L’application du modèle de flux sur un bassin implique de caler ses différents paramètres, c’est-à-dire de retenir le jeu de paramètres qui permet de minimiser les différences entre variables de sortie observées et simulées. Cette phase de calage va porter uniquement sur le fonctionnement du modèle en crise puisque l'on considère un flux de base constant entre les épisodes de crise. On utilisera le terme de « modèle de crise » pour qualifier ce mode de fonctionnement.
L’application du modèle de crise sur un bassin suppose de définir au préalable : • les variables de calage du modèle ;
• la fonction objectif qui découle du choix des variables de calage ; • la méthode d’optimisation ;
Sur quelles variables de sortie du modèle caler les paramètres F et T pour reproduire au mieux le flux d’azote à l’exutoire ? Deux approches peuvent être considérées :
• approche A : calage sur la dynamique des flux d’azote durant la crue qui permet notamment de reproduire les pics de flux ;
• approche B : calage sur la masse totale d’azote exportée et la durée de la crise qui permet de reproduire le flux généré lors de la crise.
Pour les deux approches, le processus de calage requiert un critère qui permette de minimiser l’écart entre variables simulées et observées. On définit à cet effet une fonction objectif (ou fonction critère) qui fournit une mesure quantitative de l’écart entre les séries des valeurs observées et simulées (AMBROISE, 1999b). Elle se présente sous forme d’une fonction mathématique, pour laquelle le processus de calage va consister à déterminer le jeu de paramètres qui la minimise ou maximise. Les deux approches nécessitent des fonctions objectif adaptées aux variables de calage. Dans l’approche A, la calage va consister à minimiser la somme des écarts entre flux observé et simulé, alors que dans l’approche B, la fonction objectif doit permettre de minimiser les écarts entre masse observée et simulée et durée observée et simulée.
La somme des carrés des écarts est classiquement utilisée pour mesurer l’adéquation entre variable simulée et observée (NASH et SUTCLIFFE, 1970). Ce type de fonction objectif appliquée à l’approche A aboutit à l’équation C1-1.
FOA = ∑ (Fo,i – Fc,i)² Équation C1-1
Avec FOA : fonction objectif exprimée en (kg/h)², Fo,i et Fc,i respectivement les flux observés
(kg/h) et simulés (kg/h) au pas de temps i et n le nombre total de mesures du flux instantané observé sur une crue.
Pour l’approche B, la fonction objectif doit permettre de minimiser à la fois les écarts sur les durées et les masses. Dans les approches de calage simultané de plusieurs variables, la somme des erreurs relatives s’avère la plus contraignante (VAN GRIENSVEN et BAUWENS, 2001).
n i = 1
La fonction objectif utilisée pour l’approche B est donc du type :
(
)
(
)
− + − − = O C O O C O D D D Abs M M M Abs 1 FO Équation C1-2Avec FOB : fonction objectif (sans dimension), MO : masse d’azote calculée à partir des
observations (kg), DO : durée de crue observée (h), MC : masse d’azote simulée (kg) et DC :
durée de crue simulée (h).
Le calage des paramètres repose sur un algorithme d’optimisation qui sélectionne le jeu de paramètres qui permet de minimiser ou maximiser la valeur numérique de la fonction objectif. Selon le type de fonction utilisée dans un modèle donné, des approches différentes peuvent être utilisées pour atteindre le minimum ou maximum d’une fonction :
• si la fonction est dérivable, l’algorithme d’optimisation utilise la dérivée de la fonction, et non la fonction elle-même, pour atteindre plus efficacement l’extremum recherché ;
si la fonction n’est pas dérivable, par exemple en cas de non-linéarité du modèle, les méthodes de gradient sont privilégiées. Celles-ci permettent de s’affranchir du calcul de la dérivée des équations du modèle. En raison de la non-linéarité des modèles hydrologiques, ces méthodes sont en général préférées. Parmi les plus utilisées, on peut citer : POWELL (FLETCHER et POWELL, 1964, cités dans CEA, 1971), NELDER et MEAD (NELDER et MEAD, 1964), et ROSENBROCK (ROSENBROCK, 1960).
L’environnement de simulation retenue (VENSIM) permet d’utiliser l’algorithme de POWELL selon deux modes de recherche : local et global.
Dans le mode local, un jeu de paramètres sert de point de départ pour l’exploration de la surface réponse. A chaque itération, l’algorithme va rechercher la direction de plus grande pente sur la surface réponse jusqu’à un extremum. Celui-ci peut être local ou global. Le risque est d’être piégé dans un extremum local. Selon la complexité de la surface réponse dans les n directions de l’espace des paramètres, le choix du point de départ a donc une influence sur la qualité de la recherche de l’extremum. Pour certaines surfaces réponses présentant une géométrie adaptée, on peut montrer que le choix du point de départ n’a pas d’influence sur la qualité de recherche de l’extremum (PERRIN, 2000). Pour éviter les pièges locaux de la surface réponse, le mode de recherche global est donc retenu. Celui-ci permet de générer plusieurs points de départ dans l’espace des paramètres. Chaque point de départ est obtenu par tirage aléatoire d’une valeur de chaque paramètre dans le domaine de définition suivant une loi de probabilité uniforme. Lorsqu’après un nombre donné d’itérations, l’algorithme de POWELL a détecté un extremum local, un nouveau jeu de paramètres de départ est généré. La valeur de la fonction objectif la plus faible (ou au contraire la plus élevée) est stockée et comparée à celle obtenue avec un nouveau point de départ. Dans la pratique, il est impossible de déterminer lorsque l’extremum global est atteint. Des conditions d’arrêts de la procédure d’optimisation doivent donc être définies. Pour cette analyse, on stope le processus de calage lorsque l’évolution de la valeur de la FO entre simulations est inférieure à 0.01%.
Les approches A et B vont être comparées sur un exemple d’épisode de crise test. L’objectif est de montrer les capacités du modèle à reproduire le flux total généré selon les deux types de variables de calage. Pour chaque approche on utilise la fonction objectif adaptée : respectivement FOA pour la variable flux d’azote et FOB pour les variables masse et durée. La
méthode d’optimisation de POWELL en mode global est utilisée.