La borne inférieure 1− 3α

2

avec des densités log-concaves

Dans cette sous-section, nous voyons que la log-concavité de la densité du pivot

T (X, θ) joue un rôle important pour démontrer la croissance des bornes lα(·) et uα(·)

de l'intervalle Iπ₀,α(·) donné par le Lemme 1, et pour étudier le comportement de la

probabilité de recouvrement Cα_(·)(θ). Le prochain lemme précise le comportement de

ces bornes.

Lemme 7. Sous le contexte de l'Hypothèse A et l'Hypothèse B et pour une fonction de distribution α(·), g = G

unimodale et t0 = −G−1(_1+αα ) ≥ 0, on a :

(a) u_α(·)(x)

a₂(x) est croissante en t(x) pour t(x) > t0,

(b) l_α(·)(x)

a₂(x) est croissante en t(x) lorsque t(x) ≥ t0,

(c) u_α(·)(x)

a2(x) est croissante en t(x) lorsque g est log-concave.

Démonstration. (a) Du Lemme1, on a u_α(·)(x)

a₂(x) = t(x)+G−1{1 − α(x)(1 − G(−t(x)))}.

Du fait que α(x)(1 − G(−t(x)) décroît en t(x) (Hypothèse B), le résultat découle en vertu de la croissance des fonction G et G−1_.

(b) Du Lemme 1 et pour t(x) ≥ t0 ≥ 0, on a : lα_(·)(x) a₂(x) −t(x) = G −1_{{G(−t(x)) + (α − α(x))(1 − G(−t(x)))}} ≤ G−1_(G(−t 0)) = −t0 ≤ 0.

Du fait que α(x)(1 − G(−t(x)) décroît en t(x), on a :

∂ ∂t(x)G( lα_(·)(x) a₂(x) −t(x)) = ∂ ∂t(x)[G(−t(x)) + (α − α(x))(1 − G(−t(x)))], ⇒ ∂ ∂t(x)( lα_(·)(x) a₂(x) ) = 1 − (1 − α)g(−t(x)) − ∂ ∂t_(x)(α(x)(1 − G(−t(x)))) g(lα(·)_a (x) 2(x) − t(x)) ≥ 1 −(1 − α)g(−t(x)) g(lα(·)_a (x) 2(x) − t(x)) ≥ 1 − (1 − α) = α ≥ 0.

Le résultat découle du fait que lα(·)(x) ≥ 0 et que g est unimodale.

(c) On a, pour z = a₁(x)

a₂(x) ≤ t0, que

u_α(·)(x)

a₂(x) = z + G−1{1 − α(1 − G(−z))} correspond

au quantile d'ordre 1 − α de la loi a posteriori de τ_(θ)

a₂(x). On obtient la fonction de répartition a posteriori de ω = τ(θ) a2(x) de (3.1) et on a : Hx(ω) = Pπ₀( τ (θ) a₂(x) ≤ ω|x) = 1 − 1 − G(ω − z) 1 − G(−z) = G(ω− z) − G(−z) 1 − G(−z) . La densité a posteriori de τ_(θ) a₂(x) est hx(ω) = g_(ω−z) 1−G(−z)I[0,∞)(ω). La log-concavité de g

implique que la famille des lois a posteriori de τ(θ)

a2(x) est à rapport de vraisemblance

monotone(RVM) croissant en τ_(θ)

a₂(x) selon le Lemme 6. Alors, la croissance de

u_α(·)(x) a₂(x)

découle du Corollaire 4.

Pour une analyse plus approfondie, on suppose que a2(x) = 1, a1(x) = t(x) est crois-

sante en x, et on écrit l(x) = l∗_{(t(x)), u(x) = u}∗_{(t(x)) et α(x) = α}∗_(a

usont donnés au Lemme1. Ceci donne Iπ0,α(·)(x) = [l∗(a1(x)), u∗(a1(x))] avec l∗(y) =

y+G−1{G(−y) + (α − α∗(y))(1 − G(−y))} et u∗(y) = y+G−1{1 − α∗(y)(1 − G(−y))}.

Pour la suite, on note que u∗_(t

0) = −G−1(_1+αα ) + G−1(_1+α1 ), l∗(t0) = 0, et que t₀ = −G−1(_1+αα ) est le point où α∗(y) = α pour y ≤ t₀.

