5.1 Force de l’eau sur un coude de canalisation.
On s’int´eresse `a une canalisation de section S constante dans le plan horizontal faisant un coude
`
a 90˚ : l’entr´ee est suivant l’axe x et la sortie suivant l’axe y. L’´ecoulement de l’eau dans le tuyau est suppos´ee parfait, homog`ene et incompressible, stationnaire dans le r´ef´erentiel du laboratoire suppos´e galil´een. On notevele module de la vitesse `a l’entr´ee (uniforme sur la section du fluide) etvs le module de la vitesse `a la sortie. De mˆeme, pe etps d´esigne la pression dans le fluide respectivement `a l’entr´ee et `a la sortie.
1. Montrer queve=vs 2. En d´eduire que pe=ps
3. Calculer la force qu’exerce l’eau sur le coude. Commenter Commentaire :
Un exercice de cours, qui montre la force du raisonnement par bilan en m´ecanique des fluides pour le r´egime stationnaire. Il n’est absolument pas n´ecessaire de connaˆıtre l’´ecoulement du fluide (champ de vitesse et champ de pression) dans la canalisation au niveau du coude, seule la connaissance des grandeurs d’entr´ee et de sortie permet de conclure. Enfin le but de l’exercice ´etant de calculer une force sur un objet, il doit ˆetre naturel de penser `a un bilan de quantit´e de mouvement puisque les forces ext´erieures interviennent naturellement dans le Th´eor`eme de la R´esultante Dynamique.
5.2 La pouss´ ee d’une fus´ ee.
On ´etudie une fus´ee qui d´ecolle. Elle a donc un mouvement selon Oz et on suppose que le champ de pesanteur est uniforme (d´ebut de la phase de d´ecollement, au voisinage du sol). Pour se propulser, la fus´ee ´ejecte de ses r´eservoirs du fluide avec un d´ebit massique Dm constant et une vitesse relative (par rapport `a la fus´ee donc) −u−→uz. On note donc m(t) la masse de la fus´ee.
1. Justifier la n´ecessit´e de se ramener `a un syst`eme ferm´ee pendant un interval de temps dt.
2. Trouver l’´evolution de la masse de la fus´ee en fonction du temps :m(t).
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393. En supposant le champ de pression uniforme autour de la fus´ee, montrer que la vitesse de la fus´ee v´erifie l’´equation diff´erentielle : m(t)ddt−→v =m(t)−→g +Dmu−→uz
4. En d´eduirev(t). Commenter l’expression lorsque t→ ∞ Commentaire :
Cet exercice est un classique, qui tombe aux Oraux de CCP et Centrale. A noter que la notion de pouss´ee est exclu du programme, aucune connaissance n’est exigible. L’exercice n’en demeure pas moins int´eressant.
5.3 Levitation d’une plaque sur un jet d’eau vertical.
Dans cet exercice, on souhaite ´etudier la possibilit´e qu’une plaque horizontale cylindrique de masse volumique µ d’´epaisseur a et de rayon R l´evite dans un jet d’eau vertical vers le haut (l’axe du jet d’eau est confondu avec l’axe du cylindre).
L’eau sort du tuyau `a la pressionp0 et avec la vitesse −→v 0 =v0−→uz `a travers une section S0 =πr20. Le long du cylindre sur lequel l’eau coule, l’´ecoulement est suppos´e radial (pour r > r0) sur une
´
epaisseur e.
La masse volumique de l’eau est not´eρ.
1. Calculer v(r=R)
2. Calculer la force qu s’exerce sur la plaque de la part de l’´ecoulement d’eau 3. En d´eduire la vitessev0 pour faire l´eviter la plaque.
Commentaire :
Cet exercice est la reprise d’un exercice d´ej`a trait´e dans le chapitre sur les ´ecoulements parfaits mais par une autre approche (approche locale) que celle propos´ee ici (approche par bilan). Il est int´eressant de reprendre l’´enonce du chapitre 2 et sa r´esolution pour bien voir les avantages et inconv´eniants de l’approche par les bilans. Tout l’int´erˆet des raisonnements sur bilan est ici visible car il n’y a d’ap-proximation sur l’´ecoulement et le r´esultat est ici exacte, alors que le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent approch´e.
