ac-cessible
Les propriétés hydrodynamiques turbulentes des écoulements de von Kármán sont étudiées intensivement dans l’équipe de F. Daviaud au CEA Saclay depuis plusieurs années. La géométrie des turbines est importante car responsable des
I.C Dynamos dans les écoulements de von Kármán
poloidal toroidal
Figure I.20 – Ecoulement s2t2 de Dudley James en géométrie cylindrique.
détails de l’écoulement : le taux de fluctuations, l’intensité des structures poloi-dales et toroïpoloi-dales. La courbure des pales, leur hauteur, leur nombre, le rapport d’aspect, la présence d’appendices fixes dans la cuve (ailettes, anneau dans le plan médian) ou d’une couche de fluide au repos, sont autant de paramètres à établir et à optimiser afin d’avoir l’écoulement le plus favorable possible à l’auto-entretien d’un champ magnétique. L’étude de l’influence de ces paramètres sur les statistiques de la turbulence du von Kármán ont fait l’objet de plusieurs thèses : L. Marié ([48]), F. Ravelet ([77]), R. Monchaux ([53]).
Le processus d’optimisation a été le suivant et est clairement explicité dans ([79]). Le champ de vitesse moyen de l’écoulement de von Kármán a été mesuré par PIV ou LDV pour différents jeux de turbines. Ce champ est ensuite utilisé dans un code de simulation de dynamo cinématique afin d’établir le taux de croissance de l’instabilité dynamo en fonction des différents paramètres des turbines, et conséquemment le seuil de l’instabilité. Dans les simulations numériques de Dudley et James, le champ de vitesse était synthétique ; ici, il est basé sur des mesures expérimentales.
Les résultats sont les suivants : le seuil le plus bas est obtenu par la contra-rotation (sens(+)) de turbine de type TM73 (pour turbines métalliques suivi d’un numéro d’identification) composé d’un disque de rayon r/Rc = 0.75 muni de 8 pales courbes de hauteur 0.2 dont l’angle de courbure est 24◦ (voir schéma I.8). Dans ces études le paramètre caractérisant le mieux l’écoulement pour sa capacité à générer un champ magnétique est le rapport Γ = T orP ol définissant le rapport entre la moyenne spatiale de la composante poloidale du champ de vitesse moyen sur la composante toroïdale. Cette quantité vaut 0.8 pour les TM73. Le taux de croissance de la dynamo cinématique est systématiquement négatif dans des configurations telles que Γ < 0.5. Le seuil est également plus bas si une couche de sodium au repos est présente autour de l’écoulement. La valeur critique du nombre de Reynolds magnétique est Rmc = 43 qui est une valeur accessible expérimentalement. Quelque soit la géométrie des turbines, le mode magnétique
du champ dynamo est un dipôle transverse m = 1 en accord avec les résultats de Dudley et James. Des simulations complémentaires ont mis en évidence que l’écoulement derrière les turbines était significativement défavorable à la dynamo (Rmc ∼ 133, [95]).
Les turbines TM73 ainsi optimisées pour le mode m= 1 de dynamo cinématique sont utilisées dans l’expérience VKS décrite dans la section I.C.
I.C.3 VKS : Bifurcation et mécanismes de génération
I.C.3.1 Bifurcation et paramètre de contrôle
10 20 30 40 50 60 0 50 100 150 200
Rm
√ <B
2>
(G)
(a) (b)Figure I.21 – (a) Configuration de la première campagne dynamo VKS2-G. (b) Courbe de bifurcation de la campgna G en fonction du paramètre de contrôle Rm.
