Cˆones convexes

Dans le document Convexité et Optimisation (Page 34-39)

i=1 αi = 1 et m  j=1 βj = 1 ⇒ n  i=1 γ αi + m  j=1 (1 − γ )βj = 1 .

On est maintenant en mesure d’´enoncer le th´eor`eme de Caratheodory.

Th´eor`eme 3.15 (Caratheodory). Dans un espace vectoriel de dimension n, l’enveloppe convexe d’un

sous-ensemble A est ´egale `a l’ensemble des combinaisons convexes de n+ 1 points de A.

Ce th´eor`eme est un simple corollaire du Lemme 3.10 et du Th´eor`eme 3.14.

3.5 Cˆones convexes

3.5.1 Cˆone convexe et relation d’ordre

Dans la formulation des contraintes in´egalit´es, les cˆones joueront ult´erieurement un rˆole essentiel.

D´efinition 3.16. Un sous-ensemble C est un cˆone si

Figure 3.6: Un cˆone non convexe deR3

Un cˆone est donc une union de demi-droites ferm´ees issues de l’origine.3 La Figure 3.6 repr´esente un cˆone deR3(d’ailleurs non convexe). Les espaces vectoriels sont ´evidemment des cˆones. Un cˆone est dit

saillant si

C∩ (−C) = {0} . (3.6)

Un espace vectoriel n’est pas un cˆone saillant comme ne l’est pas non plus le cˆone repr´esent´e sur la Figure 3.7. Par contre, un espace vectoriel est un c ˆone convexe.

Figure 3.7: Un cˆone non saillant dansR2

Exercice 3.17.

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Montrer qu’un cˆone C est convexe si et seulement si il est stable par addition, c’est-`a-dire que

∀x ∈ C, ∀y ∈ C, x + y ∈ C . (3.7)

Les cˆones convexes permettent de d´efinir une relation de pr´eordre ou une relation d’ordre dans un espace vectoriel.

Exercice 3.18.

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On rappelle qu’une relation de pr´eordre est une relation r´eflexive et transitive et qu’une relation d’ordre est de plus antisym´etrique. Montrer que si C est un cˆone convexe d’un espace vectorielX, la relation

x * y ⇔ x − y ∈ C (3.8)

est une relation de pr´eordre, et que c’est une relation d’ordre si de plus C est saillant.

On notera que la relation d’ordre ainsi d´efinie est compatible avec la structure d’espace vectoriel, c’est-`a-dire qu’`a l’´evidence, d’apr`es (3.5), si x est “positif”, sa multiplication par un ´el´ement positif

3Implicitement donc, le sommet d’un c ˆone est toujours situ´e `a l’origine de l’espace vectoriel. On peut si n´ecessaire d´eplacer le sommet en a∈ X en translatant le cˆone, c’est-`a-dire en consid´erant le sous-ensemble a + C.

redonne un ´el´ement positif, et de plus, d’apr`es (3.7), la somme de deux ´el´ements positifs est un ´el´ement positif. Enfin, dans un espace de Banach, pour que la limite d’une suite convergente (pour la topologie forte) d’´el´ements positifs soit un ´el´ement positif, on prendra un “cˆone positif” ferm´e. On verra plus loin que, du fait que les ensembles convexes ferm´es sont aussi faiblement ferm´es, l’ordre est aussi continu pour la topologie faible.

Remarque 3.19 (Ordre deRn). L’utilisation la plus classique de cette relation d’ordre est obtenue en

choisissant, dansRn, le cˆone constitu´e par le premier “orthant”, c’est-`a-dire l’ensemble des x ∈ Rn tels que xi ≥ 0, i = 1, . . . , n. La “non n´egativit´e” de x revient alors `a celle de toutes ses composantes. Mais en choisissant un autre cˆone saillant comme “cˆone positif” deRn, on peut obtenir une relation d’ordre contenant une plus ou moins grande quantit´e d’´el´ements positifs.

3.5.2 Cˆone normal (ou orthogonal) `a un sous-ensemble convexe

D´efinition 3.20. Dans un espace de HilbertX, le cˆone normal ou orthogonal `a un sous-ensemble con-vexe A au point a∈ A est d´efini par

A

a = {z ∈ X | z , x − a ≤ 0, ∀x ∈ A } .

