Calcul analytique des PTF de cavités acoustiques à parois rigides

ps k = jω^X n Skψnj ψnk M_n(ω2 n− ω2+ jη_nωω_n) ^(A.4) D’autre part, l’équation (A.3) nous permet d’obtenir les PTF Y_{M k}^s entre un patch excité k et un point d’écoute M de la structure qui s’écrivent alors :

Y_{M k}^s = ^v s(M ) ¯ ps k = jω^X n S_kψ_n(M )ψ_nk M_n(ω2 n− ω2+ jη_nωω_n) ^(A.5)

A.2 Calcul analytique des PTF de cavités acoustiques à parois

rigides

Le calcul analytique des PTF de cavités acoustiques à parois rigides passe par la résolution du système d’équation aux dérivées partielles donné par :

           ∆p(M⁰) + k²p(M⁰) = 0 ∀M⁰∈ Ω_f ∂p ∂nf (Q⁰) = −jρω¯v^c_k ∀Q0 ∈ S_k ∂p ∂n_f^(Q 0) = 0 ∀Q⁰ ∈ Γ_f \ S_k (A.6)

où k = ^ω_c est le nombre d’onde acoustique, Γ_f la surface du domaine fluide Ω_f et S_kla surface du patch excité k.

Dans l’équation (A.6), ¯v_k^c est tel que :

¯ v^c_k=

(

1 ∀Q0 ∈ S_k

0 ∀Q⁰ ∈ Γ_f \ S_k ^(A.7)

Pour résoudre l’équation (A.6), nous utilisons la formulation faible du problème (ou for-mulation intégrale). A cette fin, nous considérons dans un premier temps l’identité de Green appliquée au domaine Ω_f : Z Z Z Ωc (Ψ∆Φ − Φ∆Ψ) dΩ_f = Z Z Γf  Φ^∂Ψ ∂n ^{− Ψ} ∂Φ ∂n  dΓ_f. (A.8)

Cette équation est très générale et les fonctions Φ et Ψ sont arbitraires. Dans le cas qui nous intéresse ici, nous supposons tout d’abord que le fonction Φ est la pression acoustique p, qui doit satisfaire l’équation de Helmholtz homogène dans le domaine Ω_f :

∆p(M⁰) + k²p(M⁰) = 0 ∀M⁰ ∈ Ω_f (A.9) La fonction Ψ est, quant à elle, la fonction de Green G, satisfaisant l’équation de Helmholtz homogène dans le milieu continu Ω_f et les conditions de Neumann inhomogène pour un point source Q⁰ situé sur la surface du domaine Γ_f :

         ∆G(M, Q⁰) + k²G(M, Q⁰) = 0 ∀M ∈ Ω_c, Q⁰ ∈ Γ_f ∂G ∂n^{(Q, Q} 0) = −δ(Q − Q⁰) ∀Q ∈ S_k ∂G ∂n^{(Q, Q} 0 ) = 0 ∀Q ∈ Γ_f \ S_k (A.10)

La fonction de Green ainsi définie peut être utilisée lorsque les sources se trouvent sur la surface de la cavité acoustique [158, 159], ce qui est exactement le problème que nous cher-chons à résoudre pour le calcul des PTF de cavités acoustiques.

En introduisant les équations (A.9) et (A.10) dans l’équation (A.8), nous aboutissons à l’équation intégrale suivante :

p(Q⁰) = − Z Z

Sk

G(Q, Q⁰)^∂p

∂n^{(Q)dSk. (A.11)}

Si maintenant, nous utilisons l’équation d’Euler dans l’équation précédente, la pression acoustique p(Q⁰) au point Q⁰ est alors reliée à la vitesse normale ¯v_k^c définie pour chaque point Q ∈ S_k :

p(Q⁰) = jρω Z Z

S_k

G(Q, Q⁰)¯v_k^cdSk. (A.12) Il reste maintenant à calculer la fonction de Green G du problème associé définie par l’équation (A.10). Pour cela, nous utilisons une fois encore l’identité de Green (cf. équation (A.8)), en définissant à présent la fonction Φ comme étant les modes propres φ_n de la cavité parois rigides satisfaisant l’équation (A.13) et Ψ comme la fonction de Green G du problème associé (cf. équation (A.10)).

   ∆φn(M⁰) + k_n²φn(M⁰) = 0 ∀M⁰ ∈ Ω_c ∂φ_n ∂n ^{(Q) = 0 ∀Q ∈ Γf} (A.13)

En procédant ainsi, nous obtenons l’équation intégrale suivante :

φn(Q) = − Z Z Z

Ωf

(k_n²− k²)φn(M⁰)G(M⁰, Q)dΩf. (A.14) La fonction de Green G est ensuite développée sur la base des modes de cavité parois rigides φ_n :

G(M⁰, Q) =^X

n

Cette décomposition est alors injectée dans l’équation (A.14). De cette manière, nous en déduisons l’expression des amplitudes modales de la fonction de Green g_n(Q) :

g_n(Q) = − ^c

2φ_n(Q) Λ_n(ω2

n− ω2)^{, (A.16)}

où la norme du mode Λ_nest telle queRRR

Ωcφ_n(M )φ_q(M )dΩ_c= Λ_nδ_nq. La fonction de Green s’écrit finalement :

G(M⁰, Q) = −^X

n

c2φ_n(M⁰)φ_n(Q) Λn(ω2

n− ω2) ^{. (A.17)}

Comme dans la sectionA.1de cette annexe, la fonction de Green diverge au fréquences de résonances de la cavité. Nous introduisons donc ici encore un amortissement modal de type visqueux, caractérisé par le facteur d’amortissement modal η_n. Le terme ω²_n− ω2 est ainsi remplacé par le terme ω²_n− ω2+ jηnωωn.