La première configuration ayant permis l’observation d’un champ dynamo dans l’expérience VKS est représenté sur la figure I.21(a). La cuve est munie d’un cy-lindre interne en cuivre (aussi appelé chemise) de rayon Ri = 206 mm. Le sodium entre la cuve et le cylindre est au repos. La paroi interne de la chemise est mu-nie d’un anneau de largeur 5 mm. Les turbines TM73 à pales courbes sont en fer doux. Le champ dynamo observé lorsque F1 = F2 > Fc en contra-rotation exacte est statistiquement stationnaire. Sur la figure I.22est illustrée la croissance expo-nentielle du champ au passage du seuil. A partir de 20 s, la fréquence des moteurs est constante. La composante azimutale du champ a une moyenne de 35 G et est très fluctuante. La valeur r.m.s est de l’ordre de grandeur de la moyenne. Le champ magnétique croit lorsque les turbines tournent à une fréquence supérieure à16 Hz. Le paramètre de contrôle de l’instabilité est le nombre de Reynolds magnétique défini comme Rm = μ0σU L avec L = Rchemise et U = 2πRdisque(F1 + F2)/2 la vitesse de rotation en sortie de pales. La paramètre critique est Rmc = 32 pour
I.C Dynamos dans les écoulements de von Kármán les campagnes G, H, I ayant la configuration décrite ci-dessus.
10 20 30 40 −60 −40 −20 0 20 Bx By Bz 0 10 20 30 40 50 10 15 20
B
(G)
F
(Hz)
t(s)
Figure I.22 – Série temporelle lors de la bifurcation de l’instabilité dynamo de la campagne G. La fréquence de rotation des disques augmente de 10 à 22 Hz et on observe une croissance exponentielle de toutes les composantes du champ [54].
Remarque : Pour les configurations sans cylindre interne, voir schéma II.8, la taille caractéristique pour calculer Rm est remplacée par Rcuve. Nous garderons cette définition dans tout le manuscrit.
Il est à noter que d’autres définitions ont été utilisées pour décrire l’instabilité dynamo dans VKS dans certains articles, pour prendre en compte l’efficacité des turbines. Rm = κµ0σU L où U = 2πRchemiseF , L = Rchemise et κ est un coefficient mesuré dans l’expérience en eau à Saclay et dépend de la géométrie des turbines et du sens de rotation.κ = 0.6 dans le sens (+) et κ = 0.7 dans le sens (-) pour des TM73.
On remarque que la valeur du paramètre critique Rmc est inférieure à celle prédite dans les simulations numériques cinématiques. L’évolution de la moyenne du champ magnétique √
< B2 > est représenté figure I.21. Le passage du seuil de l’instabilité se produit à travers une bifurcation supercritique et imparfaite (voir paragraphe II.A.1.1). La loi d’échelle régissant l’évolution de la composante toroïdale de B en fonction de(Rm− Rmc) mesurée est 0.77 ([54]).
Le champ se développant a une forte composante axiale et azimutale compatible avec les symétries d’un mode dipolaire axial m= 0, quasi axisymétrique [78]. La géométrie de ce mode n’est pas en accord avec les simulations numériques de dynamos cinématiques précédent l’expérience prenant en compte seulement l’écoulement moyen de von Kármán et des conditions aux limites homogènes. Les théorèmes antidynamos de Cowling ([21], [40]) démontrent mathématiquement qu’un écoulement axisymétrique ne peut engendrer de champ axisymétrique.
Or dans VKS, l’écoulement moyen est axisymétrique et le champ a une forte composante axisymétrique. cela pose la question des mécanismes de génération et en particulier du rôle des fluctuations turbulentes (non axisymétriques) ainsi que du rôle du fer des turbines sur le mode magnétique.
I.C.3.2 Mécanismes d’auto-entretien et origine du mode m= 0
Comme souligné précédemment, le mode le plus instable dans l’expérience VKS est un dipôle axial. Cela pose la question du détournement du théorème de Cowling sur l’axisymétrie du champ dynamo. Plusieurs hypothèses de mécanismes de génération sont défendues dans les différentes communautés. Le plus répandu est un mécanisme αω mais les détails de ces processus sont encore à éclaircir. L’effet ω transformant une composante de champ poloidale en composante toroïdale a lieu dans la couche de cisaillement dans le plan médian de la cuve, au lieu de rencontre des structures grandes échelles de l’écoulement. Un autre lieu favorable à l’effet ω a été identifié et est localisé près des turbines en fer : le fluide entre les pales tourne à la vitesse du disque et le fluide adjacent à la turbine est légèrement plus lent, cela produit un cisaillement et donc un effet ω, amplifié par la perméabilité magnétique élevé des turbines. Cet effet ω localisé a été vérifié expérimentalement par Verhille et al. ([106]) par des mesures d’induction (en champ appliqué constant) et dans des travaux numériques [34] par Giesecke et al.. L’origine du mécanisme transformant la composante toroïdale en composante poloidale est encore sujet à débat. Une des possibilités étudiés dans ([44]) est un effet α localisé, engendré par les tourbillons entre les pales des turbines. Le fluide est éjecté radialement en formant des tourbillons par effet centrifuge entre les pales des turbines. L’écoulement hélicitaire entre les pales crée, en présence d’un champ toroïdal, un courant toroïdal associé à une composante de champ poloidale. Cet effet α localisé peut être amplifié par la perméabilité du fer et contribuer à la génération du mode m= 0.
