0</sup>, n<sup>00</sup>) parcourt D(n) avec la restriction n<sup>00</sup> ≥ 1 si ] = an et o`u on a not´e mφ la fonction x 7→ φ(m⁻¹xm). On peut oublier la restriction sur n⁰⁰ : si ] = an et n⁰⁰ = 0, la formule (9) vaut 0 car l’ensemble W (m, n⁰, n⁰⁰)ell,] est vide. On voit que l’image par transformation de Fourier de (mφ)_Lie est m( ˆφ_Lie). Les int´egrales sur K_m × K_n^±0,n00

de la formule (9) sont absorb´ees par l’int´egrale sur A_M(F )\M (F ), mais introduisent des facteurs mes(Km × K_n^±0,n00). Notons AM(F )^c le plus grand sous-groupe compact de A_M(F ). C’est aussi l’intersection de A_M(F ) et de K_m. Donc

mes((AM(F )Km× K_n^±0,n00)/AM(F )) = mes(Km× K_n^±0,n00)mes(AM(F )^c)⁻¹. D’o`u (10) Θ^M_π,cusp(φ) = ^X (n0,n00)∈D(n) mes(A_M(F )^c)|W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)ell,] res_m(κ_π)_γ n0,n00(w)sgn(w)q^n/2|T_w(Fq)|⁻¹mes(X_w)⁻¹ Z AM(F )\M (F ) Z Xw ˆ φ_Lie(m⁻¹Y_wm) dY_wdm.

On peut encore remplacer l’int´egrale en AM(F )\M (F ) par une int´egrale sur Tw(F )\M (F ), `

a condition de multiplier par mes(A_M(F )\T_w(F )). Notons T_w(F )c le plus grand sous-groupe compact de T_w(F ). Parce que T_w est non ramifi´e, on a T_w(F ) = A_M(F )T_w(F )c, d’o`u mes(AM(F )\Tw(F )) = mes(AM(F )^c)⁻¹mes(Tw(F )^c). Le premier facteur compense

son inverse qui figure dans la formule ci-dessus. On a introduit plus haut le sous-groupe T_w(F )u de T_w(F ) et on a T_w(F )c/T_w(F )u ' T_w(Fq). De plus, mes(T_w(F )u) = mes($t_w(o)). On a fix´e sur t_w(F ) la mesure autoduale. Puisque t_w(o) et $t_w(o) sont duaux pour le bicaract`ere (X, Y ) 7→ ψ_F(trace(XY )), on calcule

mes($t_w(o)) = [t_w(o) : $t_w(o)]^−1/2 = q^−n/2.

D’o`u

mes(T_w(F )^c) = q^−n/2|T_w(Fq)|.

Ces termes compensent leurs inverses figurant dans la formule (10). Finalement

(11) Θ^M_π,cusp(φ) = ^X (n0,n00)∈D(n0) |W (m, n0, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)_ell,] res_m(κ_π)_γ n0,n00(w) sgn(w)mes(X_w)⁻¹ Z Tw(F )\M (F ) Z X_w ˆ φ_Lie(m⁻¹Y_wm) dY_wdm.

Soit maintenant f ∈ C_c^∞(G](F )). On suppose que le support de f est form´e d’´el´ements topologiquement unipotents. En 2.1, on a d´efini le terme

Θπ,m,cusp(f ) = Z

P (F )\G](F )

Θ^M_π,cusp((^gf )U) dg.

On d´efinit la fonction fLie, cf. 2.2. Posons φ = fU. On voit que

φ_Lie(X) = Z

u(F )

f_Lie(X + Y ) dY,

o`u dY est la mesure de Haar sur u(F ) telle que l’exponentielle de u(F ) sur U (F ) pr´eserve les mesures. D’o`u aussi

ˆ φ_Lie(X) = Z u(F ) ˆ f_Lie(X + Y ) dY. Ou encore ˆ φ_Lie(X) = D(X)^1/2 Z U (F ) ˆ

f_Lie(u⁻¹Xu) du,

o`u D est le discriminant de Weyl. On peut remplacer f pargf . En posant φ = (gf )_U, on obtient ˆ φ_Lie(X) = D(X)^1/2 Z U (F ) ˆ

f_Lie(g⁻¹u⁻¹Xug) du.

Les ´el´ements Y_w intervenant dans (11) v´erifient D(Y_w) = 1 car les valeurs propres des r´eductions X_w sont toutes distinctes. On en d´eduit ´egalit´e

Z P (F )\G](F ) Z Tw(F )\M (F ) ˆ φ_Lie(m⁻¹Y_wm) dm dg = Z Tw(F )\G](F ) ˆ f_Lie(g⁻¹Y_wg) dg. On obtient Θ_π,m,cusp(f ) = ^X (n0,n00)∈D(n0) |W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)ell,] res_m(κ_π)_γn0,n00(w)

sgn(w)mes(X_w)⁻¹ Z Tw(F )\G(F ) Z Xw ˆ f_Lie(g⁻¹Y_wg) dY_wdg.