5.4 Inverseur de pouss´ ee
Les inverseur de pouss´ee sont utilis´ees sur les avions `a r´eactions lors de la phase de d´ec´el´eration `a l’att´erissage. Il s’agit de d´eflecteur qui redirige le fluide sortant du r´eacteur vers l’avant de l’appareil.
1. Expliquer qualitativement que l’inverseur de pouss´ee freine l’appareil.
2. On suppose que le l’inverseur de pouss´ee est une demi sph`ere de rayon R. L’air sort du r´eacteur
`
a une vitesse v0 sur une section s0. D´eterminer la force de freinage que g´en`ere l’inverseur de pouss´ee.
Commentaire :
Cet exercice repose sur un syst`eme qui ´equipe effectivement les avions. Son efficacit´e est prouv´ee
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Figure 5.1 – Inverseur de pouss´ee.
mˆeme s de nombreuses pannes ont ´et´e d´eplor´es sur ces derniers (leur mise en place n’est pas ais´ee et l’´electronique de l’appareil analyse mal les r´eactions de l’avion.) Il s’agit d’un bilan de quantit´e de mouvement puisque une force est cherch´ee.
5.5 Le tourniquet hydraulique
Figure 5.2 – Le tourniquet hydraulique.
Un tourniquet hydraulique poss`ede deux bras identiques OA et OB de longueur R et de section S.
Chaque bras est termin´e par un tube de mˆeme section S faisant avec le bras un angleα se terminant respectivement en A’ et B’, de longueur n´egligeable << R.
L’eau, suppos´ee incompressible, est inject´ee dans le tourniquet hydraulique par le tube centrale de section 2S avec un d´ebit volumique Dv constant.
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On note J le moment d’inertie par rapport `a l’axe Oz du tourniquet On notera −→
Ω = Ω(t)−→uz le vecteur rotation du tourniquet.
1. Calculer la vitesse d´ejection du fluide en A’ dans le r´ef´erentiel du laboratoire sachant que la vitesse d’ejection du fluide par rapport au tourniquet est not´e v−→u.
2. Calculer v en foncion de Dv
3. Montrer que le moment cin´etique sur Oz du syst`eme (qui n’est pas en r´egime stationnaire) est
DLz
Dt =Jdωdt +µDv(R2Ω−Rvsin(α)
4. Trouver l’´equation dont Ω(t) est solution. La r´esoudre sachant que le syst`eme est initialement immobile.
Commentaire :
Cet exercice est un classique, tomb´e aux ´ecrits et aux oraux. Son originali´et r´eside dans l’utilisation du th´eor`eme du moment cin´etique. Si les bilans d’´energie et de quantit´e de mouvement (pour calculer des forces) sont courants, les bilans de moment cin´etique sont plus rares, ils interviennent pour des solides en rotations comme l’´eolienne.
5.6 Le th´ eor` eme de Torricelli.
On s’int´eresse au dispositif de Torricelli (`a l’origine mis en place pour les lances `a incendies des pompiers et les fontaines de sa ville) : un cylindre de rayon R sert de r´eserve d’eau et est remplie sur une hauteur h. En bas de ce cylindre, un tube de longueur L et de rayon r << R conduit jusqu’`a une ouverture libre duquelle l’eau s’´ejecte.
Figure 5.3 – Ecoulement de Torricelli.
On s’int´eresse au r´egime permanent de l’´ecoulement. Monter que le vitesse d’´ejection des particules de fluides `a l’extr´emit´e du petit tube estv =√
2ghpar une m´ethode de bilan. Commenter cette valeur.
