Calage du modère initial di

Conforme já comentado no capítulo 3, no início da aula inédita a professora apresentou três problemas resolvendo-os no quadro com ajuda do projetor multimídia. O conteúdo sobre números complexos já havia sido explanado em aulas anteriores. O objetivo da aula inédita era de observar as representações geométricas das operações entre números complexos.

Após a explicação da professora sobre as representações geométricas através dos exemplos no inicio da aula, a turma dividiu-se em grupos e foram entregues as atividades em material impresso. A professora registrou com fotos os momentos durante as atividades, algumas imagens estão na figura 30. A orientação dada pela professora foi de que os grupos deviam discutir as questões e procurar solucioná-las em conjunto, porém um dos grupos dividiu as atividades entre seus integrantes para cada um fazer uma parte do trabalho. No momento em que a professora identificou esse procedimento por parte deste grupo, orientou a turma, falando que este não era um procedimento coerente e que a ideia de fazer grupos era para haver a discussão sobre a matemática dos números complexos entre os integrantes. Neste momento, decidiu-se que todos os integrantes do grupo deveriam entregar o trabalho individualmente, mas a discussão em grupo permaneceria com o intuito da troca de ideias e formas de soluções.

Fonte: Autora

Atividade 01

De modo geral, não houve problemas na resolução da primeira atividade, pois esta consistia apenas em representar no plano os complexos dados e em seguida fazer a representação do complexo de módulo | | e argumento pelos complexos e ambos de módulo unitário e argumentos e respectivamente.

Vale lembrar que apesar de os alunos terem a possibilidade da discussão em grupo, o trabalho deveria ser entregue individualmente. Observou-se que um aluno primeiro escreveu o número complexo na forma algébrica, para então representá-lo no plano, e isso gerou erro na sua representação conforme figura 31-a. Os demais alunos não tiveram dificuldades. A figura 31-b, 31-c, 31-d e 31-e apresenta algumas resoluções da atividade 1.

Figura 31 – Atividade 1 a) Atividade 1 – a

c) Atividade 1 – b

d) Atividade 1 – c

e) Atividade 1 – d

f) Atividade 1 – e

Fonte: Autora

Observou-se que, em geral, nesta atividade os alunos conseguiram concluir que ao multiplicar um número complexo por outro complexo de módulo unitário e argumento , o complexo será rotacionado de um ângulo . Isto deu o embasamento necessário para os alunos realizarem a atividade 2, onde o complexo é genérico, isto é, não é dado o módulo e o argumento numericamente, mas geometricamente.

Atividade 2

Conforme mencionado anteriormente, a partir da atividade 1, os alunos conseguiram perceber as rotações que acontecem com um complexo quando este é multiplicado por um complexo unitário. Mesmo assim, aconteceu um erro quanto ao entendimento da questão. Na atividade 2 – a, onde era pedido o produto , um aluno representou no plano o número complexo e não representou o produto, no item b, erroneamente escreveu que , e no item c, representou o complexo , conforme mostra a figura 32.

Figura 32 – Atividade 2 – itens a, b e c.

Fonte: Autora

Mas o mais surpreendente nesta atividade foi a falta de conhecimento, por parte dos alunos, no manuseio do transferidor. A professora registrou um aluno manuseando o transferidor para somar o ângulo de ao argumento de , conforme figura 33.

Figura 33 – Aluno utilizando o transferidor para encontrar o argumento de .

Fonte: Autora

A professora ensinou a maneira correta de posicionar o transferidor para se obter o argumento de , isto é, o complexo cujo argumento é . O centro do transferidor deve ficar na origem do plano complexo e a linha base deve ficar na direção de , então deve-se marcar o ângulo de , figura 34.

Figura 34 – Posicionamento correto do transferidor na atividade 2.

Fonte: Autora

Após solucionadas as dificuldades quanto ao manuseio do transferidor, os alunos conseguiram concluir a atividade 2, conforme alguns exemplos apresentados na figura 35.

Figura 35 – Atividade 2 realizada por alguns alunos.

Fonte: Autora

Ao analisar as respostas do item d da atividade 2, verificou-se que os alunos entenderam a ferramenta da multiplicação entre números complexos como uma rotação no plano, conforme ilustrado em algumas respostas na figura 36.

Figura 36 – Alguns resultados da atividade 2 item d.

Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5 Aluno 6 Aluno 7 Fonte: Autora

Com base no resultado da atividade 2, estima-se que os alunos compreenderam a consequência do produto entre números complexos na representação geométrica.

Atividade 3

No primeiro item da atividade 3, foi pedido a representação geométrica das potências de um número complexo unitário. Os alunos resolveram bem o problema, apesar de alguns ainda insistirem em encontrar a forma algébrica para então fazer a

representação no plano, isto é, usando coordenadas cartesianas em vez de usar as coordenadas polares.

Quanto ao item b e item c, onde foi solicitada a sequência de módulos e de argumentos das potências de , os alunos não falavam sobre as propriedades da sequência, porém não percebiam que estas seriam as propriedades. Foi necessário a professora argumentar com os alunos, perguntando o que acontecia com os valores da sequência, se havia alguma repetição ou alguma lei de recorrência.