En premier lieu, il est facile de voir que ceci d´efinit bien un cˆone, et mˆeme un cˆone convexe ferm´e comme intersection d’une collection de demi-espaces ferm´es. On notera A pour A

0, lorsque bien s ˆur 0 ∈ A. ´Evidemment, (A − a) = A

a. La Figure 3.8 pr´esente des exemples de cˆones normaux `a un sous-ensemble en divers points de la fronti`ere

Remarque 3.21. Bien que ces cˆones soient figur´es avec leur sommet au point de la fronti`ere o `u ils sont

d´efinis, la repr´esentation correcte serait celle o `u leur sommet est ramen´e `a 0 par translation. Autrement, dit, il faut `a chaque fois translater l’ensemble A pour que le point en question soit `a l’origine, comme l’indique la d´efinition.

Figure 3.8: Cˆones normaux en divers points de A

L’exercice suivant montre que la notion de cˆone normal n’a d’int´erˆet qu’aux points appartenant `a la fronti`ere de A (c’est-`a-dire, n’appartenant pas `a l’int´erieur de A).

Exercice 3.22.

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Montrer que si a ∈ ˘A (int´erieur de A, suppos´e donc non vide et dont on verra qu’il est convexe au§3.6), alors A

a = {0}.

Remarque 3.23. On aurait pu d´efinir la notion de cˆone normal en un point pour un sous-ensemble

quelconque et pas seulement pour les sous-ensembles convexes. Cela aurait conduit `a des cˆones ´eventuellement r´eduits `a{0} y compris pour certains points de la fronti`ere.

L’exercice suivant fait le lien entre cette notion de cˆone normal et celle de sous-espace orthogonal lorsque

A est un sous-espace vectoriel ou affine.

Exercice 3.24. Si A est sous-espace vectoriel ou affine, montrer que A

a ne d´epend pas de a et que c’est le sous-espace vectoriel des z tels que z , x − a = 0, ∀x ∈ A, ∀a ∈ A (on le note donc A).

Enfin, l’exercice suivant montre que si A est un cˆone convexe, le cˆone normal maximal est obtenu en 0.

Exercice 3.25.

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Soit C un cˆone convexe. Montrer que pour a ∈ C, C

a = C∩ {a}, o `u{a} d´esigne le sous-espace vectoriel de dimension 1 engendr´e par le vecteur a. En d´eduire que{a}∩ C = {0} si

a∈ ˘C.

Remarque 3.26. Dans la litt´erature, on trouve la notion de cˆone polaire d’un sous-ensemble A,

g´en´eralement not´ee A, et d´efinie comme

A◦ def= {z ∈ X | z , x ≤ 0, ∀x ∈ A } . On voit que cette d´efinition co¨ıncide avec ce que nous notons A

0 ou plus simplement A, `a cette

diff´erence importante pr`es que nous ne pouvons pas d´efinir A si 0 n’appartient pas `a A. Avec la notion

d’enveloppe cˆonique∠(A) introduite plus loin (voir D´efinition 3.29 ci-apr`es), qui, elle, contient toujours 0, on d´eduit facilement de la d´efinition de A que (voir Figure 3.10)

A =∠(A)=∠(A).

3.5.3 Ordre dual dans les espaces de Hilbert

Plac¸ons nous `a nouveau dans un espace de Hilbert X dont on a vu qu’il est identifiable `a son dual. Cependant, il est important ici de distinguer, pour un ´el´ement donn´ex , le fait qu’il soit consid´er´e comme

un ´el´ement de l’espace primalX ou comme un ´el´ement de l’espace dual, auquel cas il faudrait en toute rigueur parler de ι (x) : x #→ x, x (la bijection ι a ´et´e introduite au Th´eor`eme 2.9). Nous ferons

l’´economie de la notationι mais nous pr´eciserons x ∈ X ou x ∈ Xpour indiquer si nous parlons d’un

´el´ement ou de sa forme lin´eaire associ´ee. ´

Etant donn´e un cˆone positif (convexe, ferm´e, saillant) dansX, on pose

C def=x ∈ X | x, x ≥ 0, ∀x ∈ C ⊂ X . (3.9)

Il est clair que modulo l’identification deX `a X, C = −C, et que Cest un cˆone convexe ferm´e de

X. Ce cˆone n’est pas n´ecessairement saillant (consid´erer le cas o `u C est r´eduit `a une demi-droite et alors

Cest un demi-espace), mais il peut servir `a d´efinir au moins un pr´eordre sur l’espaceX, voire un ordre

si le cˆone est saillant. Il est important de noter qu’en g´en´eral, mˆeme si on identifieX `a son dual, il n’y a pas de raison a priori pour que C = C. Ceci se produit pourtant lorsqu’on choisit par exemple dansRn

le cˆone positifRn

+ def= {x ∈ Rn | xi ≥ 0, i = 1, . . . , n } (voir Remarque 3.19). Cependant, la Figure 3.9 montre, pour n = 2, deux cas o`u C est plus grand ou plus petit que C. Autrement dit, “ˆetre positif”

ne veut pas dire la mˆeme chose dans le primal et dans le dual. C’est pourquoi, on pr´ef`erera la notation explicite x ∈ C ou x ∈ C `a la notation ambigu¨e x * 0.

