On v´erifie ici que chaque fac¸adeIF peut ˆetre compactifi´ee tout comme nous avons compactifi´eI, et que le r´esultat est hom´eomorphe `a une r´eunion que nous pr´eciserons, de plusieurs fac¸ades deI.
On fixe `a pr´esent un cˆone F∈ FI.
8.2.1 Compactification deIF
Choisissons A un appartement contenantδ(F), soit p=pA,Fla projection A→AF. Soit f =F∩A, alors AF =Af
est un complexe de Coxeter affine et le groupe vectoriel associ´e est isomorphe via la projection p `a FixW(A)~(~f ). On poseFF ={~p(~g)|~g∈ F et ~f ⊂~g}.
Lemme 8.2.1 Soit~g∈ F dont ~f est une face, c’est-`a-dire ~f ⊂~g. Alors~g est stable par ~f , c’est-`a-dire~g+f~⊂~g.
Remarque: En fait,~g+~f =~g car~g est ouvert dans Vect(~g) et 0∈ ~f .
Preuve du lemme: C’est imm´ediat si on fixe une description de~g et de sa facef en termes d’´equations et d’in´equations~ lin´eaires comme en 2.4, mais voici une preuve ´el´ementaire.
Soit x∈~g et v∈ ~f . Comme~g est ouvert dans Vect(~g), il existe r>0 tel que la boule B(x,r) dans Vect(~g) soit incluse dans~g. Ensuite v∈~g donc il existeǫ∈Vect(~g), de norme inf´erieure `a r tel que v+ǫ∈~g. Alors x+v=(x−ǫ)+(v+ǫ)∈~g.
Proposition 8.2.2 L’ensembleFF v´erifie les conditions requises pour d´efinir une compactification deIF. De plus, l’application~g7→~p(~g) est une bijection entre l’ensemble des cˆones deF ayant ~f comme face etFF.
D´emonstration:
On commence par les points ´evidents : FF est fini, il contient {0} = ~p(f ), et il est stable par le groupe de Weyl~
W(A~F)≃Fix W(A)~(~f ). Montrons que Af = S
~
g∈FF~g. Comme le terme de droite est stable par homoth´eties, il suffit de montrer qu’il contient un voisinage de 0. Par cons´equent, il suffit de montrer que, dans A,S{~g | ~f ⊂~g}contient un voisinage d’un
point de f . Soit x~ ∈ f . Si~ ~g ∈ F est un cˆone ne contenant pas ~f dans son adh´erence, alors x < ~g (car∂~g est une r´eunion disjointe de cˆones dansF). Il existe donc U~gun voisinage de x dans A qui ne coupe pas~g. CommeF est fini, le nombre des U~gainsi d´efinis pour~g variant parmi les cˆones dontf n’est pas une face est fini, et leur intersection est~ un voisinage de x inclus dansS
~g tq~f⊂~g~g. Nous avons prouv´e que Af =S
~ g∈FF~g.
Montrons que cette union est disjointe. Soit~p(~g) et~p(~h) deux ´el´ements deFF, o `u~g, ~h∈ F sont des cˆones ayant ~f comme face. Supposons que~p(~g)∩~p(~h) contient un point, ´ecrivons ce point sous la forme~p(x) avec x∈A. Alors il~ existe v,w∈Vect(~f ) tels que x+v∈~g et x+w∈~h. Mais il existe v1,v2,w1,w2∈ f tels que v~ =v1−v2et w=w1−w2. Alors le point x+v1+w1 =x+v+v2+w1 =x+w+w2+v1 est dans~g∩~h, d’apr`es le lemme. Ceci entraˆıne que ~g=~h, donc~p(~g)=~p(~h).
Ceci montre ´egalement que l’application~g7→ ~p(~g) est bijective.
Le petit raisonnement qu’on vient de faire fonctionne aussi dans le cas de cˆones affines, il donne le r´esultat suivant, qu’on note pour utilisation ult´erieure :
Lemme 8.2.3 Soit h,g∈ FAdeux cˆones affines tels que ~f borde~g et~h. Si p(h)∩p(g),∅, alors h∩g,∅.