Muitas vezes, alunos no Ensino Médio resolvem de maneira errada as potências de , fazendo . Não obstante, ocorreu um fato como este, o que levou ao erro da representação geométrica e da sequência de módulos das potências de na atividade 3, conforme figura 37.

Figura 37 – Exemplo de erro no desenvolvimento das potências de .

Fonte: Autora

Outra ocorrência, como já mencionado em itens anteriores, ao uso das coordenadas cartesianas, mesmo sendo apresentadas as coordenadas polares, conforme figura 38.

Figura 38 – Representação das potências de usando coordenadas cartesianas.

Fonte: Autora

Os itens b, c, d, e e, foram bem resolvidos, sendo que no item d, os alunos perceberam que as potências de começariam a se repetir a partir de . Houve comentários nos grupos sobre a formação de um polígono com 12 lados e vértices nas potências de . Na figura 39 está uma amostra do trabalho dos alunos quanto a atividade 3.

Figura 39

Atividade 4 e 5

Nas atividades 4 e 5 os alunos já estavam familiarizando-se melhor com a ideia de escrever matematicamente, entendendo que para completar o trabalho eles deveriam saber se expressar com palavras ou expressões algébricas para explicar a matemática envolvida nas atividades.

As atividades 4 e 5 estão em um mesmo subitem deste trabalho, por se tratar de potências de um número complexo , sendo que na atividade 4, | | e na atividade 5, | | . Todos os alunos, sem exceção fizeram as atividades corretamente e analisaram as espirais formadas em torno da origem do sistema de coordenadas (Figura 40). Alguns se expressaram mais claramente para informar as conclusões a respeito da atividade, outros tiveram mais dificuldade, mas o objetivo foi satisfeito visto que todos entenderam as rotações em torno da origem e a contração ou dilatação do módulo do complexo e suas potências.

Figura 40 – Atividades 4 e 5 de alguns alunos

Aluno 1

Aluno 3

Aluno 4

Aluno 5

Fonte: Autora

Atividades 6, 7, 8 e 9

As atividades de 6 a 9 tratam de raízes de números complexos e os polígonos regulares formados com vértices nestas raízes. Um dos objetivos destas atividades era de resgatar o conhecimento adquirido quando da realização das atividades 1 e 2, que tratavam de rotações de um ângulo no plano, a partir do produto de um complexo por um complexo unitário de argumento igual a . Além deste, outro objetivo alcançado foi o de resgatar as maneiras de encontrar a área de polígonos regulares. Os alunos ficaram livres para usar a estratégia que quisessem para encontrar a área dos polígonos regulares com três, quatro, seis e oito lados, e o resultado foi muito interessante, pois eles encontraram as áreas pedidas de maneiras diferentes, usando o conhecimento matemático adquirido no Ensino Fundamental e no primeiro ano do Ensino Médio.

A figura 41 ilustra a estratégia de um aluno que usou a lei dos cossenos para encontrar o lado do triângulo equilátero formado pelas raízes cúbicas de um número complexo.

Figura 41

Fonte: Autora

Continuando a análise quanto aos tipos de soluções feitas para encontrar a área do polígono regular, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de triângulos equiláteros e fizeram uso do Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do lado, conforme figura 42 e 43.

Figura 42 – Encontro da base através do Teorema de Pitágoras.

Fonte: Autora

Figura 43 – Triângulo retângulo em que foi aplicado o Teorema de Pitágoras.

Fonte: Autora

Ainda, alguns alunos utilizaram a fórmula para encontrar a área de qualquer triângulo cujas base e altura são conhecidas. Para isso, encontram a medida da base do triângulo por meio da forma algébrica do número complexo , pois pela simetria do

triângulo equilátero encontrado, o dobro da parte imaginária de é igual ao lado, ou uma das bases, do triângulo equilátero, conforme figura 44.

Figura 44 – Estratégia para o cálculo da área do triângulo equilátero.

Fonte: Autora

Para encontrar a área do quadrado, do hexágono e do octógono, os alunos seguiram os mesmos raciocínios utilizados na solução da atividade 6.

Atividade 10

Em geral os alunos precisaram da ajuda da professora para a realização da atividade 10, pois tiveram dificuldade na generalização da fórmula. Eles resolviam as áreas separadamente, substituindo valores para o seno do ângulo encontrado. Após explicação dada pela professora, concluíram a tarefa e muitos voltaram nas atividades anteriores para verificarem a validade da fórmula e também confirmarem as áreas encontradas. Este procedimento foi interessante, porém alguns alunos apagaram a estratégia criada nas atividades de 6 a 9 e resolveram novamente as atividades encontrando as áreas a partir da fórmula encontrada na atividade 10, a figura 45 ilustra este fato.

Figura 45

Ao final das duas horas de atividades, apenas um grupo não concluiu o trabalho. Este grupo permaneceu na sala de aula, junto com a professora, e concluiu o trabalho durante os vinte minutos de intervalo.