Commentaire :
Cet exercice est une applicatio directe du cours. Il faut penser `a faire le lien entre l’´equation de Bernoulli et les bilans ´energ´etiques, comme dans le cours. Par la m´ethode du bilan, l’interpr´etation de la vitesse de chute libre est plus naturelle. L’exercice conserve tout son int´erˆet car il faut r´efl´echir
`
a quel ”bilan” utilis´e. Ici le bialn ´energ´etique est `a priviligier car P(force int non conservative)=0 et P(force ext non conservative)=0.
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5.7 Onde de choc dans une canalisation.
Consid´erons une canalisation horizontale d’axe Ox, de section S constante dans laquelle l’´ecoulement est suppos´e stationnaire de vitesse−→v1 =v−→ux. Si on ferme brutalement la conduite en x=0, on constate que l’´ecoulement ne s’arrˆete pas instantan´eement partout. Il existe donc deux zones d’´ecoulement diff´erent : une zone 1 o`u le fluide continue de couler −→v 1 =v−→ux et une zone 2 o`u le fluide est immo-bile −→v 2 = −→
0 . L’interface entre les deux ´ecoulements, suppos´ee perpendiculaire au tube, se d´eplace
`
a la vitesse −c−→ux, (c >> v) ce qui signifie que la zone 2 ”grandit” et que la zone 1 ”diminue”. Ce ph´enom`ene correspond `a une onde de choc (propagation d’une discontinuit´e de la vitesse). En plus de la discontinuit´e de vitesse de part et d’autre de l’´ecoulement, on observe queµ1 6=µ2 et P1 6=P2.
1. On se place dans le r´ef´erentiel R’ li´e `a l’onde de choc. Justifier que le r´ef´erentiel R’ est galil´een et exprimer la vitesse du fluide dans la zone 1 v10 et 2 v02 dans R’.
2. Consid´erons un surface de contrˆole comprise entre deux sections du tube, l’une en amont, l’autre en aval de l’onde de choc. Ce syst`eme est un syst`eme ouvert. D´efinir le syst`eme fictif ferm´e S∗ pendant dt. Justifier que ce syst`eme fictif ferm´e soit en r´egime stationnaire.
3. Par un bilan de mati`ere, montrer que µ2c=µ1(c+v)
4. Par faisant un bilan de quantit´e de mouvement, montrer que µ2c2−µ1(c+v)2 =p1−p2 5. Justifier que pour un ´ecoulment parfait, l’´evolution est isentropique. L’´evolution de la masse
volumique est alors caract´eris´e par le coefficient de compressibilit´e isentropiqueχS = µ1∂µ∂p)S cst En supposant le fluide peu compressible, montrer que µ2−µ1 =χSµ1(p2−p1)
6. En exploitant les trois ´equations pr´ec´edentes, montrer que c'q
1 µ1χS
7. AN avec χS = 5.10−10P a−1. Commenter la valeur de c trouver.
8. Calculer p2 et µ2. Commenter.
Commentaire :
Cet exercice est un extrait de probl`eme s´electif. Cet exercice s’int´eresse pour la premi`ere fois `a un fluide compressible. Dans ce cas, comme nous nous le reverons pour les ondes acoustiques, il faut une ´equation en plus (car il y a une inconnue en plus). Il faut donc passer par une ´equation thermodynamique.
Cette d´emarche est importante et repose sur des arguments physiques. Un exercice tr`es riche. L’onde de choc s’entend dans les vieilles installations d’eau lorsque l’on ferme violemment un robinet et elle peut provoquer des fuites. Cette onde de choc est par contre mise `a profit dans les pompes `a onde de choc de Montgolfier.
5.8 Tuy` ere subsonique/supersonique.
On s’int´eresse `a une tuy`ere poss´edant un axe de r´evolution Ox et dont la section evolue selon une loi S(x). On suppose que l’´ecoulement dans cette tuy`ere est stationnaire, quasi unidimensionnel donc caract´eris´e par une vitesse~v =v(x)~ux, une pression p(x) et une masse volumique µ(x) (le fluide est donc compressible) `a laquelle on substituera la temp´erature T(x).