Exercice 3.27.

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Montrer qu’´etant donn´es deux cˆones C et D,(C ∪ D)= (C + D) = C∩ D, et

que par ailleurs(C ∩ D) ⊃ C∪ Den donnant un exemple qui prouve que l’´egalit´e n’a pas lieu en

g´en´eral.

Remarque 3.28. On peut s’int´eresser `a it´erer l’op´eration de dualit´e en ´echangeant les rˆoles de l’espace

primal et de l’espace dual pour calculer C. Il est imm´ediat de constater que C ⊂ C. En fait, il r´esulte

du fait que C est un cˆone convexe ferm´e et du th´eor`eme sur la s´eparation des convexes, ou du lemme de Farkas qui en est une cons´equence, que C = C. Nous y reviendrons plus loin (voir Lemme 3.61 ci-apr`es).

C

C C

 C

Figure 3.9: Cˆone et cˆone dual

3.5.4 Enveloppe cˆonique

`

A l’instar de l’enveloppe convexe d’un sous-ensemble A, on peut d´efinir l’enveloppe cˆonique de A. L’espaceX est un cˆone convexe contenant A et l’intersection de cˆones convexes contenant A contient aussi A et est un cˆone convexe. On adopte donc la d´efinition suivante.

D´efinition 3.29. L’enveloppe cˆonique d’un sous-ensemble A ⊂ X quelconque est le plus petit cˆone convexe (au sens de l’inclusion) qui contient A. Elle est not´ee∠(A).

Figure 3.10: Enveloppe cˆonique (en sombre) d’un sous-ensemble (en clair) et cˆone polaire associ´e (ray´e) On montre facilement (exercice) le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3.30. L’enveloppe cˆonique de A est ´egale `a l’enveloppe cˆonique de(A) ; elle est ´egalement

obtenue en effectuant toutes les combinaisons lin´eaires `a coefficients non n´egatifs d’´el´ements de A.

Par un raisonnement tr`es similaire `a celui qui a conduit au Th´eor`eme de Caratheodory, on montre le th´eor`eme suivant.

Th´eor`eme 3.31. Dans un espace vectoriel de dimension n, l’enveloppe cˆonique d’un sous-ensemble A

est ´egale `a l’ensemble des combinaisons lin´eaires `a coefficients non n´egatifs de n+ 1 points de A.

3.5.5 Cˆone tangent `a un sous-ensemble

D´efinition 3.32. Soit A un sous-ensemble d’un espace vectoriel norm´eX. On dit que x est tangent `a A au point a∈ A si il existe une suite {αk}k∈Nde r´eels positifs et une suite{ak}k∈Nd’´el´ements de A telles

que

lim

k→+∞a

k = a et lim

k→+∞αk(ak − a) = x .

L’ensemble des x tangents `a A en a est clairement un cˆone qui est non vide (il contient au moins 0) ; il est appel´e cˆone tangent `a A en a et il est not´e A

Nous noterons de fac¸on abr´eg´ee Apour A

0, ce qui suppose bien s ˆur que 0∈ A. La notion de cˆone tangent est une notion locale puisqu’elle ne fait r´ef´erence qu’`a des limites lorsqu’on s’approche du point

A (autrement dit, on n’a pas besoin de savoir `a quoi ressemble A en dehors d’un voisinage du point a).

On verra cependant au§3.7 que si A est convexe, il existe une d´efinition globale de A

a.

Exercice 3.33. Dessiner le cˆone tangent, au point d’intersection, `a l’ensemble constitu´e dans R2 par deux courbes s´ecantes.

La Figure 3.11 montre quelques exemples de cˆones tangents en divers points d’un convexe (`a nou-veau, ce qui est en fait repr´esent´e, ce sont les cˆones tangents translat´es aux points o `u ils ont ´et´e calcul´es : un cˆone a toujours 0 comme sommet selon notre d´efinition des cˆones).

Figure 3.11: Cˆones tangents `a un sous-ensemble convexe

Comme pour les cˆones normaux, la notion de cˆone tangent n’a d’int´erˆet qu’en des points a appar-tenant `a la fronti`ere de A comme le montre l’exercice suivant.

Exercice 3.34. Montrer que si a ∈ ˘A ⊂ X, alors A

a = X.

Nous poursuivrons au§3.7 l’´etude des cˆones tangents et de leur relation avec les cˆones normaux une

fois introduite, dans la section suivante, la notion d’enveloppe cˆonique ferm´ee.

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