Maintenant, en vertu des propriétés de croissance données par le Lemme 7, les fonctions l∗ _{et u}∗ _{sont continues et croissantes lorsque G}

est log-concave et donc on peut dénir leurs inverses l∗−1

et u∗−1

sur (0, ∞) et (a, ∞) respectivement où

a = limy→−∞u∗(y). Les quantités suivantes sont utiles pour le calcul de la probabilité

de recouvrement.

Dénition 18. On dénit :

(i) x0(τ(θ)) = u∗−1(τ(θ)) − τ(θ) pour a ≤ τ(θ) ≤ y0,

(ii) x1(τ(θ)) = l∗−1(τ(θ)) − τ(θ) pour τ(θ) ≥ 0,

(iii) x2(τ(θ)) = u∗−1(τ(θ)) − τ(θ) pour τ(θ) ≥ y0,

où a = limy→−∞u∗(y) et y0 = u∗(t0).

Le prochain lemme donne une forme équivalente, autre que celle de la Proposition 1, pour la probabilité de recouvrement Cα(·)(θ) associée à l'intervalle Iπ₀,α(·)(X) et des

propriétés utiles pour les quantités x0(τ(θ)), x1(τ(θ)) et x2(τ(θ)).

Lemme 8. Sous le contexte de l'Hypothèse A, l'Hypothèse B avec g log-concave, on a : C_α(·)(θ) = ⎧ ⎨ ⎩ 1 − G(−x1(τ(θ))) si τ(θ) ∈ [0, a], G(−x₀(τ(θ))) − G(−x₁(τ(θ))) si τ(θ) ∈ (a, y₀], G(−x2(τ(θ))) − G(−x₁(τ(θ))) si τ(θ) ∈ (y₀,∞), (3.8) où a = limy→−∞u∗(y), y0 = u∗(t0) et x0(·), x1(·), et x2(·) sont des fonctions, dénies

ci-dessus, satisfaisant les équations avec z = τ(θ) : G(−x0(z)) = 1 − α (1 − G(−x₀(z) − z)) , (3.9) G(−x₁(z)) = α + (1 − α)G (−x₁(z) − z) − α∗(x₁(z) + z) (1 − G(−x₁(z) − z)) , (3.10) G(−x2(z)) = 1 − α∗(x₂(z) + z)(1 − G(−x₂(z) − z)). (3.11) Démonstration. 1) Pour a ≤ τ(θ) ≤ y0, on a : Cα(·)(θ) = Pθ(l∗(a1(X)) ≤ τ(θ) ≤ u∗(a1(X))) = Pθ  τ (θ)− l∗−1(τ(θ)) ≤ τ(θ) − a₁(X) ≤ τ(θ) − u∗−1(τ(θ))  (P roposition 1) = G(−x0(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ))).

De la même façon, pour z ≥ y0, on a Cα(·)(θ) = G(−x2(z)) − G(−x1(z)) et pour

0 ≤ z ≤ a, du fait que u∗−1

(a) = −∞, on a Cα(·)(θ) = 1 − G(−x1(z)).

2) Pour l'équation en (3.9), puisque u∗−1

(z) est la valeur de t(x) telle que u∗_{(t(x)) =}

z et du fait que α∗(y) = α pour y ≤ t₀, on a donc : z = u∗−1(z) + G−1  1 − α(1 − G(u∗−1 (z))) ⇔ −x0(z) = G−1_{(1 − α(1 − G(−x} 0(z) − z))) ⇔ G(−x0(z)) = 1 − α (1 − G(−x0(z) − z)) .

De la même façon, on déduit l'équation en (3.11). Pour l'équation (3.10), on a :

z = l∗−1(z) + G−1  G(−l∗−1(z)) + (α − α∗(l∗−1(z)))(1 − G(−l∗−1(z)))  ⇔ G(−x1(z)) = G(−x1(z) − z) + (α − α∗(x1(z) + z))(1 − G(−x1(z) − z) ⇔ G(−x1(z)) = α + (1 − α)G (−x1(z) − z) − α∗(x1(z) + z) (1 − G(−x1(z) − z)) .

Remarque 9. Seules les propriétés relatives à x0(·), ainsi que ceux de la probabilité

de recouvrement Cα(·)(θ) pour τ(θ) ≤ y0, exigent la log-concavité de G



.

Remarque 10. De (3.8_{) et les propriétés des x0, x1 et x2, on note que la probabilité} de recouvrement Cα_(·)(θ) est une fonction continue sur [0, ∞), avec l'exception d'une

discontinuité à τ(θ) = a, et lorsque a > 0. Dans ce cas, on a : limτ(θ)→a−x0(τ(θ)) =

−∞ et limτ_(θ)→a+x0(τ(θ)) = u−1(a)−a, ce qui conduira à une baisse de G(u−1(a)−a)

dans la probabilité de recouvrement en τ(θ) = a. Au titre d'illustration, voir Bosa [11].