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1. Traduire les trois ´equations coupl´ees faisant intervenir les 3 champs en appliquant une m´ethode de bilan pour l’´equation bilan de mati`ere et l’´equation d’´evolution. (L’´equation thermodyna-mique restant locale)
2. Etablir alors que (1− vc22)v.dxdv =−vS2dSdx o`u c= γPµ = γRTM d´esigne la vitesse du son.
3. Si le nombre de Mach M = vc est inf´erieur `a 1, quelle doit ˆetre la forme de la tuy`ere pour que v(x) soit une fonction croissante.
4. Si le nombre de Mach M = vc est sup´erieur `a 1, quelle doit ˆetre la forme de la tuy`ere pour que v(x) soit une fonction croissante.
5. Commenter alors la forme de la tuy`ere 5.4.
Commentaire :
Un exercice extrait de Centrale. Cet exercice est la reprise d’un exercise d´ej`a trait´e dans la partie sur les fluides parfait. L’id´ee est ici d’appliquer une m´ethode globale pour l’´equation de conservation et l’´equation d’´evolution puisqu’ainsi les approximations sont mieux maitris´ees : il faut faire le premier principe, bilan d’´energie pour les syst`emes ouverts en r´egime permanent.
Figure 5.4 – Tuy`ere de fus´ee en sortie de la chambre de combustion.
5.9 Bistable hydraulique.
Deux r´eservoirs de mˆeme section S contiennent de l’eau et communiquent au niveau de leur base par un tuyau en caoutchouc de section s<<S horizontal. Une ouverture est faite dans ce tuyau et un lame de li`ege de surface s’>s, est plaqu´ee contre la partie droite du tuyau et le bouche, l’eau s’´ecoule alors dans le r´eservoir de gauche et maintient le li`ege plaqu´e.
1. Exprimer la force F~d excerc´ee par l’eau du compartiment de droite et la force F~a excerc´ee par l’air sur la plaque de li`ege
2. Exprimer la vitesse d’´ejection de l’eau et la force F~g excerc´ee par l’eau du compartiment de gauche sur la plaque de li`ege
3. A quelle condition la plaque de li`ege reste-t-elle plaqu´ee ?
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4. Quel est le mouvement ult´erieur ? Commenter le nom de l’exp´erience ?
Figure 5.5 – La plaque de li`ege plaqu´ee par l’´ecoulement du premier r´eservoir empˆeche l’´ecoulement du second reservoir.
Commentaire :
Un exercice extrait de Centrale. Il n’est pas difficile et constitue un bon exercice de r´evision pour l’oral sur la m´ethode des bilans en m´ecanique des fluides.
5.10 Soufflerie
Une soufflerie est mod´elis´ee par une tuy`ere convergente de diam`etre d’entr´ee de = 40cm et de diam`etre de sortie ds = 15cm, la vitesse d’entr´ee du fluide est tr`es faible, la vitesse de sortie est elle v0 '20m.s−1. Les effets de pesanteur sont n´eglig´es.
L’´ecoulement de l’air est suppos´e parfait et incompressible, de masse volumique µ= 1,3kg.m−3. 1. D´eterminer la diff´erence de pression de part et d’autre de l’h´elice.
2. Calculer la puissance `a fournir `a l’h´elice.
Figure 5.6 – Etude de la puissance de la soufflerie.
Commentaire :
Un exercice extrait de CCP, classique.
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5.11 Turbine Pelton
Un auget se d´eplace `a la vitesse uniforme ~u=u~ux dans le r´ef´erentiel du laboratoire. Un jet d’eau de section s suppos´ee invariante frappe l’auget avec une vitesse~v =v0~ux. La forme de l’auget est telle que le fluide est d´evi´e et renvoy´e .
L’´ecoulement de l’eau est suppos´e parfait et incompressible, de masse volumique µ et on n´eglige les effets de la pesanteurs.
1. Calculer la force f~exerc´ee par le jet d’eau sur l’auget.
2. D´efinir le rendement. A quelle condition est il maximal ? 3. Faire une recherche internet expliquant le titre de l’exercice.
