Durée : 2 heures
Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est don-née
Activités numériques 12 points
Exercice 1 :
Dans une salle de cinéma les enfants paient demi-tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50(.
1. Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants ? 2. Quel est le prix payé par un adulte ?
Si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche.
Elle sera prise en compte dans la notation.
Exercice 2
Dans cet exercice, tous les dés sont équilibrés.
1. Aline possède deux dés très particuliers. Un patron de chacun de ces deux dés est donné ci-dessous :
Dé no1 Dé no2
1 2 3 4
2
3
1 4 6 8
3
5
Elle lance ses deux dés puis elle note le nombre obtenu avec le premier dé et celui obtenu avec le second dé. Elle calcule ensuite la somme de ces deux nombres. Par exemple, si elle obtient un « 4 » avec le dé no1 et un « 5 » avec le dé no2, la somme est égale à 9.
Aline a obtenu une somme égale à 8. Écrire toutes les possibilités de lancers qui correspondent à ce résultat.
2. Aline se demande quelle est la probabilité d’obtenir les différentes sommes.
Pour se faire une idée elle décide d’effectuer 5 000 lancers. Voici ses résultats.
Sommes 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Effectifs avec les
dés d’Aline 122 264 418 592 677 848 724 529 398 301 127 Avec quelle fréquence Aline a-t-elle obtenu une somme égale à 6 ?
3. Bertrand possède deux dés classiques. Sur chaque dé, les faces sont numéro-tées 1, 2, 3, 4, 5 et 6 de telle façon que la somme des nombres inscrits sur deux faces opposées soit égale à 7.
a. Compléter sur l’ANNEXE 2, page 9/9, le patron qui correspond à un dé classique de telle sorte que cette consigne soit respectée.
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
b. Bertrand voudrait obtenir une somme égale à 2 avec deux dés. A-t-il plus de chances d’obtenir ce résultat en lançant les deux dés d’Aline ou en lançant ses deux dés ?
Exercice 3
Les figures ci-dessus représentent un carré de côté 1+p
3 et un rectangle de largeur 1 et de longueur indéterminée. Les longueurs sont données en centimètres, mais les dessins ne sont pas en vraie grandeur.
Les deux questions sont indépendantes
1. Dans cette question, on veut que le périmètre du rectangle EFGH soit égal à celui du carré ABCD.
Déterminer dans ce cas la valeur exacte de FG.
2. Dans cette question, on veut que les aires des deux quadrilatères ABCD et EFGH soient égales.
Justifier que la valeur exacte de FG est alors 4+2p 3.
Activités géométriques 12 points
Exercice 1 :
1. Le dessin ci contre est une re-présentation en perspective ca-valière d’un prisme droit à base triangulaire.
Les faces BAC et DEF de ce so-lide sont des triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit mesurent 2 cm et 4 cm.
La hauteur de ce prisme est 7 cm.
Construire en vraie grandeur la face ACFD.
2. Calculer le volume de ce prisme.
Le dessin n’est pas à l’échelle A
On a dessiné et codé quatre figures géométriques. Dans chaque cas, préciser si le triangle ABC est rectangle ou non.
Une démonstration rédigée n’est pas attendue. Pour justifier, on se contentera de citer une propriété ou d’effectuer un calcul.
Métropole 42 septembre 2011
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
A B
C
// O //
//
Figure 1
A B
C 4,25 cm
3,75 cm
2 cm
Figure 2
A B
C
// //
//
Les points A, B et D sont alignés.
Figure 3
A B
C
49 ° 36 °
Figure 4
Exercice 3
Le dessin donné ci-contre n’est pas en vraie grandeur.
Il représente une figure géométrique pour la-quelle on sait que :
• ABC est un triangle rectangle en B,
• E est sur le segment [AB] et D sur le segment [AC],
• AE = 2,4 cm,
• AB = 3 cm,
• AC = 8 cm,
• AD = 6,4 cm.
A
B
C D
E
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Calculer la mesure de l’angle BAC à un degré près.
3. Démontrer que AED est un triangle rectangle.
Métropole 43 septembre 2011
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
Problème 12 points
Les trois parties sont indépendantes
Jérémy visite Londres avec ses parents. Ils décident d’aller au « London Eye », la grande roue panoramique de Londres.
1repartie
Utiliser les documents 1 et 2 de l’ANNEXE 1, pour répondre aux questions de cette partie.
1. Est-il vrai que le « London Eye » est plus de deux fois plus haut que la grande roue installée à Paris en août 2010 ? Aucune justification n’est attendue.
