Cˆones convexes - Convexité et Optimisation

i=1 αi = 1 et m j=1 βj = 1 ⇒ n i=1 γ αi + m j=1 (1 − γ )βj = 1 .

On est maintenant en mesure d’énoncer le théorème de Caratheodory.

Th´eor`eme 3.15 (Caratheodory). Dans un espace vectoriel de dimension n, l’enveloppe convexe d’un

sous-ensemble A est ´egale `a l’ensemble des combinaisons convexes de n+ 1 points de A.

Ce théorème est un simple corollaire du Lemme 3.10 et du Théorème 3.14.

3.5 Cˆones convexes

3.5.1 Cˆone convexe et relation d’ordre

Dans la formulation des contraintes inégalités, les cônes joueront ultérieurement un rôle essentiel.

D´efinition 3.16. Un sous-ensemble C est un cˆone si

Figure 3.6: Un cˆone non convexe deR3

Un cône est donc une union de demi-droites fermées issues de l’origine.³ La Figure 3.6 représente un cône deR3(d’ailleurs non convexe). Les espaces vectoriels sont évidemment des cônes. Un cône est dit

saillant si

C∩ (−C) = {0} . (3.6)

Un espace vectoriel n’est pas un cône saillant comme ne l’est pas non plus le cône représenté sur la Figure 3.7. Par contre, un espace vectoriel est un c ône convexe.

Figure 3.7: Un cˆone non saillant dansR2

Exercice 3.17.

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Montrer qu’un cˆone C est convexe si et seulement si il est stable par addition, c’est-`a-dire que

∀x ∈ C, ∀y ∈ C, x + y ∈ C . (3.7)

Les cônes convexes permettent de définir une relation de préordre ou une relation d’ordre dans un espace vectoriel.

Exercice 3.18.

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On rappelle qu’une relation de préordre est une relation réflexive et transitive et qu’une relation d’ordre est de plus antisymétrique. Montrer que si C est un cône convexe d’un espace vectorielX, la relation

x * y ⇔ x − y ∈ C (3.8)

est une relation de pr´eordre, et que c’est une relation d’ordre si de plus C est saillant.

On notera que la relation d’ordre ainsi définie est compatible avec la structure d’espace vectoriel, c’est-à-dire qu’à l’évidence, d’après (3.5), si x est “positif”, sa multiplication par un élément positif

3Implicitement donc, le sommet d’un c ône est toujours situé à l’origine de l’espace vectoriel. On peut si nécessaire déplacer le sommet en a∈ X en translatant le cône, c’est-à-dire en considérant le sous-ensemble a + C.

redonne un élément positif, et de plus, d’après (3.7), la somme de deux éléments positifs est un élément positif. Enfin, dans un espace de Banach, pour que la limite d’une suite convergente (pour la topologie forte) d’éléments positifs soit un élément positif, on prendra un “cône positif” fermé. On verra plus loin que, du fait que les ensembles convexes fermés sont aussi faiblement fermés, l’ordre est aussi continu pour la topologie faible.

Remarque 3.19 (Ordre deRn). L’utilisation la plus classique de cette relation d’ordre est obtenue en

choisissant, dansRn, le cône constitué par le premier “orthant”, c’est-à-dire l’ensemble des x ∈ Rn tels que x_i ≥ 0, i = 1, . . . , n. La “non négativité” de x revient alors à celle de toutes ses composantes. Mais en choisissant un autre cône saillant comme “cône positif” deRn, on peut obtenir une relation d’ordre contenant une plus ou moins grande quantité d’éléments positifs.

3.5.2 Cˆone normal (ou orthogonal) `a un sous-ensemble convexe

Définition 3.20. Dans un espace de HilbertX, le cône normal ou orthogonal à un sous-ensemble con-vexe A au point a∈ A est défini par

A⊥

a = {z ∈ X | z , x − a ≤ 0, ∀x ∈ A } .

En premier lieu, il est facile de voir que ceci définit bien un cône, et même un cône convexe fermé comme intersection d’une collection de demi-espaces fermés. On notera A⊥ _{pour A}⊥

0, lorsque bien s ˆur 0 ∈ A. ´Evidemment, (A − a)⊥ = A⊥

a. La Figure 3.8 présente des exemples de cônes normaux à un sous-ensemble en divers points de la frontière

Remarque 3.21. Bien que ces cônes soient figurés avec leur sommet au point de la frontière o ù ils sont

définis, la représentation correcte serait celle o ù leur sommet est ramené à 0 par translation. Autrement, dit, il faut à chaque fois translater l’ensemble A pour que le point en question soit à l’origine, comme l’indique la définition.