Passons `a la description des cˆones `a l’aide d’un syst`eme d’´equations et d’in´equations. Soit~g∈ F ayant ~f comme face. Soient{αi}i∈I⊔J⊔K∈A~∗telles que
~g ={αi>0, αk=0, i∈I⊔J, k∈K} ~ f ={αi>0, αk=0,i∈I, k∈J⊔K}
Lesαkpour k∈ J⊔K d´efinissent des formes lin´eaires surA~f. V´erifions que~p(~g)={αj>0, αk=0, j∈J, k∈ K}. L’inclusion ”⊂” est claire. R´eciproquement, un point de l’ensemble de droite est de la forme~p(x) avec x∈A,~ αj(x)>0 pour j∈ J etαk(x)=0 pour k ∈K, et nous voulons montrer qu’il existe v∈Vect(~f ) tel que x+v∈~g. On s’aperc¸oit
qu’il suffit de choisir v∈ ~f assez grand.
Nous avons donc obtenu une description de~p(~g) en syst`eme d’´equations et d’in´equations lin´eaires comme requis.
Passons aux deux conditions portant sur les faces d’un cˆone.
Soit~p(~g)∈ FF, v´erifions que son bord est la r´eunion d’autres cˆones deFF. Soit~p(x)∈∂~p(~g), soit~p(~h)∈ FFle cˆone contenant~p(x). Nous allons montrer que~h⊂∂~g. On choisit x pour que x∈~h. Pour tout n∈N, il existe un point de ~
p(~g) `a distance inf´erieure `a1n de~p(x). Cela signifie qu’il existeǫn∈A, v~ n∈Vect(f ) tels que x~ +vn+ǫn ∈~g et||ǫn||<1
n. On d´ecompose vn=v1
n−v2
navec v1
n,v2
n∈ ~f , on impose en outre que||x+v1
n|| ≥1. Alors x+v1
n∈~h et x+v1
n+ǫn ∈~g.
La suite ( x+v1n
||x+v1
n||)na une valeur d’adh´erence y, a priori dans~h. Mais en fait, cette suite reste dans x+f , et x~ +~f =x+f~⊂~h par le lemme 8.2.1 appliqu´e `af et `a ses faces. Donc y~ ∈~h. La suite (x+v1
n+ǫn
||x+v1
n|| )naussi admet y comme valeur d’adh´erence, car||x+v1n|| ≥ 1 etǫn →0. Donc y∈~g∩~h. Comme~h ,~g,~h est une face de~g :~h⊂∂~g. D’o `u~p(~h) ⊂~p(∂~g) ⊂~p(~g). Mais comme~p(~h)∩~p(~g)=∅, on arrive `a~p(~h)⊂∂~p(~g).
Ainsi,∂~p(~g) est une r´eunion d’autres cˆones deFF.
Enfin, il reste `a montrer que~p(~h)=Vect(~p(~h))∩~p(~g), et nous savons que~h=Vect(h)∩~g. Par cons´equent, il suffit de montrer que~p(~h)=~p(~h) et~p(~g)=~p(~g). Les deux ´egalit´es, pour~h et~g sont similaires, on ne traite que celle concernant ~g. L’inclusion⊃vient de la continuit´e de~p. Pour l’autre inclusion, il suffit de montrer que~p(~g) est ferm´e, ce qui revient
`a montrer que~g+Vect(f ) est ferm´e. On reprend les~ {αi}i∈I⊔J⊔K comme au paragraphe pr´ec´edent, on v´erifie alors que ~g+Vect(f )~ ={αj≥, αk=0, j∈J, k∈K}, c’est bien ferm´e.
L’avant dernier paragraphe de la preuve prouvait en fait :
Lemme 8.2.4 Si~g, ~h∈ F sont bord´es par ~f et si~p(~h) est une face de~p(~g), alors~h est une face de~g.
Nous pouvons donc compactifierIF `a l’aide de la d´ecompositionFF en cˆones de l’appartement AF. On note provisoirementbIFl’espace obtenu, si BFest un appartement deIF, on note ˆBFsa compactification.
V´erifions rapidement queIcFne d´epend pas du choix de l’appartement A :
Proposition 8.2.5 Soit BF un appartement deIF, soit g le cˆone de B engendr´e par un coeur parall`ele `a δ(F), soit
pB=pB,F : B→BF la projection. Alors l’ensemble des cˆones vectoriels de BFest{~p(~h)|~h∈ F et~g⊂~h}.