2. Quelle est la différence de hauteur entre le « London Eye »et la grande roue de Pékin ?
3. Combien de temps dure un tour complet de la roue dans le « London Eye » ? 4. Combien de personnes au maximum peuvent se trouver ensemble dans le
« London Eye » ?
Dans toute la suite du problème on considère que : la roue est un cercle dont le diamètre est égal à 134 m.
la cabine est un point sur ce cercle ; on notera ce point C.
2epartie - Le tour de roue d’une cabine du « London Eye »
1. Une cabine du « London Eye » quitte le sol à 14 h 40. À quelle heure y reviendra-t-elle après avoir fait un tour ?
2. Pour cette question, on utilisera le graphique donné dans le document 3 de l’ANNEXE 1.
a. Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq minutes après son départ du sol.Aucune justification n’est attendue.
b. Donner une valeur approchée de la hauteur à laquelle se trouve la cabine dix minutes après son départ du sol.Aucune justification n’est attendue.
c. Au cours des quinze premières minutes de la montée, la hauteur à la-quelle se trouve la cabine est-elle proportionnelle au temps écoulé de-puis son départ du sol ?
d. Donner une estimation de la durée pendant laquelle la cabine sera à plus de 100 m de hauteur par rapport au sol pendant un tour.Aucune justifi-cation n’est attendue.
3. Calculer le périmètre de la roue. Donner le résultat arrondi au mètre près.
4. La roue tourne à une vitesse constante. Est-il exact que la cabine se déplace à moins de 1 km/h ?
3epartie - Calcul de la hauteur de la cabine par rapport au sol La roue ne s’arrête pas pour laisser monter et
des-cendre ses passagers. Elle tourne à une vitesse très faible et constante. Sur le schéma, le point C repré-sente la cabine. Quand la cabine se trouve en bas, le point C est confondu avec le point D.
Pendant que la roue tourne, on admet que l’angle COD est proportionnel au temps écoulé depuis que la cabine a quitté le sol.
O
D
C
Métropole 44 septembre 2011
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
1. Compléter les schémas de l’ANNEXE 2, en plaçant le point C où se trouve la cabine à l’instant précisé. On considère qu’au départ, la cabine est en bas.
2. a. Quelle est la mesure de l’angleCOD cinq minutes après le départ ? b. Quelle est alors la nature du triangle COD ?
c. Retrouver par le calcul la hauteur à laquelle se trouve la cabine cinq mi-nutes après qu’elle a quitté le sol.
Métropole 45 septembre 2011
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
Annexe 1
Document 1 :Informations sur cinq grandes roues touristiques du monde
Nom Hauteur Année de
construc-tion
Pays Ville
La grande roue de Pékin
(Beijing Great Wheel) 208 m 2009 Chine Beijing
Singapore Flyer 165 m 2008 Singapour Singapour
London Eye 135 m 1999
Royaume-Uni
Londres Tempozan Harbor Village
Ferris Wheel 112,5 m 1997 Japon Osaka
Grande Roue de Paris 60 m 2010 France Paris
Document 2 :Extrait du dépliant touristique du « London Eye »
Le « London Eye » accueille une moyenne de 3,5 millions de visiteurs chaque année.
Horaires d’ouverture : 10 h - 21 h 30.
Fermé du 3 au 8 janvier et le 25 décembre.
La grande roue, véritable triomphe de la technologie, haute de 135 m pour une masse totale de 2 100 tonnes, constitue un nouveau point de repère spectaculaire au bord de la Tamise.
Pendant un tour complet d’une durée de 30 minutes, les visiteurs sont installés dans 32 cabines fermées qui peuvent contenir chacune 25 personnes au maximum ; ils découvrent une vue exceptionnelle s’étendant sur 20 km à la ronde !
Document 3 :Le tour de roue d’une cabine du London Eye
Le graphique ci-dessous représente la hauteur, par rapport au sol, à laquelle se trouve une cabine du London Eye en fonction du temps écoulé depuis que cette cabine a quitté le sol.
La hauteur est mesurée en mètres et le temps est mesuré en minutes.
0
Temps écoulé depuis le départ du sol (en minutes)
Hauteurenmètres
Métropole 46 septembre 2011
Brevet des collèges A. P. M. E. P.
À rendre avec la copie Activités numériques
Exercice 2 3. a.
Dé classique
. . . 2 . . .
. . .
ProblèmeAucune justification n’est attendue
O
D Au départ
O
D
5 min après le départ
O
D
15 min après le départ
O
D
30 min après le départ
Métropole 47 septembre 2011