-5 -4 -3 -2 -1 0 1
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
1kF1a
F
Figure 4.1: Variations deF (ligne pleine) le long du crossover BEC-BCS compar´ees aux r´esultats de simulations Monte-Carlo. La ligne en traits tiret´es provient d’un calcul perturbatif au troisi`eme ordre en kFa. Les points Monte-Carlo [27] sont obtenus `a partir de l’ajustement des donn´ees Monte-Carlo `a la loi de Landau-Pomeranchuk (4.5).
qui, combin´e aux relations de Gibbs-Duhem ni=∂µiP, conduit `a l’´equation d’´etat P = 1
15π2
"
2m
~2 3/2
µ5/21 + 2m∗
~2 3/2
(µ2−µp)5/2
#
. (4.11)
Ce r´esultat est valable pour un gaz de polarons dilu´e, les corrections ´etant d’ordre (µ2 − µp)7/2. Physiquement, l’´equation d’´etat (4.11) d´ecrit un m´elange de deux gaz id´eaux de Fermi, un pour l’esp`ece majoritaire, l’autre pour le gaz de polarons. Dans cette approche grand-canonique (et `a cet ordre d’approximation), les polarons n’interagissent pas. Le lecteur sera donc peut-ˆetre surpris d’apprendre que l’´energie, dans l’ensemble canonique, calcul´ee `a partir de la pression (4.11), est exactement la loi de Landau-Pomeranchuk (4.5) pour n2/n1 1, o`u F est donn´ee par la relation (4.8) ´etablie heuristiquement au 4.3.1.
Le fait que la pr´esence d’interactions entre polarons d´epende de l’ensemble consid´er´e se comprend `a partir de l’image physique d´evelopp´ee au 4.3.1. L’effet de d´epl´etion de l’esp`ece majoritaire dˆu `a la formation des polarons n’intervient pas dans l’ensemble grand-canonique o`u c’est le potentiel chimiqueµ1 qui est fix´e et non la densit´en1.
De fa¸con assez surprenante le d´eveloppement (4.11), valable en principe pour un gaz de fermions fortement polaris´e, se r´ev`ele en fait quantitatif jusqu’`a des concentrations ´elev´ees de polarons. Les mesures exp´erimentales collent mˆeme `a l’´equation (4.11) jusqu’`a la transition entre les phases (II) et (I), comme on le voit sur la figure 4.2, et on peut ainsi retrouver analy-tiquement la position de la transition (I)-(II) µ2/µ1 ∼0.065.
R´ef´erence :C. Mora, F. Chevy,The normal phase of an imbalanced Fermi gas, Phys. Rev.
Lett. 104, 230402 (2010).
4.4 Boson composite dans une mer de Fermi
La physique du polaron, discut´ee aux 4.2 et 4.3, est pertinente pour des longueurs de diffusion an´egatives ou au voisinage de l’unitarit´e lorsque kF|a| 1. Cela correspond en gros au domaine des abscisses de la figure 4.1. L’´etat fondamental du probl`eme `a N+1 corps change
4.4. Boson composite dans une mer de Fermi 39
Figure 4.2: ´Equation d’´etat d’un gaz de fermions unitaire polaris´e dans l’ensemble grand-canonique.
h(η =µ2/µ1) = P(µ1, µ2)/P0(µ1) est le rapport entre la pression du gaz et celle d’un gaz id´eal com-prenant une seule esp`ece de spin. La phase normale partiellement polaris´ee (II) est favoris´ee pour η = [A, ηc] ∼ [−0.6,0.065], la phase superfluide (I) pour η > ηc et la phase normale compl`etement polaris´ee (III) pour η < A. La ligne en traits tiret´es repr´esente notre pr´ediction (4.11) et la ligne en pointill´es celle d’un calcul Monte-Carlo [21]. La ligne pleine (rouge) correspond `a l’´energie du gaz unitaire superfluide non-polaris´e (I) et ne d´epend donc que d’un seul param`etre. Insert : ratiosn2/n1 entre les densit´es calcul´es `a partir des identit´esni=∂µiP et compar´es aux donn´ees exp´erimentales. Les donn´ees exp´erimentales de cette figure, repr´esent´ees par des points noirs avec leurs barres d’erreur, sont extraites de la r´ef´erence [17].
de structure lorsque la longueur de diffusion devient positive et petite, kFa 1. L’impuret´e commence par capturer un des fermions majoritaires pour former un dim`ere fortement li´e dont l’´energie de liaison ~2/ma2 exc`ede largement l’´energie de Fermi εF. En cons´equence, la mer de Fermi modifie de fa¸con perturbative le dim`ere. Pr´ecisons que les fermions majoritaires sont indiscernables et que l’impuret´e peut donc ´echanger son partenaire avec un fermion de la mer de Fermi : le dim`ere est un boson composite. Toutefois, le calcul de l’´energie ne fait apparaˆıtre cet aspect composite qu’au troisi`eme ordre non nul en perturbation. On s’attend `a ce que la premi`ere correction `a l’´energie du dim`ere soit le terme de champ moyengadn1, proportionnel `a la densit´e de fermions majoritaires, o`u la constante de couplagegad = 3π~2aad/mfait intervenir la longueur de diffusion atome-dim`ere aad = 1.1786a.