D´emonstration:
Par d´efinition, ceci est vrai pour B=A. Pour B quelconque, l’ensemble des cˆones vectoriels de~BFest{~φ(~k)|~k∈ FF} o `uφ: AF −→∼ BFest un isomorphisme de complexes de Coxeter dont le choix n’importe pas.
Comme f ∥ g, il existeξ : A −→∼ B tel que~ξ(~f ) = ~g (lemme 8.1.2). Alors ξ induit un isomorphisme entre Af et Bg, on peut choisir φ comme ´etant ´egal `a cet isomorphisme. On a alors φ◦ pA = pB ◦ ξ, et on v´erifie que {~φ(~k)|~k∈ FF}={~pB(~h)|~g⊂~h}.
Proposition 8.2.6 Soit~g∈ F un cˆone bord´e parf , soit B~ F un appartement deIF. Alors
– ~pB(δ(~g))⊂δ(~pB(~g)). – ~pB(~g∗)=~pB(~g)∗
– Si g∈ FBest de direction~g, alors pB(b(g))⊂b(pB(g)).
D´emonstration:
Notons p=pBet fixons f ∈ FBtel que ˜f ∥f .
Soit x ∈ δ(~g), montrons que ~p(x) ∈ δ(~p(~g)). Il faut donc montrer que x est fix´e par StabW(~B
F)(~p(~g)). Soit w ∈ StabW(~B
F)(~pB(~g)), on identifie w `a un ´el´ement de FixW(~B)(~f ), ce qui assure d´ej`a que w(~g) est encore bord´e par ~f . Et comme~p(~g) =w(~p(~g)) = ~p(w(~g)), on obtient par la deuxi`eme partie de la proposition 8.2.2 que w(~g)=~g. Alors w(x)=x par d´efinition deδ(~g), et donc w(~p(x))=~p(x).
Passons au second point. Si C est une facette de Weyl dans~ ~B dont l’adh´erence contientδ(~g), alors ~p(δ(~g)) ⊂ ~
p(C)~ ⊂ ~p(C). Notons~ C~F la facette de Weyl de ~BF qui contient ~p(C), nous venons de prouver que son adh´erence~ contient~p(δ(~g)), elle contient donc toute la facette de Weyl contenant~p(δ(~g)), et cette facette contientδ(~p(~g)) par le
premier point. DoncC~F ⊂~p(~g)∗et~p(C)~ ⊂~p(~g)∗. Ce qui prouve~p(~g∗)⊂~p(~g)∗.
Montrons l’autre inclusion : soitC~F une facette de Weyl deB~F dont l’adh´erence contientδ(~p(~g)). Soient{αi}i∈I⊔Jdes racines deB~F, identifi´ees `a des racines deB s’annulant sur f , telles que~ C~F ={x∈ ~BF |αi(x)=0 etαj(x)>0, ∀i∈
I, j ∈ J}. Alors~p−1(C~F) contientδ(~g) et~p−1(C~F) = {x ∈ B~ | αi(x) = 0 etαj(x) >0, ∀i ∈ I, j ∈ J}. Il existe une facetteC de~ ~B incluse dans~p−1(C~F), de dimension maximale, et dont l’adh´erence contientδ(~g)∪δ(~f ) (proposition 3.3.3, point 9). AlorsC contient un cˆone~ ~f1inclus dansf , tel que Vect(~ ~f1)=Vect(f ). Il existe des racines~ {αk}k∈Ktelles queC~ ={x∈B~ |αi(x) =0 etαj(x)>0, ∀i∈ I, j ∈J⊔K}. On ne rajoute aucune condition du typeαk =0 carC~ est choisi de dimension maximale. S’il existe k∈K tel queαk(~f )=0, alors ker(αk) induit un mur deB~F, qui ne peut couperC~F. Doncαk(C~F)>0, puisαk(~p−1(C~F))>0, ce qui signifie que la conditionαk>0 est inutile pour d´efinirC.~ On peut donc supposer que pour tout k∈ K,αk(~f ),{0}. Alors, pour tout k∈ K, il existe vk ∈ ~f1tel queαk(vk),0. Comme vk ∈ ~f1 ⊂C, on a automatiquement~ αk(vk) >0 etαl(vk) ≥ 0 pour tout l∈ k. En sommant tous ces vk, on obtient w∈ f tel que pour tout k~ ∈K,αk(w)>0. Alors pour tout x∈~p−1(C~F), il existeλ∈R+
tel que x+λw∈C, et~ ceci prouve que~p(C)~ =C~F. Commeδ(~g)⊂C, on a~ C~⊂~g∗, donc CF ⊂~p(~g∗).