Lemme 9. On a que :

(a) x0(τ(θ)) est croissante en τ(θ) de −∞ à −G−1(_1+α1 ) pour τ(θ) ∈ (a, y0],

(b) x1(τ(θ)) est croissante en τ(θ) de −G−1(_1+αα ) à y1 = −G−1(α − limz→∞α∗(z))

pour τ(θ) ≥ 0,

(c) x2(τ(θ)) est décroissante en τ(θ) de −G−1(_1+α1 ) à y2 = G−1(1 − limz_→∞α∗(z))

pour τ(θ) ≥ y0.

Démonstration. En posant z = τ(θ), on a :

(a) De l'équation (3.9), on a −x0(z) = G−1(1 − α + αG(−u∗−1(z))). Avec g étant

log-concave, on a que u∗−1

(z) croît en z cela implique que x0(z) croît en z pour z ∈ (a, y0]. De plus, on a que a = limy→−∞u∗(y) ⇒ limz→a+x0(z) = −∞.

Finalement puisque u∗_(t

0) = y0, on a x0(y0) = u∗−1(y0) − y0 = t0 − y0 = −G−1₍ 1

1+α).

(b) La croissance de x1 découle de l'équation (3.10) et du fait que l∗−1(z) = x1(z)+z

est croissante en z (Lemme 7). De plus, on a x1(0) = l∗−1(0) − 0 = t0 et y₁ = limz→∞x1(z) = −G−1(α − limz→∞α∗(z)) ;

(c) De l'équation (3.11), on a −x2(z) = G−1  1 − α∗_(u∗−1 (z))(1 − G(−u∗−1 (z))) . (∗)

Sous le contexte de l'Hypothèse B et la croissance de la fonction u∗−1

(z) et G−1_,

on a que le côté droit de l'équation (∗) croît en z et cela implique que x2(z)

décroît en z ≥ 0. De plus, on a x2(y0) = x0(y0) = −G−1(_1+α1 ) et de (∗), on

obtient y2 = limz→∞x2(z) = −G−1(1 − limz→∞α∗(z)).

En vertu du Lemme 8, on obtient les propriétés suivantes pour la probabilité de recouvrement Cα(·)(θ), τ(θ) ≥ 0.

Corollaire 5. Sous le contexte de l'Hypothèse A et l'Hypothèse B, soit Iπ0,α(·) un

intervalle de crédibilité bayésien de la classe C du Théorème3. Pour la probabilité de recouvrement fréquentiste Cα_(·)(θ), on a que :

(a) Cα(·)(θ) est croissante en τ(θ) et Cα(·)(θ) ≤ 1 − α pour τ(θ) ≥ y0,

(b) Cα(·)(θ) ≥ _1+α1 pour τ(θ) ∈ (0, a],

(c) Cα_(·)(θ) ≤ 1 − α + limt_(x)→∞α(x) pour τ(θ) ≥ 0.

Démonstration.

(a) Du Lemme8 et pour τ(θ) ≥ y0, on a Cα(·)(θ) = G(−x2(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ))).

Mais on a du Lemme 9 que la fonction x1(τ(θ)) croît en τ(θ) tandis que la

fonction x2(τ(θ)) décroît en τ(θ) ce qui implique que Cα(·)(θ) est croissante en

τ (θ). Finalement, du Lemme 9, on a

Cα(·)(θ) = G(−x2(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ)))

≤ G(−y2) − G(−y1) = (1 − lim

t(x)→∞α(x))− (α − limt(x)→∞α(x))

(b) Pour τ(θ) ∈ (0, a] et du Lemme 9, on a :

Cα_(·)(θ) = 1 − G(−x1(τ(θ)))

≥ 1 − G(−x1(0))) = 1 − G(−t0) = _{1 + α}1 .

(c) On a de (a) que Cα(·)(θ) ≤ 1 − α pour τ(θ) ≥ y0, alors il sut de démontrer

le résultat pour τ(θ) ≤ y0. On a : Cα(·)(θ) ≤ 1 − G(−x1(τ(θ))) ≤ 1 − G(−y1) = 1 − GG−1(α − lim z→∞α ∗_(z)) = 1 − α + lim z_→∞α ∗_(z).

