Calcul électromagnétique

Les ondes radios ayant des fréquences élevées tendent à se comporter de la même manière que la lumière. De ce fait, lorsque ces ondes rencontrent des obstacles de grandes dimensions par rapport à la longueur d’onde, les principes de l’optique géométrique peuvent être appliqués. Les rayons directs, réfléchis et transmis sont modélisés par à l’OG. De plus, plusieurs modèles de diffraction sont utilisés en complément à l’optique géométrique comme la théorie géométrique de la diffraction (TGD) et la théorie uniforme de la diffraction (TUD). Ceci permet d'inclure l'effet des coins et arêtes sur les rayons.

2.6.2.1. L’optique géométrique

 Equations de Maxwell

La propagation des ondes électromagnétiques dans un milieu de permittivité et de perméabilité est régie par les équations de Maxwell. Ces équations établissent les relations entre les variations en temps et en espace des vecteurs champs électrique ⃗ et magnétique ⃗⃗ . Dans un milieu homogène, isotrope et sans charges, les quatre équations sont données en régime fréquentiel par :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

(23)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

(24)

⃗ (25)

⃗⃗ (26)

Tracé de rayons

Obstacle 1

Obstacle 3

Obstacle 2

émetteur

récepteur

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représentant le vecteur coordonné du point d’observation et la pulsation de l’onde.

L’équation de Helmholtz en termes de ⃗ ou de ⃗⃗ peut être obtenue en manipulant les équations (23) et (24) et en introduisant (25) ou (26). Cette équation vectorielle représente la propagation des ondes et est définie par l’équation (27).

⃗⃗ ⃗⃗ (27)

⃗⃗ représente le champ électrique ⃗ ou magnétique ⃗⃗ , où est la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu considéré, est l’opérateur nabla.

L’optique géométrique est une solution de l’équation de Helmholtz. Elle permet d’écrire le champ électromagnétique ⃗⃗ sous la forme d'une série de puissance entière appelée série asymptotique de Lunenberg-Kline [48][49] :

⃗⃗ ∑⃗⃗⃗⃗

(28) où est la phase du point d’observation. Il a été démontré que pour les hautes fréquences, une approximation peut être faite et seul le premier terme d’ordre 0 de la série sera considéré. La solution est donnée sous la forme simplifiée suivante :

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ (29) Les lois de l'OG permettent de calculer le champ en tout point d'un rayon. Ces lois concernent la continuité de la phase et de l'amplitude le long du rayon et la conservation de la polarisation. Elle permet de modéliser les phénomènes de réflexion et de réfraction.

Pour ce faire, les champs électromagnétiques seront exprimés dans une base orthonormée directe ⃗ où est le vecteur unitaire parallèle au plan d’incidence et le vecteur perpendiculaire à . Dans cette base, le champ ⃗ (on ne considérera que ce champ, ⃗⃗ lui étant toujours perpendiculaire et proportionnel par le facteur ) se décompose en deux composantes ⃗ et ⃗ comme le montre Figure 17. Les champs électrique est donc la somme linéaire des deux composantes parallèle et perpendiculaire :

⃗ (30)

48

FIGURE 17:ILLUSTRATION DE LA BASE ORTHONORMÉE ⃗

 Champs réfléchi et transmis

La Figure 18 illustre les phénomènes de la réflexion et de transmission. Dans le cas de la réflexion, l’onde incidente se réfléchit selon les lois de Descartes. Les plans d’incidence et de réflexion, qui sont formés respectivement par les directions des rayons incidents ⃗ et réfléchis ⃗ avec la normale ⃗ au point Q. De plus, les angles d’incidence et de réflexion sont égaux.

Le champ réfléchi s’exprime sous la forme matricielle (31), en fonction de du champ incident au point de réflexion Q.

[

] [ ] [

] (31)

Les coefficients de réflexion et sont exprimés par :

{

√ √ √

√

(32)

Comme pour la réflexion, la relation entre l’angle d’incidence et l’angle de transmission s’obtient à partir de la loi de Snell-Descartes.