Enfin, pour le dernier point, il faut montrer que p(b(g)) est dans chaque demi-appartement de BF contenant un voisinage de s(p(g)) dans p(g). NotonsDBF(M,+) un tel demi-appartement, M est un mur de BF, identifi´e `a un mur de
B dont la direction contient~f . Soit O ouvert de BFtel que O∩g⊂ DB
F(M,+), alors p−1(O)∩g⊂p−1(O)∩p−1(p(g))=
p−1(O∩g)⊂p−1(DBF(M,+)). Ainsi p−1(DBF(M,+)) est un demi-appartement de B contenant le voisinage p−1(O)∩g
de s(g) dans g. Ceci entraˆıne que b(g)⊂p−1(DBF(M,+)), donc que p(b(g))⊂DBF(M,+).
L’inclusion r´eciproque du premier point n’est en g´en´eral pas vraie, mais c’est presque tout comme, car le fait que ~
p(δ(~g))⊂δ(~p(~g)) implique que~p(δ(~g)) est inclus dans la mˆeme facette de Weyl que celle contenantδ(~p(~g)). En terme
de cˆones affines, on obtient le
Corollaire 8.2.7 Soit BF un appartement de IF, soit g ∈ FB un cˆone bord´e par un cˆone parall`ele `a f . Alors Cl(pB(δ(g)))=Cl(δ(pB(g))).
On ne peut pas dire directement la mˆeme chose pour les bases, car b(g) est d´efinie comme l’intersection de g avec des demi-appartements ferm´es. Il se pourrait donc a priori que p(b(g)) soit inclus dans un bord de la facette de Weyl contenant b(p(g)). Mais ce n’est pas le cas. En effet, si M est un mur contenant p(b(g)), alors le mur correspondant contient b(g) et donc g, d’o `u finalement b(p(g))⊂M. On peut donc ´enoncer le
Corollaire 8.2.8 Soit BF un appartement deIF, soit g∈ FBbord´e par un cˆone parall`ele `a f . Alors Cl(pB(b(g)))=
8.2.2 IcFcomme r´eunion de fac¸ades deI
On montre ici queIcF est hom´eomorphe `a la r´eunion deIF et d’autres fac¸ades deI. On pose :
B(F)={G∈ FI| ∃A∈ A, F′∈ FI, G′un scp de G tq F′∥F, δ(F′)∪δ(G′)⊂A et A∩F′⊂A∩G′} On dira queB(F) est l’ensemble des cˆones deIbord´es par F.
Proposition 8.2.9 L’espace topologiqueIcFest hom´eomorphe `a la r´eunion desIGpour G∈ B(F).
L’hom´eomorphisme est donn´e par :
χ: IcF → S G∈B(F)IG g AF 7→ g a A
Un point [g]AFd’un appartement compactifi´e ¯AF est envoy´e sur le point de ¯A ´egal `a [ga], o `u gaest un relev´e de g dans A, c’est `a dire ga∈ FA, pA(ga)=g et f~⊂~ga.
De plus,χfixeIF.
D´emonstration:
χest bien d´efini :
Pour commencer, soit AF un appartement deIF, soient g et h deux cˆones ´equivalents dans AF, soient ga,ha∈ FAdes relev´es, montrons que ga ∼A ha. On a ´egalit´e des directions :~p(~ga)=~g =~h =~p(~ha), donc~ga =~hapar la deuxi`eme assertion de la proposition 8.2.2. Et g∩h,∅donc le lemme 8.2.3 s’applique : ga∩ha ,∅. Donc ga∼ha.