Les prochains lemmes seront utiles pour établir la borne inférieure 1 − 3α

2 pour la

probabilité de recouvrement fréquentiste Cα(·)(θ) associée au choix α´eg(·).

Lemme 10. (Marchand et al.[2])Soit g log-concave en R et unimodale en 0. Alors, on a :

(a) g(y)

g(y + θ) est non décroissante en θ sur (0, ∞), pour y ≥ 0 ;

(b) g(y)

g(y + θ) est non décroissante en y sur R, pour θ ≥ 0 ;

(c) g(y(θ))

g(y(θ) + θ) est non-décroissante en θ sur (0, ∞) pour y(·) une fonction non-

négative et non décroissante sur [0, ∞) ;

(d) G et G ≡ 1 − G sont log-concaves sur (0, +∞) ; (e) Le taux de défaillance λ(·), avec λ(y) = g(y)

Démonstration. (a) Le résultat découle de l'unimodalité de g. (b) On peut écrire g(y) = e−h(y)_{, où h est convexe. Alors, on a} g(y)

g_(y+θ) = e

h(y+θ)−h(y)

mais du Lemme 3, on a que h(y + θ) − h(y) croît en y ∈ R et θ ≥ 0. C'est-à-dire que

g(y)

g_(y+θ) ↑ y ∈ R et θ ≥ 0.

(c) Le résultat découle des parties (a) et (b).

(d) Ce résultat est démontré par Bergstrom et Bagnoli [10]. (e) On a λ(y) = g(y)

G(y)=

− G(y) ¯

G(y) . Mais on a de la partie (d) que G est log-concave

⇒ G



(y)

G(y) est décroissant en y ⇒ λ(y) croît en y ∈ R.

Lemme 11. Pour g log-concave et unimodale en 0, on a

G(z) G(2z) ≥

G(0)− G(z)

G(z)− G(2z), pour tout z ≥ 0. (3.12)

Démonstration. Puisque la log-concavité de g implique que le taux de défaillance

λ(·) est croissant ( Lemme 10), on a λ(z) ≤ λ(2z) ⇒ _gg_(2z)(z) ≤ G(z)

G_(2z). Alors, pour tout

z ≥ 0, il sut de démontrer que

G(0)− G(z) G(z)− G(2z) = z 0 g(y)dy _2z z g(y)dy ≤ g(z) g(2z) ⇔  z 0 g(y) g(z)dy≤  _2z z g(y) g(2z)dy ⇔  z 0  g(y) g(z)− g(y + z) g(2z)  dy ≤ 0. (3.13)

En appliquant la partie (b) du Lemme 10 à l'intérieur de l'intégrale à (3.13), on obtient g(y)

g(z)−

g(y + z)

g(2z) ≤ 0 pour tout y, z tels que y ∈ (0, z) et le résultat s'ensuit.

Remarque 11. Le Lemme 11 fut donné par Marchand et al.[2] pour le cas g symé- trique avec G(0) = 1

Lemme 12. Soit g une densité log-concave en R et unimodale en 0. On dénit la fonction H(z) = 1 − G(−z) et on a :

(a) H est une fonction log-concave,

(b) De plus, pour t0 = −G−1(_1+αα ) ≥ 0, on a H(2t₀) ≥ 1 − 3α

2

1 − α2 . (3.14)

Démonstration. (a) Ce résultat est démontré par Bergstrom et Bagnoli [10], (b) Puisque H(t0) = _1+α1 et H(t0) = _1+αα , on a : H(2t₀) ≥ 1 − 3α 2 1 − α2 ⇔ H(2t₀) H(t₀) ≤ 1 −1−3α2 1−α2 α 1+α ⇔ H(2t0) H(t₀) ≤ 2α 1 − α. Du Lemme 11, on a H(2t0) H(t₀) ≤ H(t₀) − H(2t₀)

H(0)− H(t₀) avec t0 étant positive. Alors, pour

démontrer l'inégalité (3.14), il sut de montrer que

H(t₀) − H(2t₀) H(0)− H(t0) ≤ 2α 1 − α ⇔ 2α 1 − αH(0)− 2α2 1 − α2 ≥ α 1 + α −H(2t0) ⇔ _{1 − α}2α H(0)≥ α 1 − α − H(2t0).

Mais, on a que H(z) est décroissante en z ≥ 0 et cela implique que H(2t0) ≤ H(0).

