CHAPITRE 3 : EVALUATION DES INDICATEURS D’AIDE A LA DECISION
3.3 Cadre pour le traitement des incertitudes
3.3.1
Choix d’un cadre mathématique pour le
traitement des incertitudes des pronostics
locaux
L’imperfection de l’information peut prendre quatre formes lorsqu’elle provient d’une source unique comme c’est le cas avec les pronostics locaux de composants. Des définitions de l’imperfection de l’information sont données dans [Motro et Smets, 1997] :
l’incertitude est relative à la vérité d’une information et caractérise son degré de conformité à la réalité. Elle fait référence à la nature de l’objet ou du fait concerné, à sa qualité, à son essence ou à son occurrence,
l’imprécision concerne le contenu de l’information et indique donc son défaut quantitatif de connaissance,
l’incomplétude caractérise l’absence d’information apportée par la source sur certains aspects du problème,
Chapitre 3 : Evaluation des Indicateurs d’Aide à la Décision 56
l’ambiguïté exprime la capacité d’une information à permettre des interprétations différentes.
L’approche subjective de représentation de ces imperfections a été retenue. Elle considère la probabilité comme la mesure personnelle de la croyance en l’occurrence de l’événement [Dubois, 2003]. En effet, la probabilité y est interprétée comme la traduction numérique d’un état de connaissance (la connaissance d’un expert par exemple). Trois cadres de développement théorique répondent à cette approche.
La théorie des probabilités, associée à la théorie bayésienne de la décision pour la décision dans l’incertain. Si la théorie des probabilités permet de bien représenter l’incertitude, elle ne peut représenter que difficilement l’imprécision de l’information. Elle est donc peu adaptée à la représentation de l’incertitude épistémique que peut comporter les pronostics locaux.
La théorie des sous-ensembles flous fournit un cadre permettant de représenter explicitement des informations imprécises, au moyen de fonctions d’appartenance [Zadeh, 1965]. La théorie des possibilités [Dubois et Prade, 1988], dérivée de la théorie des sous-ensembles flous permet de représenter l’incertitude et l’imprécision au moyen de fonctions de possibilité et de nécessité. Ces théories offrent une grande variété d’opérateurs prenant en compte des mesures de conflit ou encore de fiabilité des sources. Cependant, les capacités d’expression présentent quelques limites comme l’impossibilité de représenter l’incertitude probabiliste que peut comporter les pronostics locaux.
La théorie des fonctions de croyance, « theory of evidence » en anglais, est basée sur l’affectation de mesures subjectives non-additives des chances de réalisation d’un évènement voire d’un groupe d’évènements. Elle permet d’exprimer un avis personnel basé sur la croyance (état de connaissance) de l’individu. Elle est aussi particulièrement adaptée à l’acquisition d’information, aux analyses et autres connaissances fournies par un expert. Elle offre en effet une représentation des connaissances partielles, de l’ignorance totale jusqu’à la connaissance parfaite. Proposée par Dempster puis Shafer lui vaut d’être aussi connue sous le nom de Théorie de Dempster Shafer (TDS). Le modèle de Shafer est basé sur l’acceptation d’une mesure de probabilité sur un espace sous-jacent (ensemble des hypothèses possibles) [Shafer, 1976]. Selon Denœux et Ben Yaghlane « la TDS est maintenant largement acceptée comme un cadre riche et flexible pour représenter et raisonner avec une information imparfaite » [Denœux et Ben Yaghlane, 2002]. En effet, elle combine des approches logiques et probabilistes de l'incertitude. Elle englobe les cadres d'appartenance, de la théorie des sous-ensembles flous, et les probabilités comme des cas particuliers. Elle permet également de représenter la faiblesse des connaissances et l'ignorance
[Ramasso et Denœux, 2014]. Ceci est particulièrement intéressant pour réaliser des traitements à partir de pronostics locaux. Ainsi, la TDS offre un cadre approprié à la problématique traitée dans ce manuscrit visant à l’évaluation de l’aptitude d’un STMC à accomplir de futures tâches de production à partir des pronostics locaux des composants.
3.3.2
Eléments de la théorie de Dempster Shafer
La Théorie de Dempster Shafer (TDS), est un cadre mathématique pour la représentation de l'incertitude épistémique [Certa, 2017]. Elle permet de traiter l'incertitude aléatoire (probabiliste) et l'incertitude épistémique qui est généralement due à un manque de connaissance du système ou du processus [Shafer, 1976 ; Helton, 2006 ; Certa, 2017].
Considérons une variable incertaine Ω comme un ensemble contenant un nombre fini d'états distincts appelé cadre de discernement Ω = {� , � ,… , � } où � désigne un état particulier dans
lequel Ω peut être. Considérons également l'ensemble des parties de Ω noté Ω l'ensemble de tous les
sous-ensembles pouvant être générés à partir de Ω tels que Ω =
{∅, {� }, {� }, … , {� }, {� , � }, {� , � }, … , Ω} où ∅ représente l’ensemble vide. La notation Ω est
intéressante car elle permet de définir le cardinal de Ω par rapport au cardinal de Ω. La TDS définit
trois grandeurs qui sont :
Les masses de croyance qui consiste en l'assignation de croyances ou, si un cadre probabiliste est retenu, l’assignation de probabilités ( – basic belief assignment), la croyance ( - Belief),
la plausibilité ( ).