Figure 5.7 – Etude du mouvement d’un auget propuls´e par un jet d’eau.
Commentaire :
Un exercice extrait de CCP, classique. L’id´ee du changement de r´ef´erentiel doit ˆetre naturelle.
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Onde sonore.
6.1 Equation de propagation d’une onde sonore.
Dans un fluide au repos, le champ de vitesse d’une particule du fluide ~v(M, t) = ~0 (mˆeme si les mol´ecules ont une vitesse, comme le mouvement est d´esordonn´e, en moyenne, la vitesse est bien nulle) la pression est uniformep0(sur des ´echelles pas trop grandes en z tout du moins) et la masse volumique aussi µ0.
En pr´esence d’une onde sonore, il apparaˆıt un mouvement ordonn´e des particules ~v1(~r, t), champ de vitesse eul´erien qui d´epend de l’espace et du temps, une pression acoustique p1(~r, t) (soit une pression totale ptot = p0 +p1(~r, t), le pression fluctue donc autour de la valeur moyenne p0 qui est la valeur `a l’´equilibre) et une fluctuation de la masse volumiqueµ1(~r, t) (soit une masse volumique totale µtot =µ0+µ1(~r, t)).
1. Rappeler l’approximation acoustique.
2. Ecrire les trois ´equations n´ecessaires `a l’´etude des trois champs pr´ec´edent (en justifiant l’impor-tance de chacune des ´equations).
3. En utilisant l’approximation acoustique, lin´eariser ces ´equations et montrer que l’on obtient alors des ´equations coupl´ees aux d´eriv´ees partielles du premier ordre
Commenter alors l’approximation acoustique.
4. Obtenir l’´equation de propagation de p1, ´equation d´ecoupl´ee aux d´eriv´ees partielles du second ordre.
(Rappel d’analyse vectorielle div(
−→
grad) = ∆ laplacien)
5. Montrer que l’´ecoulement est irrotationnel et obtenir l’´equation de propagation de~v1, ´equation d´ecoupl´ee aux d´eriv´ees partielles du second ordre
(Rappel d’analyse vectorielle rot−→ (rot) =−→
−→
grad(div)−Delta~ )
6. Commenter l’expression de la vitesse de propagation des ondes (en rappelant la valeur de la vitesse du son dans l’air et dans l’eau). Montrer que dans le cas d’un gaz parfait :
c=
rγRT0 M
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47et retrouver alors la valeur de la vitesse du son dans l’air `a 300 K.
7. Traduire l’´equation de propagation pour une OPPH de la forme cos(ωt−~k.~r−ϕ). Trouver la relation de dispersion.
8. Justifier le caract`ere longitudinal de l’onde.
9. Montrer alors que pour une OPPH se d´epla¸cant dans la direction~u, on a l’imp´edance acoustique Z+= p1
v1 =µ0c= rµ
χs G´en´eraliser ce r´esultat pour une OPP.
10. Que dire de Z−? Commentaire :
Cet exercice est un extrait de probl`eme (premi`ere partie) mais il ne reprend que des ´el´ements de cours.
Les probl`emes sur les ondes sonores restent souvent tr`es proches du cours. Un exercice d’entraˆınement donc, sans aucune difficult´e. La traduction de l’´equation pour une OPPH suppose implicitement de se placer en coordonn´ees cart´esiennes et donc d’utiliser l’op´erateur nabla.
6.2 Propagation du potentiel associ´ e ` a l’onde sonore
On cherche `a ´etablir l’´equation qui r´egit le ph´enom`ene de propagation du son. Les ondes acoustiques sont des ondes de pression se propageant dans un fluide compressible : Le ph´enom`ene est spatio-temporel et donc `a priori non stationnaire. De plus le fluide doit ˆetre compressible. On consid´erera l’´ecoulement irrotationnel : l’´ecoulement est donc potentiel : ~v = −−→
gradφ. On s’int´eresse aux ondes acoustiques se propageant dans un gaz parfait diatomique dont le coefficient γ = ccp
v = 75. De plus, on consid´erera que les ondes de pression sont suffisamment rapides pour que les compressions (ou d´etentes) locales soient adiabatiques ; ces surpressions ´etant de faible amplitude on consid´erera que le fluide subit une onde de compression adiabatique quasi-r´eversible.
