= e t tet 0 et ! x y ! , i.e. α = 1 1 0 1 ! .
Le Donne et Nicolussi Golo montrent qu’aucune distance d sur R2 (géodé-sique ou non) ne vérifie d(etαξ, etαξ0) = etd(ξ, ξ0) [46, 5.4], ce qui témoigne du fait que G01 n’est pas CAT(−1) pour un choix de métrique normalisé.
Quant aux groupes nilpotents non abéliens, leur géométrie, qu’elle soit riemannienne ou à grande échelle, n’est pas caractérisable par une condition de courbure. D’après Wolf ils admettent des plans de courbure sectionnelle > 0 et d’autres de courbure < 0 (voir Milnor [116, Theorem 2.4]) et Pauls a montré [132, Theorem A] qu’ils ne se plongent pas même quasiisométrique-ment dans un espace CAT(0).
C. Invariants et rigidités
C.1. Cônes asymptotiques des groupes de Lie
On survole ici des résultats sur les cônes asymptotiques des groupes de Lie obtenus depuis les années 1970, précédant la synthèse de Cornulier
commen-cée en 2008 (le vocabulaire ayant été en partie introduit a posteriori, il ne correspond pas nécessairement exactement aux énoncés originaux).
C.1.1. Groupes nilpotents, et un peu au-delà Soit G un groupe nil-potent de type fini sans torsion15, resp. nilpotent de Lie simplement connexe, avec une distance propre invariante à gauche. Par la correspondance de Lie-Mal’cev [110] est associée à G une algèbre de Lie rationnelle g, resp. corres-pond à G une algèbre de Lie réelle g, qui est elle-même une déformation de l’algèbre Carnot-graduable définie par (4). Pour tout rj de limite infinie et U non-principal, ConeU(G, rj) est isométrique au groupe de Lie réel simple-ment connexe G∞tel que Lie(G∞) = g∞⊗ R, avec une métrique géodésique invariante par l’automorphisme gradué qui fut décrite (explicitement pour des choix de distances explicites) dans la thèse de Pansu en 1982 [124]. En particulier, ses dimensions topologique et de Hausdorff sont
dim ConeU(G, rj) =X i
dim G(i)/G(i+1)⊗ZR et (6)
Hdim ConeU(G, rj) =X i
i dim G(i)/G(i+1)⊗ZR d’après (5). (6’)
D’après une réinterprétation par Cornulier du théorème de Pansu (voir [39, Theorem 6.16] etC.2.3), G et G∞sont sous-linéairement bilipschitzien-nement équivalents, de sorte que via le théorème de Pansu-Rademacher [126, Théorème 2], on obtient l’énoncé suivant.
Théorème 14. Deux groupes de Lie nilpotents simplement connexes G et G0 sont sous-linéairement bilipschitziennement équivalents si et seulement si G∞ et G0∞ sont isomorphes.
Remarque 15. L’énoncé d’origine du théorème de Pansu ne fait pas intervenir de cône asymptotique au sens de la Définition5; pour ces groupes un critère de compacité pour la suite des boules renormalisées assure une convergence dite de Gromov-Hausdorff pointée. Le lien avec le cône asymptotique au sens de la Définition II.4peut être fait par Kapovich-Leeb [96, Proposition 3.2]. Les cônes asymptotiques sont tous isométriques, qu’on suppose l’hypothèse du continu ou sa négation vraie, cf. la remarque 6et Cornulier [36, p.7].
15
Cette hypothèse simplificatrice n’est pas nécessaire : tout groupe nilpotent de type fini est polycyclique et, de même qu’on prouve qu’un groupe polycyclique admet un sous-groupe d’indice fini fortement polycyclique [135, chapter 4], un groupe nilpotent de type fini admet un sous-groupe d’indice fini sans torsion.
Le type (R) Rappelons le théorème de croissance polynomiale de Gro-mov : un groupe de type fini est à croissance polynomiale si et seulement s’il est virtuellement nilpotent ; le théorème précédent de Pansu précise alors le cône asymptotique. Parmi les groupes de Lie la caractérisation de la crois-sance polynomiale diffère et précède : Guivarc’h et Jenkins ont indépen-damment montré en 1973 qu’il s’agit des groupes dits de type (R) [84] [94, Theorem 1.4]. Un groupe G est de type (R) si toutes les valeurs propres de adX pour tout X ∈ g sont purement imaginaires. Par une construction géné-rale dûe à Auslander et Green [4], à un groupe de type (R) on peut associer une ombre nilpotente en modifiant les crochets (nous renvoyons à [51, III.2] pour la construction). Breuillard observe que puisqu’il existe une métrique riemannienne simultanément invariante sur les deux groupes de Lie asso-ciés16 via des coordonnées exponentielles de seconde espèce17 [22, Lemma 3.11], le cône asymptotique d’un groupe résoluble de type (R) est celui de son ombre nilpotente, et relève alors de la thèse de Pansu.