Nous avons donc, pourkFa1, un ´etat fondamental o`u l’impuret´e est un boson composite et non un polaron. Un calcul diagrammatique Monte-Carlo [22] pr´edit que la transition entre le polaron et la mol´ecule composite est discontinue (du premier ordre) et intervient pour 1/kFa' 0.91(2), en plutˆot bon accord avec des mesures exp´erimentales radio-fr´equences [29].
Avec F. Chevy, nous nous sommes int´eress´es `a la description th´eorique de la mol´ecule ha-bill´ee par la mer de Fermi. Nous avons tout d’abord calcul´e le d´eveloppement de son ´energie en puissances de xF = kFa jusqu’au premier ordre indiquant sa nature composite. Le probl`eme du d´eveloppement de l’´energie du dim`ere composite n’esta prioripas simple car la pr´esence du probl`eme `a trois corps implique des resommations diagrammatiques. Nous avons donc choisi de partir d’une approche variationnelle o`u la fonction d’onde du dim`ere habill´e inclut les ex-citations de z´ero, une ou deux paire(s) particule-trou. L’hamiltonien de d´epart est par ailleurs
4.4. Boson composite dans une mer de Fermi 40
Figure4.3: Notre fonction d’onde variationnelle n’inclut qu’un nombre restreint d’excitations particule-trou : z´ero pour la premi`ere ligne, puis un et deux pour la second et la troisi`eme ligne. Les deux colonnes correspondent au canal occup´e, ferm´e ou ouvert, dans le mod`ele `a deux canaux.
un mod`ele `a deux canaux, le mˆeme qu’au 3.3, o`u l’interaction entre fermions est m´edi´ee par un boson ponctuel d´ecrivant le canal ferm´e. La fonction d’onde variationnelle est repr´esent´ee sch´ematiquement figure 4.3.
L’int´erˆet de cette approche par fonction d’onde, par contraste avec une approche diagram-matique [30], est que les processus `a trois corps sont automatiquement resomm´es. On applique ensuite aux ´equations issues du probl`eme variationnel le d´eveloppement perturbatif5 enxF. Le r´esultat obtenu pour l’´energie est l’in-t´erieur de la parenth`ese correspond `a l’´energie du dim`ere seul, les deux suivants6 `a l’excitation d’une unique paire particule-trou, le quatri`eme enfin `a l’excitation de deux paires particule-trou. Il est utile de comparer ce r´esultat `a l’´energie d’un boson non-composite (de taille nulle) plong´e dans une mer de Fermi. On retrouve alors exactement l’´equation (4.12), dont l’´energie du dim`ere −~2/ma2 a ´et´e soustraite et o`uaad d´esigne la longueur de diffusion fermion-boson, mais avecα3 '0.00025 ˜a3ad au lieu deα3'0.0637. Cette diff´erence dans le dernier terme r´ev`ele l’aspect composite de la mol´ecule.
Nous avons aussi d´etermin´e l’´energie de la mol´ecule habill´ee par une approche purement variationnelle [31] incluant une excitation particule-trou tout au plus. Dans cette approche, les
´equations obtenues ne sont pas d´evelopp´ees en xF mais r´esolues exactement. On n’a pas pris en compte les excitations `a deux paires particule-trou pour rendre le probl`eme tractable
nu-5. pr´ecisons que, pour ce probl`eme comme pour le polaron, le d´eveloppement en puissances dexF co¨ıncide avec le d´eveloppement en nombres d’excitations particule-trou. ´Etendre l’espace variationnel `a trois excitations particule-trou ou plus ne fait que rajouter des contributions d’ordres sup´erieurs en xF `a l’´energie. Ainsi les coefficients du d´eveloppement perturbatif (4.12) obtenus sont-ils exacts, mˆeme si le point de d´epart du calcul est variationnel.
6. le second terme se r´ecrit commegadn1.
Bibliographie 41
Figure 4.4: Comparaison entre les ´energies des ´etats polaron (l’impuret´e est un fermion) et mol´ecule (l’impuret´e est un boson composite). Ligne pleine (tiret´ee) : calcul variationnel de l’´energie pour le polaron (mol´ecule). Cercles pleins : r´esultats exp´erimentaux du MIT [29]. Diamants pleins (vides) : calculs Monte-Carlo diagrammatiques [22] pour la mol´ecule (le polaron).
m´eriquement. Le tr`es bon accord entre nos r´esultats, les calculs Monte-Carlo diagrammatiques et les mesures exp´erimentales est illustr´e figure (4.4). De fa¸con identique au cas du polaron, la mol´ecule semble ainsi tr`es bien se prˆeter `a une description th´eorique variationnelle.