Passons au cas g´en´eral : soit x ∈IcF, soient AFet BFdeux appartements deIF, soit g∈ FAFet h ∈ FBFtels que
x=[g]AF=[h]BF. Soient ga ∈ FAet hb∈ FBdes relev´es. Alors{˜ga,˜hb} ⊂ B(F)
Il existe fa ∈ FAet fb∈ FBtels queδ( fa)∥δ(F)∥δ( fb), fa⊂¯ga, fb⊂¯hb, s( fa)=s(ga), et s( fb)=s(hb). D’apr`es la proposition 3.3.3, point 9, il existe une facette de quartier k⊂A et une autre l⊂ B telles queδ(ga)∪δ( fa)⊂ ¯k et δ(hb)∪δ( fb)⊂¯l. On choisit k et l minimales. Soit Z∈ Acontenant un scp de k et un scp de l, montrons que Z contient alors le coeur d’un scp de gaet le coeur d’un scp de hb.
Il y a deux possibilit´es : soitδ(f~a)⊂δ(~ga) et alors~k est la facette de Weyl contenantδ(~ga) et doncδ(~ga)⊂~ga∩~k, soit δ(f~a) est disjoint deδ(~ga), alors~k est la plus petite facette ferm´ee contenant Conv(δ(~fa)∪δ(~ga)), alors ]u,v[⊂~ga∩~k pour n’importe quel u∈δ(~ga) et v∈δ(f~a). Dans tous les cas,~k∩~ga ,∅. Donc tout scp de k contient un point t de ga, alors t+δ(~g)⊂k par le lemme 8.2.1. Ceci prouve que A∩Z contient le coeur d’un scp de ga. De mˆeme, B∩Z contient
le coeur d’un scp de hb. Notons gzet hzles cˆones engendr´es par ces coeurs, ainsi ˜gz∼I ˜gaet ˜hz∼I ˜hb.
Comme Z contient ´egalement un cˆone parall`ele `a fa, il contient un cˆone parall`ele `a f et fournit donc un apparte-ment ZF deIF. Nous voulons montrer que ˜ga ∼ ˜hb, et pour cela il suffit de montrer que gz ∼Z hz. En raison du cas particulier trait´e au d´ebut de la preuve, il suffit de prouver que pZ(gz) ∼ZF pZ(hz). Ce sera fait si nous prouvons que ˜g=p]A(ga)∼IF p]Z(gz) et ˜h=p]B(hb)∼IF p]Z(hz). Bien sˆur les deux ´egalit´es sont similaires, v´erifions juste la premi`ere. Quitte `a remplacer ga par le scp engendr´e parδ(gz), et g par la projection sur AF du cˆone obtenu, on peut supposer
k⊂A∩Z,δ(ga)=δ(gz) et pA(ga)=g. L’intersection ¯A∩Z est ferm´ee, donc contient ¯k. Or ¯k contient p¯ A(¯k∩A) car δ(f~a)⊂~k donc ¯k∩A est stable par addition avecδ(f~a). Donc AF∩ZF ⊃Cl(pA(δ(ga))). Et, d’apr`es le corollaire 8.2.7,
AF∩ZF ⊃δ(pA(ga))=δ(g).
On peut maintenant choisir φ : ¯A −→∼ Z un ”isomorphisme d’appartements compactifi´es” qui fixe A¯ F ∩ZF. Alors
φ(g)=φ◦pA(ga)=pZ◦φ(ga)=pZ(gz). Ainsi, pZ(gz) est l’image de g par un isomorphisme d’appartements qui fixe
δ(g), donc pZ(gz) et g ont le mˆeme coeur, et donc ˜g=p]Z(gz). Ceci ach`eve de prouver queχest bien d´efinie.
Lemme 8.2.10 Soient F′,G,H ∈ FI tels que G ∈ B(F) et H ∈ B(F′). Alors il existe un appartement Z, il existe
gz,fz,fz′,hz∈ FZtels que ˜gzet ˜hzsont des scp de G et H, ˜fzet ˜fz′sont parall`eles `a F et F′, fz⊂¯gzet fz′⊂¯hz.
De plus, si A est un appartement deIcontenantδ(G) et un cˆone parall`ele `aδ(F), si ga = A∩G, alorsp]A(ga)∼IF
]
pZ(gz). Et similairement pour H et F′.