Une est la quantité de connaissance ou de croyance associée, accordée ou attribuée à chaque sous-ensemble � Ω, qui est notée � [Shah, 2015 ; Certa, 2017]. La mesure la « part » de
croyance (ou de probabilité) attribuée par la source qui la produit que « � � » et à aucune hypothèse plus restrictive. Chaque élément � Ω ayant une � > est appelé élément focal de Ω. Une
structure de croyance correspond à la distribution des sur Ω pour une source donnée. Cette
structure de croyance répond aux contraintes suivantes : � : Ω → [ , ],
∅ = ,
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∅ = signifie qu’il n’y a aucune possibilité pour la variable incertaine Ω d’être dans un autre état que ceux figurant dans son cadre de discernement. Si ∑� Ω,|� |= � = , la structure de croyance est dite dogmatique et correspond à une distribution probabiliste. Si � ≠ et |� | > , alors cela indique une incertitude épistémique, c’est-à-dire la part d’ignorance totale concernant le fait que la variable incertaine Ω est dans l’un des états � � .
La croyance est la somme de toutes les des sous-ensembles � de l’ensemble d’intérêt � . Donc :
� = ∑� ⊆� � (R1)
La plausibilité est la somme des bba de tous les ensembles � qui ont une intersection non vide avec l’ensemble d’intérêt � . Donc :
� = ∑� ∩� ≠Ø � (R2)
En notant �̅ le complement à � , la plausibilité et la croyance sont en relation par : �
� = − �̅ � (R3)
� est la croyance certaine de l’hypothèse � . C’est-à-dire qu’il s’agit de la certitude que l’hypothèse � est vraie. � est le support possible de croyance que l’hypothèse � est vraie. C’est- à-dire qu’il s’agit de la croyance totale qui peut être potentiellement accordée à l’hypothèse � est vraie. La différence � − � est l’ignorance relative au fait que l’hypothèse � est vraie. � et � peuvent être considérées, dans un cadre probabiliste, comme respectivement la limite inférieure et la limite supérieure de la probabilité exacte que l’hypothèse � soit vraie [Certa, 2017].
La TDS est particulièrement bien adaptée pour la fusion de données provenant de différentes sources observant la même situation ou des opinions d'experts comme dans [Certa, 2017]. Des propositions visant à combiner ou à agréger ces données ont été présentées par différents contributeurs, parmi eux citons : Dempster, Smets, Dubois et Prade [Smets, 1993].
Toutefois, dans le cas de l'évaluation de l'état de santé futur de STMC, les sources sont les pronostics locaux. Ils sont mis en œuvre, dans le meilleur des cas, pour prédire l'apparition d'un mode de défaillance d'un composant et plus souvent pour prédire la défaillance d'un composant lorsqu'ils sont mis en œuvre. Sinon, les résultats des études de fiabilité visant à déterminer le temps moyen de défaillance (MTTF) ou le temps moyen entre défaillances (MTBF) des composants devraient être utilisés [Desforges, 2017]. Par conséquent, les pronostics locaux observent différentes situations et chaque pronostic local est considéré comme l'unique source d'observation d'une situation particulière.
Par conséquent, leurs combinaisons doivent être faites différemment des méthodes présentées dans [Smets, 1993].
Le théorème de Bayes généralisé, développé dans [Smets, 1993], généralise le modèle de croyance transférable qui est un développement de la TDS [Smets et Kennes, 1994]. Elle permet de traiter l'incertitude épistémique par des réseaux de croyances présentées en reliant les hypothèses caractérisées par des qui peuvent être alors assimilées à des probabilités conditionnelles [Villeneuve, 2017].
Cette capacité a été mise en œuvre dans [Simon, 2007 ; Simon, 2008] où une approche intéressante est proposée. Cette approche met en œuvre la TDS pour laquelle les des hypothèses sont traitées comme des probabilités conditionnelles à l’aide d'inférences et de réseaux bayésiens pour l'analyse de fiabilité des systèmes complexes. Cette approche est appliquée aux arbres de défaillances et aux diagrammes de fiabilité pour lesquels trois types de structures sont identifiées : les structures série ou portes "ET", les structures parallèles ou portes "OU" et les portes " / " qui sont aussi des structures parallèles dont la défaillance a lieu si moins de entités sur entités sont opérationnelles.
C’est cette approche que nous avons retenue et développée. Les développements que nous y apportons portent sur :
la prise en compte des pronostics locaux pour les composants qui peuvent être surveillés par plusieurs pronostics locaux,
la prise en compte dans les inférences d’un nombre d’états plus important que « Up » et « Down » proposés dans [Simon, 2007 ; Simon, 2008] puisque les états pris en compte sont ceux que nous avons définis pour chaque « pattern » présenté dans le chapitre 2.
Un traitement permettant d’identifier, pour chaque entité, le composant à maintenir pour améliorer au mieux son aptitude à accomplir de futures tâches de production.
Les informations des pronostics locaux doivent être traitées à l’aide de la TDS.