La pression en un point Q⁰ ∈ Γ_f, lorsque la cavité acoustique est excitée par une vitesse normale imposée sur le patch k, est alors donnée par l’expression :

p(Q⁰) = −jρωc^2X

n

v^c_kS_kφ_nkφ_n(Q⁰) Λn(ω2

n− ω2+ jηnωωn) ^(A.18) La PTF d’une cavité acoustique Z_jk^c , entre un patch excité k et un patch récepteur j, est alors obtenue en moyennant spatialement la pression acoustique p(Q⁰) sur tous les points Q⁰ inclus dans le patch j. Ce faisant, nous obtenons :

Z_jk^c = −jρωc^2X

n

S_kφ_nkφ_nj Λn(ω2

n− ω2+ jηnωωn) ^(A.19) Le calcul des PTF Z_{M k}^c , entre un patch excité k et un point d’écoute M localisé à l’intérieur de la cavité, est légèrement différent du calcul précédent, puisque la fonction de Green du problème associé doit prendre en compte la localisation du point d’écoute à l’intérieur de la cavité acoustique. Pour cela, nous utilisons la formulation standard du problème associé :

   ∆G(M⁰, M ) + k²G(M⁰, M ) = −δ(M⁰− M ) ∀(M0, M ) ∈ Ω_c ∂G ∂n^{(Q, Q} 0) = 0 ∀(Q, Q0) ∈ Γ_f ^(A.20)

En utilisant maintenant l’équation (A.8), pour laquelle la fonction Φ est définie comme étant les modes propres φ_nde la cavité parois rigides satisfaisant l’équation (A.13) et Ψ comme la fonction de Green G du problème associé (cf. équation (A.20)), ainsi que la propriété des modes propres de cavité, nous obtenons l’expression de la fonction de Green suivante :

G(M⁰, M ) = −^X

n

c²φ_n(M⁰)φ_n(M ) Λ_n(ω2

n− ω2) ^{. (A.21)}

Comme précédemment, pour éviter les singularités de la fonctions de Green aux fréquences de résonances de la cavité acoustique, nous introduisons un amortissement modal de type vis-queux, caractérisé par le facteur d’amortissement modal η_n. Le terme ω²_n−ω2est ainsi remplacé

par le terme ω²_n− ω2+ jη_nωω_n.

La pression en un point M ∈ Ω_c, lorsque la cavité acoustique est excitée par une vitesse normale imposée sur le patch k, est alors donné par l’expression :

p(M ) = −jρωc^2X n ¯ v_k^cSkφnkφn(M ) Λ_n(ω2 n− ω2+ jη_nωω_n) ^(A.22) La PTF d’une cavité acoustique Z_{M k}^c entre un patch excité k et un point d’écoute M de la cavité acoustique s’écrit alors :

Z_{M k}^c = −jρωc^2X

n

S_kφn_kφn(M ) Λ_n(ω2

B

Formules semi-analytiques des PTF des

sous-systèmes de type structure-cavité

Cette annexe introduit les différentes formules semi-analytiques permettant de calculer les PTF des sous-systèmes de type structure-cavité à partir de leur base modale enrichie ou non. Les formules présentées ici sont semi-analytiques, au sens où la base modale du sous-système couplé est obtenue par résolution du problème aux valeurs propres dérivé de la formulation éléments finis associée. Nous rappelons dans un premier temps la formulation du problème aux valeurs propres permettant le calcul des modes couplés par des solveurs standards. Dans un second temps, la base modale est utilisée pour le calcul des PTF, dont les formules sont données sous forme analytique.

B.1 Formulation du problème aux valeurs propres associé

Classiquement, le problème éléments finis associé au sous-système structure-cavité est ex-primé par les variables (U_s, P ), qui correspondent respectivement au déplacement de la struc-ture et à la pression acoustique à l’intérieur de la cavité. Comme nous l’avons vu au chapitre3, le problème aux valeurs propres défini à partir de ces variables est non-symétrique et ne peut donc pas être résolu tel quel par les solveurs standards (Lanczcos, . . .).

K_ss −A_sf 0 Kf f  − ω²M_ss 0 A^T_sf M_{f f}  U_s P  =0 0  (B.1)

Pour pouvoir utiliser ces solveurs aux valeurs propres, il est donc nécessaire de symétriser la forme (B.1). De nombreux auteurs ont ainsi proposé des procédures de symétrisation. Cer-taines d’entre elles introduisent des variables complémentaires dans la formulation éléments finis, d’autres consistent à réécrire le problème afin de conserver les variables standards.

Le procédure de symétrisation, que nous avons adoptée et détaillée au chapitre3, s’appuie sur l’inversion de la matrice de masse de la structure. Nous en rappelons ici le résultat :

 KT ssM_ss⁻¹K_ss −KT ssM_ss⁻¹A_sf −AT sfM_ss⁻¹K_ss K_{f f}+ AT sfM_ss⁻¹A_sf  − ω²KT ss 0 0 M_{f f}  Us P  =0 0