Remarque: En appliquant ce lemme au cas o `u F′=H et G∼H, on v´erifie que si G∈ B(F) et H∼G, alors H∈ B(F). χest surjective : Soit x∈S
G∈B(F)IG. Il existe un appartement A et un cˆone g∈ FAtel que x=[g]Aet F borde ˜g. Alors pA(g)∈ FAFet x=χ([pA(g)]AF).
χest injective : Soient x,y ∈IcF, x= [g]AF, y =[h]BF, et supposons queχ(x) =χ(y). Soient ga ∈ FA, hb ∈ FB des relev´es, alors ˜ga ∼ ˜hb. Quitte `a raccourcir gaet hb, on peut supposer grˆace au lemme 8.2.10 qu’il existe Z ∈ A,
gz,hz,fz ∈ FZtels que ˜gz ∼ ˜ga, ˜hz ∼˜hbet ˜fz ∥F. Alors gz ∼Z hz, c’est-`a-dire que gz∩hzcontient un scp de gzet de
hz. Alors l’image par pZde ce scp est un scp de pZ(gz) et de pZ(hZ), donc pZ(gz)∼ZF pZ(hZ). Mais le lemme affirme
en outre que ˜g=p]A(ga)∼IF p]Z(gz) et similairement pour h. Ceci implique que ˜g∼IF ˜h donc x=y.
χest continue : Soit x=[g]AFun point d’un appartement compactifi´e ¯AFdeIF. Fixons un relev´e ga∈ FAde g et un ouvert U ∈ Ude sorte que V :=VI( ˜ga,U)∩(∪G∈B(F)IG) est un voisinage deχ(x), et les voisinages obtenus de la sorte forment une base de voisinages deχ(x). Montrons queχ−1(V) contient un voisinage de x, pr´ecis´ement, nous allons montrer queVIF(g, ~p(U))⊂χ−1(V). Soit f ∈ FAun cˆone tel que ˜f ∥F.
Soit t∈ VIF(g, ~p(U)), soit H∈ FIun repr´esentant de t. Alors H est bord´e par F, donc d’apr`es la proposition 4.7.2, il existe B∈ Acontenant b(ga)+δ(~f ) et un scp deδ(H), on peut supposerδ(H) lui-mˆeme. L’intersection ¯A∩B contient¯
alors p(b(ga)) et donc b(g) par le corollaire 8.2.8. Soitφ : ¯B−→∼ A induisant un isomorphisme B¯ F
∼ −
→ AF fixant b(g). Alorsφ(t)∈ V′A
F(g, ~p(U)) (voir 6.2.3). On aχ◦φ(t)=φ◦χ(t), il reste donc `a v´erifier queχ(φ(t))∈ V′A(ga,U).
Soit h∈AF un repr´esentant deφ(t) inclus dans (g+~pA(U))∩g∗. Comme pA(ga+U)=g+~p(U), il existe s∈ga+U
tel que pA(s)=s(g). Mais alors s∈ p−1(g∗), donc d’apr`es la proposition 8.2.6, il existe~v∈ ~f tel que s+~v∈g∗a. Alors
s+~v∈(ga+U)∩g∗a. On choisit le relev´e hade h dont le sommet est s+~v, donc ha=s+~v+~ha⊂(ga+U)∩g∗a, car ~haest dans le bord de~ga(lemme 8.2.4). Ceci prouve queχ(φ(t))∈ V′
A(ga,U), doncχest continue. χest ferm´ee carIcF est compact etIest s´epar´e.
χfixeIF : Soit x∈ IF, soit AF un appartement contenant x, soit f ∈ FAun repr´esentant de x, on a ˜f ∥ f . On a x=[{x}]AFet un relev´e de{x}dans A est f . Doncχ(x)=[ f ]A =x.
Ainsi,χ(IcF) est compact, donc ferm´e dansI. De plus,IF est dense dansIcF, doncχ(IF)= IF est dense dans χ(IcF). D’o `u le
Corollaire 8.2.11 L’adh´erence deIF dansIestχ(IcF)=S
G∈B(F)IG.
On peut donc identifier, au moyen deχ, la compactificationIcFdeIF `a la clˆoture deIFdansI.
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Cyril Charignon Institut ´Elie Cartan
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