Dans [14] page 53, on a introduit la distribution

ϕ 7→ Z

Tw(F )\G_](F )

ϕ(g⁻¹Y_wg) dg

sur C_c^∞(g_](F )) (elle y est not´ee φ_θ(X_T, ϕ)). On a montr´e en [14] corollaire III.5 que sa restriction `a un certain sous-espace H ⊂ C<sub>c</sub><sup>∞</sup>(g<sub>]</sub>(F )) ne d´ependait pas de l’´el´ement Y<sub>w</sub> ∈ X<sub>w</sub> (elle ne d´epend d’ailleurs pas non plus du choix de X<sub>w</sub> mais cela r´esulte d´ej`a de nos calculs ci-dessus). L’espace H est d´efini ainsi. Soit B un sous-groupe d’Iwahori de G_](F ). Il lui correspond un sous-o-r´eseau b de g_](F ). Notons C_c^∞(g_](F )/b) le sous-espace des fonctions invariantes par b. Alors H est la somme de ces espaces C_c^∞(g_](F )/b) quand b d´ecrit tous les sous-groupes d’Iwahori de G_]. On voit facilement que H est exactement le sous-espace des fonctions ϕ telles que ˆϕ soit `a support topologiquement nilpotent. En particulier, ˆf<sub>Lie</sub> appartient `a H. Donc l’int´egrale

Z

Tw(F )\G(F )

ˆ

f_Lie(g⁻¹Y_wg) dg

ne d´epend pas du point Y_w ∈ X_w. Int´egrer cette formule en Y_w revient `a la multiplier par mes(X_w) et ce facteur compense son inverse figurant dans la formule plus haut. On obtient simplement (12) Θ_π,m,cusp(f ) = ^X (n0,n00)∈D(n0) |W (m, n⁰, n⁰⁰)|^{−1 X} w∈W (m,n0,n00)ell,] res_m(κ_π)_γn0,n00(w) sgn(w) Z Tw(F )\G(F ) ˆ f_Lie(g⁻¹X_wg) dg.

Pour expliciter davantage la formule obtenue, introduisons l’´el´ement γ₀ = (0, 0, n) de Γ (cf. [15] 1.8) et la composante κπ,0 de κπ dans la composante R(γ₀) de R. Soit (α, β⁰, β⁰⁰) ∈ P₃(n). On a d´efini en [15] 1.8 la valeur κ_π,0(w_α,β0,β00). Associons `a notre triplet de partitions la partition m = α et les entiers n⁰ = S(β⁰), n⁰⁰ = S(β⁰⁰), n₀ = n⁰+ n⁰⁰. Soit w = (w1, ..., wt, w⁰, w⁰⁰) un ´el´ement de W (m, n⁰, n⁰⁰)ell tel que w⁰ et w⁰⁰ soient param´etr´es par les partitions (∅, β⁰), resp. (∅, β⁰⁰). Les d´efinitions entraˆınent que res_m(κ_π)_γ

n0,n00(w) = κ_π,0(w_α,β0,β00). Posons sgn(w_α,β0,β00) = sgn(w) et d´efinissons une distribution φ_α,β0,β00 sur C_c^∞(g_](F )) par

si ] = iso et l(β⁰⁰) est impair ou si ] = an et l(β⁰⁰) est pair, φ_α,β0,β00 = 0 ; si ] = iso et l(β⁰⁰) est pair ou si ] = an et l(β⁰⁰) est impair,

φ_α,β0,β00(ϕ) = Z

Tw(F )\G(F )

ϕ(g⁻¹X_wg) dg

pour tout ϕ ∈ C_c^∞(g_](F )).

La distinction entre les deux cas provient de ce que X_wn’existe que si w ∈ W (m, n⁰, n⁰⁰)_ell,], c’est-`a-dire si sgn(w<sup>00</sup>) vaut 1 si ] = iso, −1 si ] = an, ce qui se traduit par les conditions indiqu´ees. Cette d´efinition d´epend des choix de w dans sa classe de conjugaison et de l’´el´ement X<sub>w</sub>. Mais nous n’appliquerons cette distribution qu’`a des ´el´ements de l’espace H. Comme on l’a dit ci-dessus, cette restriction ne d´epend pas de ces choix. Dans la

formule (12), l’int´egrale devient φ_α,β0,β00( ˆf_Lie). Cette formule devient une somme index´ee par les triplets (α, β⁰, β⁰⁰) tels que α = m de termes ne d´ependant que de ces triplets. Chaque triplet (α, β⁰, β⁰⁰) intervient avec une certaine multiplicit´e. Celle-ci est le produit de |W (m, n⁰, n⁰⁰)|⁻¹ et du nombre d’´el´ements w = (w₁, ..., w_t, w⁰, w⁰⁰) ∈ W (m, n⁰, n⁰⁰)_ell tels que w⁰ et w⁰⁰ soient param´etr´es par (∅, β⁰), resp. (∅, β⁰⁰). Pour toute partition λ, posons z(λ) = ( ^Y j=1,...,l(λ) 2λj)^Y i≥1 multλ(i)!, et posons z(α, β⁰, β⁰⁰) = z(α)z(β⁰)z(β⁰⁰). On voit que la multiplicit´e pr´ec´edente est ´egale `a

2^l(α)mult!αz(α, β⁰, β⁰⁰)⁻¹. Alors (12) se r´ecrit Θ_π,m,cusp(f ) = ^X (α,β0,β00)∈P3(n);α=m 2^l(α)mult!_αz(α, β⁰, β⁰⁰)⁻¹ sgn(w_α,β0,β00)κ_π,0(w_α,β0,β00)φ_α,β0,β00( ˆf_Lie).

Le r´esultat de 2.1 est que Θ_π(f ) est la somme sur m des expressions ci-dessus, multipli´ees par 2^−l(m)mult!⁻¹_m. D’o`u

(13) Θ_π(f ) = ^X

(α,β0,β00)∈P3(n)

z(α, β⁰, β⁰⁰)⁻¹sgn(w_µ,β0,β00)κ_π,0(w_α,β0,β00)φ_α,β0,β00( ˆf_Lie).

Dans le document Représentations de réduction unipotente pour SO(2n+1), III: exemples de fronts d'onde (Page 32-40)