L’effet α localisé dans les tourbillons entre les pales a été également modélisé par Gissinger ([35]) où un champ de vitesse avec un mode m = 8 (pour les 8 tourbillons entre les pales) est pris en compte.
I.C.3.3 Exemple de régimes dynamiques et modélisation
Dès les premières campagne dynamos, des mesures ont été effectuées en régime décalé (forçage asymétrique), lorsque les turbines ne tournent pas à la même vi-tesse. La dynamo est toujours présente si F1 et F2 sont suffisamment élevés. Dans une certaine gamme de paramètres, des régimes dynamiques apparaissent renver-sements chaotiques, bursts, oscillations quasi périodiques, (figure I.23). Il existe une zoologie de dynamos non stationnaires qui ont été caractérisées dans [7].
I.C Dynamos dans les écoulements de von Kármán
Figure I.23 – (a) Exemple de régimes dynamiques observée lors de la campagne VKS 2G en forçage asymétrique. ([54])
représentation dans l’espace des phases (B(t), B(t + dt)) indique que la trajectoire empruntée par le champ au cours d’un renversement est toujours le même, aux fluctuations turbulentes près. On distingue également deux points fixes au centre de la figure correspondant à l’amplitude du champ dans chacune des polarités.
(a) (a)
Figure I.24 – (a) Renversements chaotique dans VKS [78]. (b) Renversements dans l’espace des phases [78].
Pour comprendre la dynamique du champ magnétique en régime décalé, Petrelis et Fauve proposent un modèle de basse dimension reproduisant de nombreux comportements observés dans l’expérience VKS ([70]). Le modèle
décrit le couplage de deux modes magnétiques D (anti-symétrique par rapport au plan médian et correspondant à un dipôle axial) et Q (symétrique par rapport au plan médian et correspondant à un quadrupole axial) qui vérifient une équation d’amplitude pour A = D + iQ. En considérant des arguments de symétrie, on peut montrer qu’il existe deux positions d’équilibre stables (correspondant aux deux polarités du dipôle de la dynamo de VKS) et deux positions d’équilibre instables (voir schéma I.25). Les fluctuations de l’écoulement sont modélisées par un bruit blanc. Si les fluctuations sont petites alors le système va évoluer autour de la position d’équilibre stable (ou faire des excursions vers la position d’équilibre instable). En revanche si les fluctuations sont grandes, alors le système va pouvoir explorer l’espace des phases au delà du point d’équilibre instable et bifurquer vers le second point d’équilibre stable. Cela décrit la dynamique des renversements chaotiques rencontrés dans l’expérience VKS. Si les paramètres du modèle sont tels que les points fixes stables et instables sont confondus alors la dynamique décrite correspond à des oscillations périodiques. Le principal avantage de ce
Figure I.25 – Modèle Fauve Petrelis dans le plan (D,Q) les deux modes magné-tiques en interaction via des équations d’amplitude et décrivant la dynamique du champ dans l’expérience VKS à travers deux points fixes stables (ronds) et deux instables (carrés) [104].
modèle est qu’il décrit les régimes dynamiques observés expérimentalement avec l’interaction d’un petit nombre de modes magnétique. Cependant, les ingrédients physique décrivant l’écoulement sont injectés de manière artificielle dans les coefficients du système dynamique pour retrouver les observations expérimentales et l’absence de mode hydrodynamique ne permet pas de décrire un système MHD où le champ magnétique et de vitesse sont couplés. Les travaux de Gissinger [36] ont pris en compte un mode hydrodynamique en plus des deux modes magnétiques, tout en s’affranchissant du bruit stochastique du modèle précédent.