Figure 3.8: Cˆones normaux en divers points de A

L’exercice suivant montre que la notion de cône normal n’a d’intérêt qu’aux points appartenant à la frontière de A (c’est-à-dire, n’appartenant pas à l’intérieur de A).

Exercice 3.22.

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Montrer que si a ∈ ˘A (int´erieur de A, suppos´e donc non vide et dont on verra qu’il est convexe au§3.6), alors A⊥

a = {0}.

Remarque 3.23. On aurait pu d´efinir la notion de cˆone normal en un point pour un sous-ensemble

quelconque et pas seulement pour les sous-ensembles convexes. Cela aurait conduit à des cônes éventuellement réduits à{0} y compris pour certains points de la frontière.

L’exercice suivant fait le lien entre cette notion de cˆone normal et celle de sous-espace orthogonal lorsque

A est un sous-espace vectoriel ou affine.

Exercice 3.24. Si A est sous-espace vectoriel ou affine, montrer que A⊥

a ne d´epend pas de a et que c’est le sous-espace vectoriel des z tels que z , x − a = 0, ∀x ∈ A, ∀a ∈ A (on le note donc A⊥_).

Enfin, l’exercice suivant montre que si A est un cˆone convexe, le cˆone normal maximal est obtenu en 0.

Exercice 3.25.

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Soit C un cˆone convexe. Montrer que pour a ∈ C, C⊥

a = C⊥∩ {a}⊥_{, o ù}{a} désigne le sous-espace vectoriel de dimension 1 engendré par le vecteur a. En déduire que{a}⊥∩ C⊥ = {0} si

a∈ ˘C.

Remarque 3.26. Dans la litt´erature, on trouve la notion de cˆone polaire d’un sous-ensemble A,

généralement notée A◦_{, et définie comme}

A◦ def= {z ∈ X | z , x ≤ 0, ∀x ∈ A } . On voit que cette d´efinition co¨ıncide avec ce que nous notons A⊥

0 ou plus simplement A⊥_{, `a cette}

différence importante près que nous ne pouvons pas définir A⊥ _{si 0 n’appartient pas à A. Avec la notion}

d’enveloppe cônique∠(A) introduite plus loin (voir Définition 3.29 ci-après), qui, elle, contient toujours 0, on déduit facilement de la définition de A◦ _{que (voir Figure 3.10)}

A◦ =∠(A)^◦=∠(A)^⊥.

3.5.3 Ordre dual dans les espaces de Hilbert

Plaçons nous à nouveau dans un espace de Hilbert X dont on a vu qu’il est identifiable à son dual. Cependant, il est important ici de distinguer, pour un élément donnéx , le fait qu’il soit considéré comme

un élément de l’espace primalX ou comme un élément de l’espace dual, auquel cas il faudrait en toute rigueur parler de ι (x) : x #→ x, x (la bijection ι a été introduite au Théorème 2.9). Nous ferons

l’´economie de la notationι mais nous pr´eciserons x ∈ X ou x ∈ X∗_{pour indiquer si nous parlons d’un}

élément ou de sa forme linéaire associée. ´

Etant donné un cône positif (convexe, fermé, saillant) dansX, on pose

C def=x ∈ X∗ | x, x ≥ 0, ∀x ∈ C ⊂ X . (3.9)

Il est clair que modulo l’identification deX à X∗_{, C} = −C⊥_{, et que C}_{est un cône convexe fermé de}

X∗_{. Ce cône n’est pas nécessairement saillant (considérer le cas o ù C est réduit à une demi-droite et alors}

C_{est un demi-espace), mais il peut servir à définir au moins un préordre sur l’espace}X∗_{, voire un ordre}

si le cône est saillant. Il est important de noter qu’en général, même si on identifieX à son dual, il n’y a pas de raison a priori pour que C = C_{. Ceci se produit pourtant lorsqu’on choisit par exemple dans}Rn

le cˆone positifRn

+ ^def= {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, . . . , n } (voir Remarque 3.19). Cependant, la Figure 3.9 montre, pour n = 2, deux cas o`u C est plus grand ou plus petit que C_{. Autrement dit, “ˆetre positif”}

ne veut pas dire la même chose dans le primal et dans le dual. C’est pourquoi, on préfèrera la notation explicite x ∈ C ou x ∈ C _{à la notation ambiguë x} * 0.