49

FIGURE 18 :DEFINITION DES LOIS DE REFLEXION ET DE TRANSMISSION

De la même manière, on peut calculer les composantes parallèle et perpendiculaire du rayon transmis et les coefficients de transmission seront exprimés par :

{

√ √ √

√

(33)

Dans cette section, les coefficients de réflexion et de transmission ont été exprimés en fonction de la permittivité du matériau où l’interaction en question a eu lieu. C’est pourquoi, la connaissance des propriétés diélectriques des matériaux existants dans l’environnement de propagation est nécessaire. Ces propriétés peuvent être trouvées dans la littérature. L’ITU [50] a proposé une modélisation de la permittivité et de la conductivité en tenant compte de la fréquence.

2.6.2.2. La théorie géométrique de la diffraction

Les fondements de la théorie géométrique de la diffraction (TGD), ont été exposés par Keller [29] en 1962. Cette théorie constitue une prolongation de l'optique géométrique, car elle permet de modéliser le phénomène de diffraction. Les rayons seront diffractés suivant le cône de Keller. La Figure 19 présente un exemple de cône de Keller. Cette théorie décrivant le comportement d’un rayon diffracté a été élaborée à partir de trois postulats :

Q

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 Premier postulat : Le rayon diffracté satisfait le principe de Fermat généralisé

Keller a démontré que les rayons diffractés obéissent au principe de Fermat généralisé, ces rayons se comportent alors de la même manière qu'en optique géométrique. La position du point de diffraction et la direction du rayon diffracté peuvent se déduire du type de corps diffractant "dit canonique". Pour un dièdre, les rayons diffractés engendrent un cône ayant pour axe la tangente de la ligne de discontinuité de l'arête. Pour une pointe de cône, les rayons diffractés engendrent une sphère ayant pour centre la pointe du corps diffractant. Enfin dans le cas d’une surface régulière, les rayons diffractés rampent le long de la surface et s'en détachent tangentiellement en donnant un point caustique du faisceau de rayons diffractés.

FIGURE 19 :ILLUSTRATION DE LA DIFFRACTION SUIVANT LE CONE DE KELLER

 Deuxième postulat : Les rayons diffractés satisfont les lois de l’OG loin de la surface

Loin de la surface, le rayon diffracté satisfait les lois de l’optique géométrique. Ce faisceau de rayons diffractés satisfait les lois de l'optique géométrique en quittant le voisinage du point d'impact Q de l'obstacle. De la même manière que pour l'onde réfléchie et transmise, les propriétés de continuité de la phase, de l'amplitude et les propriétés de la polarisation le long d'un rayon permettent de déduire l’équation du champ électrique diffracté en un point d’observation P :

√

(34)

o est la distance séparant le point de diffraction Q et le point d’observation P.

o D est le coefficient de diffraction relatif à l’obstacle canonique considéré.

o est une distance particulière liée au rayon de courbure [29].

Q

51 o √ est un facteur de divergence.

Pour un dièdre parfaitement conducteur à faces planes, Keller a donné une expression asymptotique du coefficient de diffraction en polarisations parallèle et perpendiculaire dans les trois régions de l’espace comme le montre la Figure 20. Ceci est valable que si le point d’observation est assez loin des frontières de réflexion et d’ombre.

 Troisième postulat : En hautes fréquences, la diffraction est un phénomène local

En haute fréquence, la dimension de l'objet tend à être beaucoup plus grande que la longueur d'onde. Cela signifie que la diffraction ne dépend que de la nature de la surface et du champ incident au voisinage du point de diffraction. En ce voisinage, l'obstacle peut donc être modélisé par une forme canonique dont la solution exacte est connue. Ces formes canoniques ont été explicitées dans le premier postulat.

FIGURE 20 :LES 3 REGIONS DE L’ESPACE DEFINIES PAR LA THEORIE GEOMETRIQUE DE DIFFRACTION

2.6.2.3. La théorie uniforme de diffraction

La théorie uniforme de diffraction permet d’éliminer le problème de divergence de la théorie géométrique de diffraction. Elle permet aussi d’assurer la continuité du champ total au niveau des frontières optiques d’ombre-lumière.

Cela revient, d'un point de vue pratique, à multiplier les coefficients de Keller par une fonction de transition qui vaut 1 loin des frontières et tend vers 0, ainsi que l'ajout de nouveaux termes de diffraction de manière à compenser la divergence du coefficient de Keller lorsqu'on s'approche de celles-ci.