1. Ecrire les ´equations v´erifi´ees par le champ de pressionP(x, y, z, t), le champ de vitesse~v(x, y, z, t) et la masse volumique µ(x, y, z, t). V´erifiez qu’il y a autant d’inconnues que d’´equations.
2. Lors du passage de l’onde les grandeurs subissent des petites fluctuations : P =P0+δP(x, y, z, t)
µ=µ0+δµ(x, y, z, t)
On se propose de faire la th´eorie lin´eaire de l’acoustique. En effet, les ´equations pr´ec´edentes se lin´earisent si les fluctuations sont faibles. Supposons une onde acoustique de p´eriode T et de longueur d’onde λ. `A l’aide d’un calcul d’ordre de grandeur, montrez que l’on peut n´egliger le terme non lin´eaire (terme convectif) devant le terme instationnaire `a condition que v << cson o`u cson est la c´el´erit´e des ondes acoustiques.
3. On suppose l’´ecoulement irrotationnel. Montrez `a l’aide des ´equations lin´earis´ees que le potentiel des vitesses ob´eit `a l’´equation de D’Alembert.
4. Calculer la vitesse de propagation des ondes acoustiques pour un gaz parfait diatomique. Ap-plication num´erique `a 20˚C.
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5. La sensation auditive n’est pas lin´eaire mais varie de fa¸con logarithmique (loi de Fech- ner).
On d´efinit alors l’intensit´e acoustique comme le logarithme du rapport de deux amplitudes de pression : IdB = 20.log(δPδP
0) o`uδp0 est le seuil d’audibilit´e `a 1000 Hz : δp0 = 2.10−5P a.
Un appareil produit un son de fr´equence f = 1000Hz et d’intensit´e I = 60dB. Calculez δP ainsi que l’amplitude de la vitesse. Quel est l’amplitude du d´eplacement des particules de fluide ? Commentaire :
Cet exercice est un extrait de probl`eme tr`es tr`es proche du cours quoi que un peu diff´erent puisque c’est le potentiel associ´e `a l’´ecoulement qui est ´etudi´e. Le probl`eme sugg`ere la encore d’utiliser les coordonn´ees cart´esiennes et donc d’utiliser l’op´erateur nabla.
6.3 Propagation d’une onde sonore plane progressive har-monique.
Dans ce probl`eme, on souhaite ´etudier la propagation d’une onde sonore plane progressive harmo-nique dans l’air, assimil´e `a un gaz parfait diatomique.
Au repos, en l’absence d’onde sonore, le milieu est d´ecrit par les champs suivants :
−
→v(M, t) = −→ 0
P(M, t) = P0 pression uniforme dans le gaz.
µ(M, t) =µ0 masse volumique uniforme dans le gaz.
En pr´esence de l’onde, il apparaˆıt une perturbation de type ondulatoire, infiniment petite :
−
→v(M, t) = −→v 1(x, t) P(M, t) = P0+P1(x, t) µ(M, t) =µ0+µ1(x, t)
On se limitera `a des developpements `a l’ordre 1 pour les champs qui traduisent la perturbation.
1. Justifier que la pression et la masse volumique puissent ˆetre consid´er´ees comme uniformes dans le fluide au repos. Quel terme est n´eglig´e ?
L’influence du champ de pesanteur est n´eglig´e dans tout le probl`eme.
2. Ecrire les ´equations lin´eaires v´erifi´ees par les champs ondulatoires P1(x, t),~v1(x, t) et µ1(x, t).
3. Justifier que l’utilisation de grandeur complexe est licite pour l’´etude de la propagation.
On cherche alors des solutions de la forme :
On cherche alors des solutions de la forme :