Exercice 3.27.

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Montrer qu’étant donnés deux cônes C et D,(C ∪ D)= (C + D) = C∩ D_{, et}

que par ailleurs(C ∩ D) ⊃ C∪ D_{en donnant un exemple qui prouve que l’´egalit´e n’a pas lieu en}

g´en´eral.

Remarque 3.28. On peut s’intéresser à itérer l’opération de dualité en échangeant les rôles de l’espace

primal et de l’espace dual pour calculer C_{. Il est imm´ediat de constater que C} ⊂ C_{. En fait, il r´esulte}

du fait que C est un cône convexe fermé et du théorème sur la séparation des convexes, ou du lemme de Farkas qui en est une conséquence, que C = C. Nous y reviendrons plus loin (voir Lemme 3.61 ci-après).

C _C

_C

Figure 3.9: Cˆone et cˆone dual

3.5.4 Enveloppe cˆonique

A l’instar de l’enveloppe convexe d’un sous-ensemble A, on peut définir l’enveloppe cônique de A. L’espaceX est un cône convexe contenant A et l’intersection de cônes convexes contenant A contient aussi A et est un cône convexe. On adopte donc la définition suivante.

Définition 3.29. L’enveloppe cônique d’un sous-ensemble A ⊂ X quelconque est le plus petit cône convexe (au sens de l’inclusion) qui contient A. Elle est notée∠(A).

Figure 3.10: Enveloppe cônique (en sombre) d’un sous-ensemble (en clair) et cône polaire associé (rayé) On montre facilement (exercice) le théorème suivant.

Théorème 3.30. L’enveloppe cônique de A est égale à l’enveloppe cônique de(A) ; elle est également

obtenue en effectuant toutes les combinaisons linéaires à coefficients non négatifs d’éléments de A.

Par un raisonnement très similaire à celui qui a conduit au Théorème de Caratheodory, on montre le théorème suivant.

Théorème 3.31. Dans un espace vectoriel de dimension n, l’enveloppe cônique d’un sous-ensemble A

est égale à l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients non négatifs de n+ 1 points de A.

3.5.5 Cˆone tangent `a un sous-ensemble

Définition 3.32. Soit A un sous-ensemble d’un espace vectoriel norméX. On dit que x est tangent à A au point a∈ A si il existe une suite {αk}k∈N^{de réels positifs et une suite}{ak}k∈N^{d’éléments de A telles}

que

lim

k→+∞^a

k = a et lim

k→+∞αk(ak − a) = x .

L’ensemble des x tangents à A en a est clairement un cône qui est non vide (il contient au moins 0) ; il est appelé cône tangent à A en a et il est noté A

Nous noterons de façon abrégée A_{pour A}

0, ce qui suppose bien s ûr que 0∈ A. La notion de cône tangent est une notion locale puisqu’elle ne fait référence qu’à des limites lorsqu’on s’approche du point

A (autrement dit, on n’a pas besoin de savoir `a quoi ressemble A en dehors d’un voisinage du point a).

On verra cependant au§3.7 que si A est convexe, il existe une d´efinition globale de A

Exercice 3.33. Dessiner le cône tangent, au point d’intersection, à l’ensemble constitué dans R2 par deux courbes sécantes.

La Figure 3.11 montre quelques exemples de cônes tangents en divers points d’un convexe (à nou-veau, ce qui est en fait représenté, ce sont les cônes tangents translatés aux points o ù ils ont été calculés : un cône a toujours 0 comme sommet selon notre définition des cônes).

Figure 3.11: Cˆones tangents `a un sous-ensemble convexe

Comme pour les cônes normaux, la notion de cône tangent n’a d’intérêt qu’en des points a appar-tenant à la frontière de A comme le montre l’exercice suivant.

Exercice 3.34. Montrer que si a ∈ ˘A ⊂ X, alors A

a = X.

Nous poursuivrons au§3.7 l’étude des cônes tangents et de leur relation avec les cônes normaux une

fois introduite, dans la section suivante, la notion d’enveloppe cˆonique ferm´ee.

Dans le document Convexité et Optimisation (Page 34-39)