Remarque 16. Les théorèmes de Breuillard sont plus généraux : ils prennent en compte tous les groupes compactement engendrés à croissance polyno-miale et décrivent leurs cônes asymptotiques sous la forme précédente. Cette classe est close par équivalence bilipschitzienne sous-linéaire, parce que la croissance polynomiale d’un espace homogène équivaut à la propreté de tous ses cônes asymptotiques (Cornulier [39, Corollary 3.5]).
C.1.2. Groupes semi-simples sans facteur compact (présentation axiomatique) Commençons par rappeler que le cône asymptotique des groupes de Lie simples de rang réel un est un R-arbre homogène. Les cônes asymptotiques d’un groupe semi-simple G (ou de son espace symétrique rie-mannien associé Y ) ont été décrits par Kleiner et Leeb [99]. Leur dimension topologique est toujours finie égale à
dim ConeU(G, rj) = rkRG. (7)
Il s’agit d’immeubles euclidiens, objets construits à partir de réalisations géométriques associés aux complexes de Coxeter de type affine, non discrets, appelés appartements. Il se présentent de plusieurs manières, axiomatique-ment ou plus expliciteaxiomatique-ment. Kleiner et Leeb donnent des axiomes qui se
16A rapprocher de l’opération décrite au paragraphe précédent pour les groupes de Heintze où la partie imaginaire des valeurs propres de la dérivation peut être supprimée.
17
De même que ces coordonnées, l’identification de l’algèbre de Lie avec celle de son ombre nilpotente résulte de choix qui ne sont pas canoniques.
trouvent équivalents à ceux de Tits pour les immeubles de type affine [148, p.162], si on y ajoute la maximalité de l’atlas des appartements, d’après Parreau [129, Proposition 2.21]. L’avantage des axiomes de Kleiner et Leeb pour ce problème est qu’ils sont plus proches de ceux vérifiés par l’espace sy-métrique riemannien de façon à pouvoir s’en déduire par préservation après ultraproduit [99, 4] et suffisent pour les applications qu’on va décrire. D’un autre côté, la théorie développée par Tits menait, du moins dans le cas lo-calement fini, à une classification [148, Corollaire p.175], en se ramenant à une construction antérieure de Bruhat-Tits (en réponse à une axiomatique différente) où les données sont un groupe algébrique semi-simple et un corps valué.
La motivation de Kleiner et Leeb était l’énoncé de rigidité des quasiiso-métries suivant (voirC.4 pour les conséquences).
Théorème 17 ([99, Th 1.1.3]). Soit Y un espace symétrique irréductible de rang supérieur, G = Isom(Y ). Toute quasiisométrie de Y est à distance bornée d’un élément de G.
Il y a un homomorphisme G → QIsom(Y ), qui se trouve être injectif [81, p.39] ; le théorème dit que c’est un isomorphisme. C’est par cette reconstruc-tion de G dans le cas irréductible (et la préservareconstruc-tion de la structure produit [99, 6.4.3], illustrée en [99, 9]), que Kleiner et Leeb déduisent la classifica-tion à quasiisométrie près [99, Corollary 1.1.4] : si deux espaces riemanniens symétriques de type non compact sans facteur de rang un sont quasiisomé-triques, alors après normalisation des distances dans chacun des facteurs de leurs décompositions de de Rham, ils peuvent être rendus isométriques. L’hy-pothèse d’absence de facteurs de rang un (ou même plats) peut être enlevée d’après la classification des espaces symétriques de rang un à quasiisométrie près par Mostow [119]. La source du théorème17 est la propriété de rigidité topologique suivante des cônes asymptotiques.
Théorème 18 (Kleiner et Leeb [99, Th 6.4.4]). Un homéomorphisme entre immeubles euclidiens irréductibles de rang au moins 2 dont la partie de trans-lation du groupe de Weyl est d’orbites dense sur les appartements18 est une homothétie.
Depuis les théorèmes de Kleiner et Leeb, des descriptions non axioma-tiques des cônes asymptoaxioma-tiques de Y espace symétrique de type non compact
18
On peut remplacer l’hypothèse par « cône asymptotique d’espace riemannien symé-trique irréductible de rang réel au moins 2 ».
ont été données par Thornton19 [146] et Parreau20 [130], la dernière faisant intervenir les données de Bruhat-Tits quand Y = Pn et G = SLn est tel que G(R) = Isom(Y ).