Alors, on obtient : 2α 1 − αH(0)≥ α 1 − α − H(0) ⇔ H(0) ≥ α 1 + α ⇔G(0) ≥ α 1 + α ⇔ t0 ≥ 0. Remarque 12. La condition G(0) ≥ α 1+α est équivalente à Pθ(−T (X, θ) ≤ 0) ≥ α

1+α. Par exemple, soit X ∼ Exp(θ) avec le paramètre d'échelle θ ≥ 1. On a, de

l'Exemple 16, que la fonction de répartition de T (X, θ) = log(X) − log(θ) est G(t) =

P (−log(X_θ) ≤ t) = e−e−t. Alors, on a Pθ(−T (X, θ) ≤ 0) = G(0) =

1 e≥ α 1 + α lorsque α≤ 1 e− 1 .

On peut maintenant établir la borne inférieure 1−3α

2 de Cα(·)(θ) associée à l'intervalle

bayésien Iαeg_´ (·), α ∈ (0,1₃] et G 

log-concave. On procède par analyse séparée sur diérents intervalles.

Lemme 13. Sous les mêmes hypothèses qu'au Lemme8, on a q ue Cα_´eg(·)(θ) ≥ 1−3α₂

pour τ(θ) ∈ [y0,∞) avec y0 = u∗(t0) et t0 ≥ 0. Démonstration. Pour τ(θ) ∈ [y0,∞) on a Cα_(·)(θ) = G(−x2(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ))) ≥ G(−x2(y_{0)) − G(−x1}(y_{0)) (par le Lemme 9}) = 1 1 + α −G(−x1(y0)) Cαeg_´ (·)(θ) ≥ 1 1 + α −  α 2 + 1 − α 2 G(−x1(y0) − y0)   par (3.10) et α∗_{(·) = α}∗ ´eg(·)  ≥ _{1 + α −}1 α_{2 −}1 − α₂ G(−2t₀) ( du fait que x₁(y₀) + y₀ ≥ x₁(0) + y₀ ≥ 2t₀) = 1 1 + α − α 2 − 1 − α 2 (1 − H(2t0)) ≥ _{1 + α −}1 α_{2 −}1 − α₂  1 − 1 − 3α_{1 − α2}2  (par le Lemme 12) = 1 − 3α₂ .

Lemme 14. Soit z1 = G−1(1 − 3α₂ + _1+αα ) − G−1(_2(1+α)1−α ). Alors sous les mêmes

hypothèses qu'au Lemme 8, on a :

(a) Cαeg_´ (·)(θ) ≥ 1 − 3α₂ pour tout τ(θ) ∈ [0, z1],

(b) z1 ∈ [t0, y0].

τ (θ)≤ z₁ Cα(·)(θ) = G(−x0(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ))) ≥ 1 − 3α 2 + α 1 + α −G(−x1(τ(θ))) ≥ 1 −3α₂ + α 1 + α −G(−x1(0)) = 1 − 3α 2 + α 1 + α − α 1 + α = 1 − 3α₂ .

Par ailleurs, on obtient du Lemme 8

G(−x0(z₁)) = 1 − α[1 − G(−x₀(z₁) − z₁)] ⇔ 1 − α[1 − G(−x0(z_{1) − z1)] = 1 −} 3α 2 + α 1 + α ⇔ G(−x0(z_{1) − z1}) = 1 − α 2(1 + α) ⇔ −x0(z1) − z1 = G−1( 1 − α 2(1 + α)) ⇔ z1 = G−1_{(1 −} 3α 2 + α 1 + α) − G−1( 1 − α 2(1 + α)). (b) On a, pour α ∈ (0,1 3], que G(−x0(z₁)) = 1 − 3α 2 + α 1 + α ≥ 1 1 + α = G(−x0(y0)) ⇒ z1 ≤ y0.

D'autre part, l'inégalité z1 ≥ t0 est équivalente à G−1  1 −3α₂ + α 1 + α  − G−1₍ 1 − α 2(1 + α)) ≥ −G−1( α 1 + α), et puisque _{1 + α ≤}α _{2(1 + α) et}1 − α 1 − 3α₂ + α 1 + α ≥ 1 2 pour α≤ 13, alors G−1(1 −3α 2 + α 1 + α) > 0 ⇒ G−1( 1 − α 2(1 + α)) − G−1( α 1 + α) ≤ 0.

