L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points
Exercice 1
1. Calculer les nombres A et B. Écrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.
A=7 9÷
µ1 3−2
¶
B=7ס 7−2¢−4
711 2. On donne C=3p
54?7p 6−p
2×p 12.
Montrer que C est un nombre entier.
Exercice 2
SoitD=(3x+5)(2?x)−(2−x)2. 1. Développer puis réduireD.
2. FactoriserD.
3. Résoudre (2−x)(4x+3)=0.
Exercice 3
En l’an 200, le nombre de voitures vendues en France a été de 2 134 milliers, répartis de la façon suivante :
• 602 milliers de Renault ;
• 262 milliers de Citroën ;
• 398 milliers de Peugeot ;
• et des voitures de marques étrangères.
1. Quelle est la fréquence des ventes, exprimée en pourcentage et arrondie à 1 %, pour les voitures de marques étrangères ?
2. Dans le total des ventes de voitures françaises, quel pourcentage représentent les voitures Renault ?
Exercice 3
1. Résoudre le système suivant :
½ x−y = 24 x−3y = 16
2. La différence de deux nombres est 24. Quels sont ces deux nombres sachant que si on augmente l’un et l’autre de 8, on obtient deux nouveaux nombres dont le plus grand est le triple du plus petit ?
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points Exercice 1 :
Tracer un carré RIEN de côté 5 cm.
1. Construire le point P image de I par la translation de vecteur−→RE .
2. Sans utiliser d’autres points que ceux de la figure, recopier et compléter les égalités suivantes :
−→RE+−EI→=... ; −−→NR+−IP→=... ; −−→RN+−RI→=...
Exercice 2 :
Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.
On considère un triangle RNT rectangle en R tel que :
NR = 9 cm ; AR = 6 cm ; NT = 10,2 cm BT = 1,6 cm.
N R
T A
B
1. Calculer la valeur de RT.
2. En considérant que RT = 4,8 cm, démontrer que les droites (AB) et (NT) sont parallèles.
3. Calculer la mesure de l’angleRNT ; en donner la valeur arrondie au degré près.
Exercice 3 :
Les deux cônes de révolution de rayons KA et IB, sont opposés par le sommet.
Les droites (AB) et (KI) se coupent en S, et de plus (BI) et (KA) sont parallèles.
On donne : KA = 4,5 cm, KS = 6 cm et SI = 4 cm.
A B
I
K S
Cône 1 Cône 2
1. Calculer BI.
2. Calculer le volume V1du cône 1 (Donner la valeur exacte puis la valeur arron-die au cm3).
3. Le cône 2 est une réduction du cône 1.
Quel est le coefficient de réduction ? Par quel nombre exact faut-il multiplier V1, volume du cône 1, pour obtenir directement le volume V2du cône 2 ?
39 Amérique du Nord
Brevet des collèges juin 2002 A. P. M. E. P.
PROBLÈME 12 points
Les parties 1 et 2 sont indépendantes Partie 1
Par lecture graphique (voir feuille annexe). Dans le repère orthonormal (O,I,J) d’unité le centimètre.
1. a. On considère la fonctionf : x7→2x. De quel type de fonction s’agit-il ? b. Vérifier que (∆1) est la représentation graphique de cette fonction.
Justi-fier.
2. Pour la droite (∆2), lire et répondre sur la copie.
a. Les coordonnées du point A, intersection de (∆2) avec l’axe des abscisses.
b. Les coordonnées du point B, intersection de (∆2) avec l’axe des ordon-nées.
c. Donner la fonction affine g dont (∆2) est la représentation graphique.
d. Dessiner en pointillés dans le repère les traits de constructions permet-tant de donner les réponses suivantes :
½ g(3) = ...
g(x) = 4 pour x=...
O I J
(∆1) (∆2)
Partie 2
Dans le repère orthonormal (O, I, J) d’unité le centimètre.
1. a. Placer les points R(−7 ;−2), F(−5 ; 2) et V(−3 ;−4).
b. Calculer les coordonnées du vecteur−→RF .
40 Amérique du Nord
c. Vérifier que RF=2p 5.
d. On donne RV=p
20 et VF=2p
20. Prouver que le triangle RFV est rec-tangle isocèle.
2. Calculer les coordonnées du point K milieu de [FV].
3. a. Déterminer par son centre et son rayon le cercle (C) circonscrit au tri-angle RFV. Justifier puis tracer (C).
b. Placer le point N symétrique de R par rapport à K. Démontrer que le qua-drilatère RFNV est un carré.
c. Donner les valeurs exactes du périmètre et de l’aire de RFNV.
4. Sachant que le point P(−3 ; 2) est sur le cercle (C), tracer l’angleRPV et prou-d ver que sa mesure est 45°.
41 Amérique du Nord
[ Brevet - Antilles-Guyane septembre 2001 \
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points
Exercice 1
En écrivant les calculs intermédiaires, exprimer sous la forme d’une fraction irré-ductible :
2. Trouver l’entier positif A tel que :p A=13p
31.
Exercice 3
Trois floups et deux glaces coûtent vingt-sept francs ; deux floups et trois glaces coûtent trente francs.
Calculer le prix d’un floup et celui d’une glace.
Exercice 4
Soit l’expression :E=49−(3x−4)2. 1. Développer et réduireE.
2. FactoriserE.
3. Résoudre l’équation :E=0.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points
Exercice 1
Monsieur Dupont possède line propriété ayant la forme du schéma suivant :
A B
100 m C 100 m
Le côté [AB] du triangle iso-cèle ABC mesure 100 m, et le demi-cercle a pour diamètre [BC].