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Chapitre 5
Perspectives
Je donne dans ce qui suit un aper¸cu des projets scientifiques que je souhaite d´evelopper dans les prochaines ann´ees `a la fois dans le domaine des atomes froids et dans celui de la physique m´esoscopique ou nanoscopique.
D´eveloppement du viriel
Une m´ethode ing´enieuse [1] permet, dans les exp´eriences sur des gaz d’atomes froids pi´eg´es, de d´eterminer [2] directement l’´equation d’´etat du gaz `a partir de la mesure de la densit´e int´egr´ee suivant la direction du faisceau laser de d´etection. `A haute temp´erature, l’´equation d’´etat prend la forme d’un d´eveloppement en puissances de la fugacit´e [3], dont les diff´erents ordres sont d´etermin´es par des processus `a quelques corps. Dans le cas d’un gaz de fermions comprenant deux ´etats de spin ´equilibr´es, un d´esaccord existe pour le terme d’ordre quatre entre, d’un cˆot´e des mesures exp´erimentales [2] et un calcul Monte-Carlo diagrammatique de l’´equation d’´etat `a haute temp´erature1, d’autre part une approche microscopique [4] du probl`eme `a quatre corps auquel ce terme d’ordre quatre est reli´e. Nous nous proposons d’´etudier le probl`eme `a quatre corps `a l’unitarit´e o`u le probl`eme est invariant d’´echelle, `a 2 ↑ +2↓ et 3↑ +1 ↓ fermions, et d’en d´eduire la valeur du terme d’ordre quatre afin de r´esoudre ce d´esaccord.
Polarons
Deux directions peuvent ˆetre envisag´es pour poursuivre notre travail sur la physique du pola-ron et de la mol´ecule habill´ee par une mer de Fermi. Tout d’abord le cas bidimensionnel o`u les fluctuations quantiques sont plus importantes et les m´ethodes de fonction d’onde variationnelle ne sont pas aussi efficaces qu’`a trois dimensions [5, 6]. Une exp´erience r´ecente [7] a r´ealis´e un gaz d’atomes froids fermioniques, `a la limite unitaire, dans une g´eom´etrie bidimensionnelle o`u les atomes sont confin´es spatialement suivant une direction de l’espace et faiblement pi´eg´es dans les deux autres. La question d’une transition entre un ´etat polaron et un ´etat mol´eculaire reste ouverte `a deux dimensions, ainsi que la forme des interactions entre ces polarons. Une autre direction de recherche concerne le polaron r´epulsif apparaissant sur une branche m´eta-stable pour une longueur de diffusionapositive mais petite. La physique du polaron r´epulsif est pertinente pour l’´etude d’une ´eventuelle transition de Stoner dans un gaz froid fermionique [8,9].
Effet Kondo et supraconductivit´e
1. communication avec F. Werner.
45 Une boˆıte quantique nanoscopique peut ˆetre connect´ee `a deux ´electrodes macroscopiques su-praconductrices formant l’´equivalent d’une jonction Josephson. Les propri´et´es de transport de ce dispositif hybride d´ependent alors des caract´eristiques de la boˆıte et le blocage de Coulomb entre en comp´etition avec le passage tunnel des ´electrons entre les deux ´electrodes [10]. Lorsque le couplage aux ´electrodes est interm´ediaire, c’est-`a-dire bon mais sans affecter la quantifica-tion de la charge due aux interacquantifica-tions, la pr´esence d’un nombre impair d’´electron dans la boˆıte conduit `a un r´egime int´eressant o`u la formation d’un ´etat r´esonant Kondo fortement corr´el´e peut ˆetre d´etruit par l’appariement BCS des ´electrodes [11–13]. La r´esonance Kondo implique en effet l’´ecrantage du spin isol´e de la boˆıte quantique par un ´electron de conduction qui ne peut provenir que de la brisure d’une paire de Cooper dans les condensats BCS des ´electrodes.
On obtient ainsi en fonction du rapport ∆/TK une transition de phase quantique entre un ´etat Kondo lorsque TK domine vers un spin isol´e non-´ecrant´e lorsque ∆ domine. Nous souhaitons
´etudier de fa¸con syst´ematique le r´egime Kondo ∆/TK 1 `a l’aide de l’approche de liquide de Fermi [14, 15]. Nous chercherons en particulier `a d´eterminer la position et l’´evolution avec
∆/TK des ´etats d’Andreev qui sont des ´etats localis´es apparaissant sous le gap et caract´eri-sant l’´etat du syst`eme hybride [16]. En plus de porter le courant Josephson non-dissipatif, ces
´etats ont r´ecemment ´et´e directement observ´es [17,18] `a l’aide d’un troisi`eme contact non invasif.