Le prochain théorème nous permet d'obtenir enn la borne inférieure 1 − 3α

2 pour

Cαeg_´ (·)(θ) avec G 

Théorème 4. Soit G la fonction de répartition du pivot linéaire T (X, θ) = a_{1(x)−τ(θ)} a₂(x) ,

a₂(x) = 1, telle que la densité g soit log-concave et unimodale en 0. Soit Iπ₀,α_´eg(·)(X)

l'intervalle bayésien à ailes égales sous la loi a priori π0(θ) = πH(θ)I_[0,∞)(τ(θ)).

Soit t0 = −G−1(_1+αα ) ≥ 0 (le point où α∗´eg(y) = α pour y ≤ t0). La probabilité de

recouvrement fréquentiste Cα_´eg(·)(θ) est alors bornée inférieurement par 1 −3α₂ pour

tout τ(θ) ≥ 0.

Démonstration. Selon les lemmes 13 et 14, on a déjà que Cα_´eg(·)(θ) ≥ 1 −3α₂ pour

tout τ(θ) ∈ [0, z1]∪[y0,∞]. Ainsi, il reste à montrer que la borne tient sur l'intervalle

[z₁, y₀]. En vertu de la log-concavité et de l'unimodalité de g(·) autour de 0, on a Cα(·)(θ) = G(−x0(τ(θ))) − G(−x1(τ(θ))) ≥ G(−x0(y_{0)) − G(−x1}(τ(θ))) ≥ _{1 + α −}1 G(−x₁(z₁)). De plus, on a G(−x₁(z₁)) ≤ 1 1 + α −(1 − 3α 2 ) ⇔ α₂ +1 − α 2 G(−x1(z1) − z1) ≤ α(1 + 3α2) 2(1 + α)  par (3.10) et α∗_{(·) = α}∗ ´eg(·)  ⇔ G(−x1(z1) − z1) ≤ 2α2 1 − α2 ⇐ G(−2t0) ≤ _{1 − α}2α2₂ ( du fait que x1(z1) + z1 ≥ x1(t0) + t0 ≥ 2t0) ⇔ H(2t0) ≥ 1 − 3α_{1 − α2}2,

ce qui est vrai en vertu du Lemme 12.

Le prochain résultat borne supérieurement la probabilité de recouvrement minimale pour Cα(·)(θ) et démontré que la borne 1 − 3α₂ est la meilleure approximation du

Corollaire 6. Sous le contexte du Lemme 8 et du Théorème 4, on a que infτ_(θ)≥0Cα_(·)(θ) ≤ 1 − 3α 2 + α2 1 + α + ( limt_(x)→∞α(x)− α 2).

Démonstration. Du Lemme 9, on a infτ(θ)≥0Cα(·)(θ) ≤ Cα(·)(y0). Donc on a

Cα(·)(y0) = G(−x0(y0)) − G(−x1(y0)) = 1 1 + α −G(−x1(y0)) ≤ _{1 + α −}1 G(y₁) = 1 1 + α −  α− lim z→∞α ∗_(z) = 1 − 3α₂ + α2 1 + α+ ( limz→∞α ∗_{(z) −}α 2).

Remarque 13. Du Théorème 4, le Corollaire6et du fait que limt_(x)→∞α_´eg(x) =

α

2, on a, pour α(x) = α´eg(x), que

1 −3α_{2 ≤}infτ_(θ)≥0Cα_´eg(·)(θ) ≤ 1 −

3α 2 +

α2

1 + α.

Maintenant, on donne un lemme utile pour déduire la borne 1 − 3α

2 pour d'autres

fonctions de distribution α(·) de la sous-classe C pour lesquelles Iα_(·) ≥ Iα_´eg(·).

Lemme 15. On suppose α1(·) et α2(·) deux fonctions de distribution satisfaisant les

conditions du Théorème 3 et de l'Hypothèse B. Alors, on a

α₁(·) ≥ α₂(·) ⇒ infτ(θ)≥0Cα₁(·)(θ) ≥ infτ(θ)≥0Cα₂(·)(θ).

Démonstration. Premièrement, puisque Cα(·)(θ) est croissante en τ(θ) ∈ [y0,∞]