1. Calculer la valeur exacte de BC.
2. Calculer la superficieréelledu terrain. P.
3. Calculer le périmètreréeldu terrain.
N. B. On utilisera leπde la calculatrice ; on arrondira les résultats demandés au centième en précisant clairement les unités.
4. Soir I le milieu de [AC]. Calculer la mesure en degrés de l’angleABI (résultatd arrondi au centième).
Exercice 2
Construire 1e triangle KLM tel que :
KM = 10 cm KL = 5 cm et LM =7 cm.
Placer sur [KM] le point N tel que KN = 4 cm.
La parallèle à (LM) passant par N coupe (LK) en R.
1. Calculer KR et NR.
2. Calculer le périmètre du quadrilatère LMNR
PROBLÈME 12 points
Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, I, J), l’unité est le centimètre.
1. Placer les points :
A(−4 ; 5) B(2 ;−3) C(−1 ; 6)
2. Calculer les distances AB, AC et BC (on donnera les valeurs exactes).
3. Démontrer alors que le triangle ABC est rectangle et préciser en quel sommet.
4. On considère la fonction afflnef r´telle quef(x)=ax+bqui vérifie : f(−4)=5 etf(−1)=6.
a. Déterminer les coefficientsaetb.
b. Construire la représentation graphique def. 5. Quelle est l’image parf de 2 ?
6. On salt que la droite (AC) coupe l’axe des abscisses ers un point E dont l’or-donnée est 0. Quelle est son abscisse ?
43 Antilles-Guyane
[ Brevet - Asie du Sud-Est juin 2002 \
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 12 points
Exercice 1
Calculer et donner les résultats :
– sous forme de fraction irréductible pourQ; – en écriture scientifique pourS.
Q= 2×3
5 7 3−1
S=2×10−5×1,2×102 3×10−7
Exercice 2
1. Ecrire sous la formeap
7 avecaentier : R=p
63+3p 28−p
700.
2. Montrer, par un calcul, que le nombreUest un entier : U=
³2−p 3´
×
³2+p 3´
.
3. Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées (arrondies au mil-lième) des nombres :
5−4p
2 et 1
p5−2
Exercice 3
On considère les expressions : E=4x(x+3) etF=x2+6x+9.
1. Résoudre l’équationE=0.
2. a. Calculer la valeur deFpourx= −2.
b. Vérifier queF=(x+3)2. 3. a. DévelopperE.
b. RéduireE−F. c. FactoriserE+F.
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES 12 points Exercice 1
Pour consolider un bâtiment, on a construit un contrefort en bois (dessin ci-contre).
On donne :
BS = 6 m ; BN = 1,8 m ; AM = 1,95 m ; AB = 2,5m.
1. En considérant que le montant [BS] est perpen-diculaire au sol, calculer la longueur AS.
2. Calculer les longueurs SM et SN.
3. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.
Soit [IJ] un segment et M un point du cercle de diamètre [IJ]. Faire une figure.
1. Que dire de l’angleIMJ ? Justifier.d 2. Construire le point K tel que−−→MK=−−→IM . 3. Construire le point L tel que−JL→=→−JI+−JK .→ 4. Déterminer la nature du quadrilatère IJKL.
Exercice 3
La figure n’est pas à l’échelle
O
On considère le cercle (C) de centre O, point de la demi-droite [Ay). La demi-droite [Ax) est tangente à (C) en T. On donne AT = 9 cm.
1. Calculer une valeur approchée au millimètre près du rayon du cercle (C).
2. A quelle distance de A faut-il placer un point B sur [AT] pour que l’angleOBT mesure 30o?
(Donner une valeur approchée arrondie au millimètre.)
PROBLÈME 12 points
Partie A
1. a. Construire un triangle EFG, de base [FG] et tel que : EF = 5,4 cm ; EG = 7,2 cm ; FG = 9 cm.
b. Soit M le point du segment EF] tel que EM =2 3×EF.
Calculer la longueur EM puis placer le point M.
45 Asie du Sud-Est
Brevet des collèges juin 2002 Brevet des collèges juin 2002
c. Par M on mène la parallèle à la base [FG] ; elle coupe le côté [EG] en N.
Compléter la figure.
Calculer EN.
2. a. Démontrer que le triangle EFG est rectangle en E.
b. En déduire l’aire du triangle EMN.
Partie B
Dans cette partie le point M n’est plus fixe maismobilesur le segment [EF].
On pose EM=xet ce nombrexreprésente alors unelongueur variable.
(Il n’est pas demandé de nouvelle figure.)
1. a. Entre quelles valeurs extrêmes peut varier le nombrex? Soit N le point de [EG] défini comme dans la partie A.
Exprimer la longueur EN en fonction dex.
b. Montrer que l’aireA(x) du triangle EMN est :A(x)=2 3x2.
Sur le graphique ci-après, on a porté la longueurxen abscisses et l’aire A(x) du triangle EMN en ordonnée.Ce graphique est à compléter.
2. Après avoir effectué les tracés nécessaires sur le graphique :
a. Lire une valeur approchée de l’aire du triangle EMN lorsquex=3,5cm.
b. Déterminer la valeur approximative dexpour laquelle l’aire du triangle EMN est égale à 12 cm2.
0 1 2 3 4
0 10
Longueurxen cm Aire du triangle EMN=A(x)
46 Asie du Sud-Est