Circuit RC quantique
Que l’on consid`ere le mod`ele de Matveev-Glazman ou bien le mod`ele d’Anderson, les diff´erents r´esultats que nous avons obtenus sur le circuit RC quantique sont toujours bas´es sur le fait que le point fixe de basse ´energie du mod`ele est un liquide de Fermi. Nous avons donc commenc´e `a nous int´eresser au cas non-liquide de Fermi qui ´emerge par exemple dans le mod`ele de Matveev-Glazman d`es lors que l’on consid`ere deux canaux de conduction et que l’on s’approche de la d´eg´en´erescence de charge [19]. Pr´ecisons que le point fixe non-liquide de Fermi est en g´en´eral peu robuste, se d´estabilisant ais´ement vers un point fixe liquide de Fermi, et n´ecessite donc un ajustement pr´ecis des param`etres du mod`ele. N´eanmoins, mˆeme dans une situation o`u le point fixe de basse ´energie est un liquide de Fermi, on peut retrouver `a ´energie interm´ediaire la signature d’une physique non-liquide de Fermi. `A proximit´e du point fixe non-liquide de Fermi, ce crossover entre liquide de Fermi et non-liquide de Fermi peut par ailleurs ˆetre d´ecrit analytiquement [20].
Un des r´esultats de notre dernier travail sur le circuit RC quantique est que la dissipation peut ˆetre reli´ee `a la distribution des ´etats de basse ´energie du mod`ele [21]. Il est donc pos-sible de consid´erer le cas d’une boˆıte quantique d´esordonn´ee dont la distribution des niveaux d’´energie est donn´ee par la th´eorie des matrices al´eatoires [22] (ou du mod`ele sigma non-lin´eaire supersym´etrique d’Efetov). On doit ainsi pouvoir calculer le crossover entre les r´esistances uni-verselles Rq = h/2e2 et Rq = h/e2 en fonction du rapport ∆/Ec o`u ∆ est ici l’´ecart moyen entre niveaux et Ec l’´energie de charge de la boˆıte. Ce crossover va d´ependre notamment du champ magn´etique qui fait transiter le syst`eme entre les ensembles orthogonal et unitaire (GOE et GUE). Une question reli´ee que nous souhaitons aussi aborder est l’effet du d´ephasage des
´electrons et de la temp´erature sur nos r´esultats. On sait que la pr´ediction de B¨uttiker sur la r´esistance quantique Rq =h/2e2 est tr`es sensible aux effets de d´ephasage [23]. Qu’en est-il dans le cas d’une grande boˆıte ou d’une petite boˆıte o`u le blocage de Coulomb est important ? Boˆıtes quantiques en cavit´e
Les exp´eriences tr`es r´ecentes [24, 25], d´emontrant la possibilit´e de coupler une boˆıte quantique
Bibliographie 46
`
a un guide d’onde coplanaire r´esonant offrent des perspectives de recherche passionnantes.
Tout d’abord, comme nous l’avons d´ej`a mentionn´e dans le 2.1, ces exp´eriences proposent une m´ethode alternative pour mesurer l’admittance d’une boˆıte quantique, et donc en particulier sa capacit´e quantique et sa r´esistance de relaxation de charge. Une de ces exp´eriences [24]
se couple en fait `a une double boˆıte. Nous pourrions donc, poursuivant notre travail avec A.
Cottet et T. Kontos [26], ´etudier la r´esistance de relaxation de charge d’une double boˆıte.
L’int´erˆet du couplage `a un guide d’onde coplanaire [27] dont le facteur de qualit´e est ´elev´e2 est que les photons, en r´ealisant un grand nombre d’aller-retour dans la cavit´e, amplifient leur couplage aux ´electrons. Ce couplage devient largement sup´erieur `a ce qu’il est dans le vide au d´etriment n´eanmoins de la bande passante. On s’attend donc `a ce que le transport ´electronique soit d’autant plus sensible aux effets de blocage de Coulomb dynamique [28, 29] centr´es sur la fr´equence propre du guide d’onde. Il serait ainsi int´eressant d’´etudier cet effet tout d’abord pour un niveau r´esonant, puis pour l’effet Kondo. Si le transport ´electronique est affect´e par la dynamique des photons dans la cavit´e, on peut aussi renverser la perspective et ´etudier le probl`eme du point de vue des photons. L’excitation des ´electrons par le passage des photons peut ainsi induire des non-lin´earit´es qui refl`etent indirectement l’´etat ´electronique du syst`eme.
On peut par exemple se poser la question de comment un ´etat corr´el´e ´electronique, comme l’´ecrantage Kondo, influerait sur le passage des photons dans la cavit´e.
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