(Corollaire5) et puisque y0ne dépend pas de α(·), on a infτ_(θ)≥0Cα_(·)(θ) = infτ_(θ)≤y0Cα_(·)(θ)

et il sut alors de montrer que

Maintenant, de l'équation (3.8), on peut écrire pour τ(θ) ≤ y0

Cαi(·)(θ) = min (1, G(−x0(τ(θ)))) − G(−x1,αi(·)(τ(θ))), (∗)

pour i = 1, 2, où nous mettons l'emphase sur le fait que x1,α(·)(τ(θ)) dépend du choix α(·) et que x0(τ(θ)) ne dépend pas de α(·) (voir la Dénition 18). Mais, la condition α₁(·) ≥ α₂(·) ⇒ lα₁(·)(t(x)) ≤ lα₂(·)(t(x)), ∀x, ⇒ l∗−1 α_1(·)(τ(θ)) ≥ l∗ −1 α_2(·)(τ(θ)), ∀τ(θ) ≤ y0, ⇒ x1,α1(·)(τ(θ)) ≥ x1,α2(·)(τ(θ)), ∀τ(θ) ≤ y0, ⇒ −G(−x1,α1(·)(τ(θ))) ≥ −G(−x1,α2(·)(τ(θ))), ∀τ(θ) ≤ y0, ⇒ Cα_1(·)(θ) ≥ Cα_2(·)(θ), de (∗) pour τ(θ) ≤ y0.

Corollaire 7. Un intervalle bayésien Iπ0,α(·) satisfaisant les conditions du Théorème

3 et l'Hypothèse B, avec α(·) ≥ α´eg(·), a une probabilité de recouvrement bornée

inférieurement par 1 − 3α 2 .

Démonstration. Le résultat découle du Lemme 15 et du Théorème 4.

On obtient alors une classe d'intervalles bayésiens avec une probabilité de recouvre- ment fréquentiste supérieure à 1−3α

2 (Théorème4). Dans le cas où la densité du pivot

est symétrique, ceci s'ajoute au résultat s'appliquant à IHP D (voir [2]). Tandis que

pour le cas général avec g log-concave et G(0) ≥ α

1+α, les résultats sont nouveaux. On

termine avec quelques exemples. Les prochains exemples proviennent de la Section 3.1 _{et illustrent des situations où la borne inférieure 1 −} 3α

Exemple 21. Considérons un modèle Gamma(r, θ) donné à la Section3.1 (Exemple 16). La densité du pivot linéaire T (X, θ) = log(X

r) − log(θ) est donnée par g(t) = rr

Γ(r)e−r(t+e

−t₎

. Puisque log (g(t)) est concave et du fait que t0 = −G−1(_1+αα ) ≈ 0.613 ≥

0 (avec α = 0.05 et r = 5), on peut appliquer le Théorème 4 avec l'intervalle bayé- sien Iα_´eg(·) donné par (3.4). La probabilité de recouvrement Cαeg_´ (·)(θ) est donc bornée

inférieurement par 1 −3α

2 pour tout τ(θ) ≥ 0 ce qui est bien illustré à la Figure 3.3.

De la Figure 3.1, on a q ue αHP D(·) ≥ αopt(·) ≥ α´eg(·) ce qui est implique, selon le

Corollaire 7, que la borne 1 − 3α

2 tient pour la probabilité de recouvrement de IHP D

et Iopt.

Exemple 22. Considérons un modèle de loi normale à paramètre de position comme à l'Exemple 18. La densité du pivot linéaire T (X, θ) = X − θ est donnée par g(t) =

1

√

2πe−

t2

2 et cette densité est log-concave (voir [10]). Du fait que G(0) = 1

2 ≥

α

1 + α pour tout α ∈ [0, 1], on peut appliquer le Théorème 4 avec l'intervalle bayésien

Iα_´eg(·) donné par (18). Alors, la probabilité de recouvrement Cα_´eg(·)(θ), coïncide à

CαHP D(·)(θ), est supérieure à 1 − 3α₂ pour tout θ ≥ 0. En eet, ce résultat est déjà

obtenu pour le cas où la densité du pivot linéaire est symétrique (voir [2]). Du Co- rollaire 7, la borne 1 −3α

2 tient pour d'autres intervalles bayésiens Iα(·) pour lesquels

α(·) ≥ α_´eg(·).

Exemple 23. Considérons X ∼ W eibull(r, θ), r connu et θ ≥ 1. La fonction de répartition du pivot linéaire T (X, θ) = log(X)−log(θ) est G(t) = e−e−rt

et sa densité est donnée par g(t) = re−rt−e−rt

. Puisque log(g(t)) est concave et du fait que G(0) = 1

e ≥

α

1 + α lorsque α ≤ 1

e− 1, on peut appliquer le Théorème 4. La probabilité de

recouvrement Cα_´eg(·)(θ) est donc bornée inférieurement par 1−3α₂ pour tout τ(θ) ≥ 0.

