Bilan partiel et perspectives

11.1. Bilan

Après une première version où la base de règles avait été écrite à la main, testée et mise au point sur des exercices niveau lycée, la deuxième version avec construction automatique de règles re-démontre progressivement les mêmes théorèmes en fonction des connaissances fournies au système. Le démonstrateur démontre environ 250 théorèmes, en géométrie des configurations, niveau lycée (parallélogrammes, triangles, milieux, cocyclicité, angles géométriques ou orientés, Thalès, Pythagore etc) ,en calcul vectoriel, géométrie analytique et transformations planes. Les exemples proviennent pour la plupart de livres de secondes [Terracher Hachette Secondes] par exemple, ou ont été proposés, pour certains, par des collègues de mathématique. Les temps de démonstrations sont inégaux suivant les types d'exercices et bien entendu suivant la façon dont sont ordonnées les règles actives. Pour fixer les idées, la plupart sont obtenues en moins d'une minute sur un PC 200 Mz. Le nombre de règles construites est actuellement d'environ 1200 et augmente en fonction des nouvelles connaissances fournies par l'utilisateur. Le démonstrateur démontre tous les théorèmes figurant dans les thèses de Pintado [Pintado 94] et Bazin [Bazin 93], mais en prenant plus de temps en général pour ceux de [Pintado 94] (la base de connaissances est peut-être plus grande). Les temps de résolutions sont améliorés sensiblement par le chargement de stratégies apprises, guidées par le but, mais il manque l’apprentissage automatique d’heuristiques de créations ce qui bloque souvent le démonstrateur dans ses recherches.

11.2. Objectifs

Il s’agit de rendre le démonstrateur suffisamment robuste pour qu'il puisse servir en EIAO. Il apparaît nécessaire de créer une interface utilisateur sur poste fixe ou par internet pour pouvoir vraiment tester cette robustesse et vérifier l’intérêt pédagogique que peut apporter un tel système. Il est possible de guider, pas à pas, la recherche d’un élève en partant du but à partir d’une preuve découverte par ARGOS, car à partir de la conclusion on peut développer la preuve niveau par niveau. On peut imaginer la possibilité de faire construire la figure

automatiquement par un couplage avec des logiciels comme GEOPLANW ou CABRI-GEOMETRE par exemple. Il faut implémenter des méthodes d’apprentissage correspondant au savoir-faire de l’expert qui reconnaît dans l’expérience présente des situations antérieures déjà rencontrées. Dans une situation analogue on mettra en œuvre des techniques semblables. Ceci devrait permettre une meilleure sélection des règles et des liens entre concepts et règles applicables. Un travail reste à faire au niveau de l’explication. Il apparaît essentiel de considérer la tâche d’explication comme une tâche de résolution de problème à part entière. Il faudrait que, pour chaque connaissance rajoutée dans la base, le système soit capable de mettre à jour automatiquement les règles d’utilisation de cette connaissance et les règles permettant de donner des explications dans des pas de déduction où intervient cette connaissance. En utilisant les traces d'exercices avec création d'objets ou non, il faudrait que le système découvre automatiquement de nouvelles propriétés et heuristiques de création d'objets qui resserviraient dans des circonstances analogues et rajouteraient automatiquement de nouveaux théorèmes. Mais comment Argos va-t-il juger de la qualité de ce qu'il va retenir? La communauté des mathématiciens met souvent bien longtemps pour reconnaître l'importance de tel ou tel théorème....

12. BIBLIOGRAPHIE

[Bazin 93] J.M Bazin: GEOMUS un résolveur de problèmes de géométrie qui mobilise ses

connaissances en fonction du problème posé,Thèse université Paris 6.

[Pastre 84] D Pastre. MUSCADET Un système de démonstration automatique de théorèmes

utilisant connaissances et métaconnaissances en mathématique, Thèse d'état Paris VI, 1984.

[Pastre 89] D Pastre: MUSCADET an automatic theorem proving system using knowledge and metaknowledge in mathematics, Journal of Artificial Intelligence 38, p 257-318, 1989.

[Pastre 93] D Pastre:, Volume 8, No. 3-4,p 425-447 ,1993.

[Pastre 99] D Pastre: Le nouveau MUSCADET et la TPTP Problem Library. Actes de Berder,

1999.

[Pintado 94] M Pintado: Apprentissage et démonstration automatique de théorèmes, Thèse

Paris 6, 1994.

[Pitrat 90] J Pitrat: Métaconnaissances futur de l’intelligence artificielle, Editions Hermès,

1990.

[Pitrat 99] J Pitrat. Monitorer la recherche d’une solution, Actes de Berder, 1999.

Université Henri Poincaré- Nancy 1994.

[Melis 99] E Melis et Uri Leron: A Proof Presentation Suitable for Teaching Proofs,

Artificial Intelligence in Education, SP Lajoie and M. Vivet(Eds), IOS Press, 1999.

[Luengo 99] Vanda Luengo: A Semi-Empirical Agent for Learning Mathematical Proof.

Artificial Intelligence in Education, SP Lajoie and M. Vivet(Eds), IOS Press, 1999.

[Koedinger 99] V Aleven, Kenneth R. Koedinger, Karen Cross: Tutoring Answer

Explanation Fosters Learning with Understanding, P 199- 206, Artificial Intelligence in

Education, SP Lajoie and M. Vivet(Eds), IOS Press, 1999.

[Nicaud 99] JF Nicaud, D Bouhineau, C Varlet, Anh Nguyen-Xuan. Towards a product for

teaching formal algebra, P207-214, Artificial Intelligence in Education, SP Lajoie and M.

Vivet(Eds), IOS Press, 1999.

[Nguyen-Xuan 99] Anh Nguyen-Xuan, Anne Bastide, JF Nicaud: Learning to solve

polynomial factorization problems: By solving problems and by studying examples of problem solving, with an intelligent learning environnement, Artificial Intelligence in Education, SP

Lajoie and M. Vivet(Eds), IOS Press, 1999.

[Horacek 99] Helmut Horacek: Presenting Proofs in a Human-Oriented Way, CADE-16

Atomated Deduction 1999.

[Py 96] Dominique Py: Aide à la démonstration en géométrie: le projet Mentoniezh, Sciences

Annexe1:

Enoncé en français :

Soient a,o,f,c 4 points alignés dans cet ordre avec : ao=of=3, ac = 15. Soit b un point tel que ob=6 et (bo) ⊥⊥⊥⊥ (ac). Le cercle de diamètre [fc] coupe la droite (bc) en h. g est le point d’intersection de la droite (hf) avec la parallèle à la droite (bf) passant par a.

1)Calculer les longueurs ab et bc.

2)Montrer que (ab) ⊥ (bc).

3)Montrer que le triangle hfc est rectangle en h. 4) Montrer que (ab) // (fh).

5) Montrer que le triangle baf est isocèle. 6) Montrer que abfg est un losange.

figure:

Enoncé donné au système:

alignesOrd([a, o, f, c]) et cercleDiam(f, c) : cercle et h

estDans cercle inter droite(b, c) et droite(b, o) orthog

droite(a, c) et longueur(a, c) egal 15 et longueur(a, o) egal

3 et longueur(f, o) egal 3 et longueur(b, o) egal 6 et

droite(a, g) paralleles droite(b, f) et g app droite(f, h) =>

calculer(longueur(a, b)) et calculer(longueur(b, c)) et

droite(a, b) orthog droite(b, c) et trRect(h, f, c) et

droite(a, b) paralleles droite(f, h) et isocele(b, a, f) et

losange(a, b, f, g).

Preuve rédigée du théorème