C.3) Condition limite en courant pour la cathode

Dans nos simulations, le courant peut être continu ou transitoire, d'une valeur comprise entre la centaine d'ampères et quelques kilo-ampères, issus de l'expérience ou déterminé arbitrairement. C'est un paramètre d'entrée de notre modèle. Sa prise en compte est différente selon la méthode de description du pied d'arc employée.

Pour la MRGC, le courant est introduit dans la simulation à l'intérieur de l'un des rails (celui qui n'est pas équipotentiel au contact mobile si celui-ci est modélisé) à la limite du domaine de calcul correspondant à l'amenée de courant. La densité de courant est imposée sur cette surface de façon à obtenir le courant souhaité. Ce courant s'échappe ensuite du domaine de calcul dans l'autre rail par la surface où l'on applique un potentiel scalaire nul (ou dans l'autre rail et le contact mobile si celui-ci est modélisé).

Avec la MCEM, définir le courant de simulation est moins simple. Nous avons recours à trois scalaires pour calculer le potentiel électrique : un pour le plasma, un pour la cathode et un pour l'anode. Décrivons maintenant comment ces trois scalaires sont mis en relation pour avoir une continuité dans la boucle de courant.

I.C.3.a) Continuité du courant

Pour la MCEM, nous utilisons un profil de densité de courant pour définir le pied d'arc cathodique et un potentiel électrique nul pour l'anode. Le courant est donc imposé dans le fluide en condition limite au cœur du domaine de calcul, à l'interface plasma/électrode. Il faut alors le reporter dans les rails pour pouvoir prendre en compte le champ magnétique externe dû à la circulation du courant car nous n'utilisons plus l'approximation qui consiste à représenter les rails par des fils [Swi04].

Nous ajoutons alors deux scalaires pour décrire le potentiel électrique et la conservation du courant dans l'anode et la cathode. Ce sont des équations de diffusion pure avec comme coefficient la conductivité électrique du métal d'électrode. Pour chaque électrode, une condition limite de Dirichlet impose 0V au niveau des amenées de courant et la densité de courant qui va du plasma vers l'électrode est reportée comme condition limite de Neumann à l'intérieur du rail. Ainsi le courant dans le fluide est "copié" dans les rails et rejoint les amenées de courant. On retrouve alors la boucle de courant nécessaire à la génération du champ magnétique externe et l'intensité est conservée.

En outre, la décomposition du potentiel électrique en trois scalaires permet de ne pas avoir à résoudre les équations en présence de forts gradients dus à la différence de conductivité électrique entre le plasma et le métal. La résolution numérique est ainsi facilitée. Penchons nous maintenant sur la description du profil de courant mis en place pour cette thèse.

I.C.3.b) Profil de courant

Pour comparer théorie et pratique, il faut travailler au même niveau d'intensité qui dépasse le kilo-ampère dans notre expérience. Or, avec les conditions limites en courant habituellement trouvées dans la littérature (disque avec une densité de courant exponentielle ou hyperbolique [Fre02] avec un maximum à 1,2.108 _Am-2_{) il est difficile}

de faire sortir de tels courants d’un rail de DBT large d’environ 4mm. Augmenter la densité de courant entrainerait un effet Joule trop important et non physique. Il serait préférable d’agrandir la zone émettrice de courant en lui donnant par exemple une forme elliptique ou rectangulaire. Un profil parabolique de densité de courant avec une tâche évoluant d’un cercle vers une ellipse a été développé afin d'augmenter l'intensité admissible dans les simulations avec la MCEM. La Figure 3.6 représente la densité de courant sur le rail et les grandeurs caractéristiques. D'une manière générale, pour une ellipse de surface S et de rayon a et b avec un profil de densité de courant parabolique de valeur maximal jmax et de valeur locale j(x,y), le courant total I est donné par l'équation

(3.11) que l'on peut obtenir en intégrant par partie la densité de courant dans l'ellipse.

(3.11)

Figure 3.6 : Diagramme représentant le profil de densité de courant utilisé.

Soit r0 le rayon minimal du cercle (1mm), rmax la demi-largeur du rail et donc le rayon

maximal du cercle (2mm), j0 la densité de courant maximal (1,2.10^8 Am-2), defmax la

déformation maximal de l’ellipse (3), j la densité de courant et I le courant à faire passer, l'algorithme déterminant la densité de courant pour un pied d'arc est le suivant:

- si I < j0 × r0² × π / 2 (soit I < 188,5A avec les paramètres donnés plus haut): on a une

tâche circulaire de rayon r0 et un profil parabolique de densité de courant dont on fait

varier la valeur maximal jmax pour obtenir I :

j(r) = jmax × ( 1 – r² / r0² ) avec jmax = 2 × I / ( π × r0² ) (3.12)

- si j0 × r0² × π / 2 < I < j0 × rmax² × π / 2 (soit 188,5A < I < 754A avec les paramètres

donnés plus haut): on a une tâche circulaire de rayon r1 que l’on fait varier pour obtenir

I et un profil parabolique de densité de courant avec un maximum à j0:

j(r) = j0 × ( 1 – r² / r1² ) avec r1 = (3.13)

- si j0 × rmax² × π / 2 < I < j0 × rmax² × defmax × π / 2 (soit 754A < I < 2262A avec les

paramètres donnés plus haut): on a une tâche elliptique de largeur rmax sur l’axe y et de

longueur r1 sur l’axe x (direction du rail) que l’on fait varier pour obtenir I et un profil

parabolique de densité de courant avec un maximum à j0:

j(x,y) = j0 × ( 1 – x² / r1² – y² / rmax²) (3.14)

avec r1 = 2 × I / ( π × j0 × rmax ) (3.15)

- si I > j0 × rmax² × defmax × π / 2 (soit I > 2262A avec les paramètres donnés plus haut):

on a une tâche elliptique de largeur rmax sur l’axe y et de longueur rmax × defmax sur l’axe x

(direction du rail) et un profil parabolique de densité de courant dont on fait varier la valeur maximal jmax pour obtenir I :

j(x,y) = jmax × ( 1 – x²/(rmax × defmax)² – y² / rmax²) (3.16)

avec jmax = 2 × I / ( π × rmax² × defmax ) (3.17)

La déformation maximale de l'ellipse defmax permet de multiplier directement le

courant admissible sans avoir à augmenter la densité de courant maximale. Pour une bonne définition de ce profil, le maillage de l'électrode doit être suffisamment raffiné.