Comme le cas de loi Gamma, la borne 1−3α

2 tient pour la probabilité de recouvrement

Remarque 14. Le Théorème 4, ainsi que le Corollaire 7, établissent la borne 1 −

3α

2 pour les probabilités de recouvrement d'une classe d'intervalles bayésiens. Pour α ≤ 1₃, la borne 1 − 3α₂ représente une amélioration signicative par rapport à la

borne 1−α

1+α. À titre d'illustration, reprenons l'Exemple 21 pour le cas Gamma(5,θ), θ ≥ 1 et 1 − α = 0.95, avec la probabilité de recouvrement Cα_(·)(θ) représentée à la

Figure 3.3. On a ici, infθ≥1Cα(·)(θ) ≥ 1−α_1+α ≈ 0.905, mais aussi, pour α(·) ≥ α´eg(·),

infθ≥1Cα(·)(θ) ≥ 1 − 3α₂ = 0.925. En revanche avec l'hypothèse de log-concavité pour

la densité du pivot, ces résultats sont moins généraux que ceux de la Section 3.1 qui ne requièrent pas la log-concavité. Par exemple, même si la borne 1 −3α

2 semble tenir

pour le cas Fisher(r, s) (voir l'Exemple17), ainsi que pour le cas où Xi ∼indN (μ, σ),

i = 1, . . . , n, avec (μ, σ) inconnu, μ ≥ 0 et le pivot de la loi de Student à n − 1 degrés

de liberté (voir l'Exemple 15 et Figure 3 de Zhang et Woodroofe [5]), la théorie de cette section ne s'applique pas totalement car ni la densité d'une loi Fisher ou celle d'une loi de Student sont log-concaves.

CONCLUSION

Le travail qu'on a présenté dans ce mémoire s'inspire d'étude de Marchand et Straw- derman [1] concernant l'estimation par intervalle Bayésien avec contrainte sur l'es- paces des paramètres, et concernant notamment de la probabilité de recouvrement fréquentiste. Ces intervalles bayésiens Iπ0,α(·) sont associés à la troncature d'une loi a

priori π₀ non-informative (Haar invariante à droite) et générés par une fonction de

distribution α(·). Les résultats s'appliquent pour de nombreux exemples et pour des modèles où il existe un pivot linéaire de la forme T (X, θ) = a_{1(X)−τ(θ)}

a₂(X) (a2(X) > 0)

dont sa densité g0 est absolument continue. En eet, on a obtenu une classe d'in-

tervalles bayésiens (Chapitre 3, Section 3.1) avec une probabilité de recouvrement fréquentiste bornée inférieurement par 1−α

1+α et cette classe inclut l'intervalle bayésien

HPD dans le cas où la densité du pivot T (X, θ) est symétrique. Plusieurs exemples sont donnés à la Section3.1 qui illustrent bien la théorie étudiée. De plus, on a établi la borne 1 − 3α

2 (Section 3.2), dans le cas où g0 est log-concave, pour la probabilité

de recouvrement Cα_´eg(·)(θ) de l'intervalle à ailes égales Iαeg_´ (·) (déni à la Dénition

14) et on a déduit cette borne pour d'autres intervalles bayésiens Iα(·) pour lesquels

α(·) ≥ α_´eg(·). Ces nouveaux résultats améliorent, pour α ≤ 1₃, la borne inférieure 1−α_1+α

(obtenue à la Section 3.1) et incluent les résultats obtenus pour la borne 1 −3α

2 dans

bilité de recouvrement sont obtenues. Enn, il serait intéressant, comme perspectives futures, de

(I) Obtenir une meilleure borne, telle 1 − 3α

2 , pour la probabilité de recouvrement Cαeg_´ (·)(θ) dans le cas de non log-concavité (voir la Remarque 14).

(II) Considérer des problèmes analogues où les résultats de ce mémoire ne s'ap- pliquent pas tels l'estimation de θ sujet à la contrainte θ1 − θ2 ≥ 0 (voir la

Remarque 6).

(III) Étudier la problématique d'une restriction à un intervalle de type τ(θ) ∈ [a, b] et la performance fréquentiste d'intervalles bayésiens où la loi a priori π0uniforme

pourrait s'avérer un choix insatisfaisant (voir Lmoudden [12]), mais où on peut envisager d'autres choix de la loi a priori π0.

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[16] Judith Rousseau (2009-2010). Statistique Bayésienne - Notes de cours, ENSAE, Paris Tech.

Dans le document Une classe d'intervalles bayésiens pour des espaces de paramètres restreints (Page 70-90)