Dans cette section, on d´efinit formellement le sentier de diffusion dans un cadre ´evolutif, puis on pr´esente les diff´erentes formes fonctionnelles pour la courbe de diffu-
4Ce chapitre est bas´e sur un document de travail soumis pour publication en octobre 2008 (“ Diffusion of Irrigation Technologies : The Role of Mimicking Behaviour and Public Incentives ”, avec M-E. Binet, 19 p).
sion technologique.
2.2.1
Le sentier de diffusion
L’´evolution non-lin´eaire des instruments ´economiques peut avoir un impact `a la fois sur la vitesse et le plafond de diffusion (Kemp, 1997). On d´efinit Ntcomme le nombre
d’irrigants pouvant potentiellement adopter la technologie d’irrigation `a l’instant t, βt
comme la vraisemblance d’adoption de la technologie d’irrigation `a l’instant t et St
comme le taux de subvention `a l’´equipement `a l’instant t. On suppose que le nombre d’adoptions `a l’instant t est une fonction des variables nt, βt et Nt. Formellement, une
courbe de diffusion avec des modalit´es (vitesse et plafond) de diffusion endog`enes est d´efinie comme la solution d’une ´equation diff´erentielle de la forme :
˙nt= f (nt, βt, Nt) (2.2)
En supposant qu’`a la fois βt et Nt sont une fonction de la variable St, la courbe
de diffusion f () est formellement d´efinie par les param`etres β, N, η and γ, par l’in- term´ediaire des fonctions βt et Nt ´ecrites de la fa¸con suivante :
βt= u (St, β, η) Nt = v (St, N, γ) (2.3)
Les param`etres η et γ caract´erisent l’impact de la subvention publique sur, respecti- vement, la vitesse et le plafond de diffusion. On suppose qu’une augmentation du taux de subvention `a l’´equipement aura pour cons´equence d’accroˆıtre la vitesse d’adoption
de la nouvelle technologie d’irrigation par les irrigants : du/dSt = η > 0. On sup-
pose aussi qu’une hausse du taux de subvention augmentera le nombre d’irrigants ayant adopt´e la nouvelle technologie d’irrigation `a la fin du processus de diffusion :
dv/dSt = γ > 0. L’effet th´eorique d’une hausse du taux de subvention `a l’´equipement
sur le sentier de diffusion est illustr´e par la figure (2.1).
0 1 temps P r o p o r t io n d 'a d o p t io n s c u m u lé e s
Fig. 2.1: L’effet th´eorique d’une hausse des subventions `a l’´equipement sur le sentier de diffusion d’une nouvelle technologie d’irrigation
2.2.2
La fonction de diffusion technologique
Les travaux existants sur la diffusion agr´eg´ee des technologies d’irrigation, et plus g´en´eralement sur la diffusion des innovations agricoles, ont essentiellement mobilis´e la
courbe de diffusion logistique6.
Dans les travaux pionniers, et d´esormais classiques, de Griliches (1957), la diffusion de nouvelles vari´et´es hybrides de graines est expliqu´ee par la fonction logistique avec la vitesse et le plafond de diffusion suppos´es constants. Formellement, la courbe de diffusion logistique dans un cadre fixe (avec des modalit´es constantes de diffusion) est d´efinie comme la solution d’une ´equation diff´erentielle de la forme :
˙nt = β
nt
N (N − nt) (2.4)
L’´equation (2.4) stipule que le nombre de nouvelles adoptions `a l’instant t est ´egal au nombre d’irrigants potentiellement adopteurs `a l’instant t, N − nt, multipli´e par
le produit de la proportion d’irrigants ayant d´ej`a adopt´e `a l’instant t, nt/N, et du
param`etre β. Notons aussi que bien que la probabilit´e d’adoption augmente au cours du temps, le nombre de nouveaux adopteurs d´ecroˆıt apr`es un certain point (lorsque
nt/N = 0.5 dans le cas de la fonction logistique). Ceci est dˆu au nombre d´ecroissant
d’irrigants n’ayant pas adopt´e la nouvelle technologie d’irrigation. La proportion cu- mul´ee d’adopteurs est d´ecrite par une courbe logistique au profil en S, qui tend de fa¸con asymptotique vers le niveau de saturation, N.
L’alternative classique au mod`ele logistique est offerte par le mod`ele de Gompertz,
6On trouve dans Cramer (2003) une analyse historique de l’´evolution du mod`ele logistique depuis sa naissance, en r´eponse `a la th´eorie malthusienne sur la croissance d´emographique, jusqu’`a ses r´ecentes avanc´ees en biologie ou en ´economie.
au sein duquel la diffusion est plus lente au d´ebut et `a la fin du processus de diffusion (Chow, 1967 ; Lakhani, 1975 ; Dixon, 1980). Formellement, la courbe de Gompertz avec la vitesse et le plafond de diffusion suppos´es constants est d´efinie comme la solution d’une ´equation diff´erentielle de la forme :
˙nt= βnt(ln (N) − ln (nt)) (2.5)
L’´equation (2.5) g´en`ere une sigmo¨ıde l´eg`erement diff´erente de celle produite par la fonction logistique. La courbe de Gompertz est en fait positivement asym´etrique alors que la courbe logistique est parfaitement sym´etrique. Le point d’inflexion de la courbe de Gompertz se produit lorsque 37 % du plafond de diffusion a ´et´e atteint (i.e. lorsque nt/N = 0.37). Le taux relatif de diffusion, ˙nt/nt, d´ecroˆıt de fa¸con non-lin´eaire
au cours du temps. En d’autres termes, le mod`ele de Gompertz suppose qu’entre des petits intervalles de temps ´egaux, la nouvelle technologie d’irrigation perd des propor- tions ´equivalentes de son pouvoir de diffusion.
Le mod`ele de Bass est l’extension classique du mod`ele logistique. Le mod`ele de Bass permet de sp´ecifier une distinction entre les irrigants se comportant comme des innovateurs (les adopteurs pr´ecoces) et ceux se comportant comme des imitateurs (Bass, 1969). Formellement, la courbe de diffusion de Bass avec les param`etres de diffusion suppos´es constants est d´efinie comme la solution d’une ´equation diff´erentielle de la forme :
˙nt= ³ δ + βnt N ´ (N − nt) (2.6)
L’´equation (2.6) stipule que la probabilit´e conditionnelle d’adoption d’une nou- velle technologie d’irrigation par la population d’exploitants agricoles d´epend de deux param`etres : le param`etre β, qui peut s’interpr´eter comme le coefficient d’influence interne, et le param`etre δ, qui refl`ete une source d’information externe au processus de diffusion et peut s’interpr´eter comme le coefficient d’influence externe.
Dans notre recherche, cette source d’information externe peut inclure les services d’appui-conseil et les efforts de communication des institutions locales pour promou- voir les nouvelles technologies d’irrigation (Lekvall et Wahlbin, 1973 ; Dodson et Mul- ler, 1978). Le terme δ (N − nt) dans la partie droite de l’´equation (2.6), qui repr´esente
les adoptions de la part d’irrigants qui ne sont pas influenc´es dans leur timing d’adop- tion par le nombre d’irrigants ayant d´ej`a adopt´e la nouvelle technologie, d´ecroˆıt de fa¸con progressive au cours du temps dans la mesure o`u le nombre d’irrigants n’ayant pas encore adopt´e `a l’instant t, (N − nt), continue de d´ecroˆıtre.