Bilan des comparaisons et positionnement

La méthode des Simulations de Monte-Carlo est précise et simple à mettre en œuvre mais le

nombre élevé d’appels au modèle de dimensionnement souvent complexe la rend impossible à

utiliser dans un contexte industriel, où les temps de calcul doivent rester raisonnables. Les

Simulations de Monte-Carlo améliorées par le plan d’expériences Latin Hypercube ou sur un

métamodèle de type Taylor présentent de bons résultats mais leur mise en œuvre est plus

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difficile que les Simulations de Monte-Carlo sur le modèle exact. Cependant, ce sont des

méthodes numériques qui ne donnent pas la possibilité de conserver les liens entre les Moments

statistiques des performances et ceux des paramètres de conception. La méthode Univariate

Dimension Reduction donne des résultats précis et peut demander un faible nombre d’appels

au modèle si le nombre de points d’interpolation de la méthode de quadrature utilisé est peu

élevé. Cependant, la méthode de quadrature utilisée pour déterminer ces points d’interpolation

et les poids associés est très contraignante. Elle nécessite de connaître les Moments ordinaires

de chaque paramètre à différents ordres (fonction du nombre de points d’interpolation à

déterminer). Ensuite, les mécanismes mathématiques de cette méthode de quadrature sont

lourds à mettre en œuvre (inversion et résolution de matrices, résolution d’équations,…). La

méthode des Polynômes de Chaos n’a pas été testée sur le modèle de dimensionnement du

moteur électrique, ce qui ne permet donc pas une comparaison des résultats. Nous avons

cependant observé que les mécanismes mathématiques à mettre en œuvre sont nombreux et

complexes. En effet, cette méthode a l’avantage de proposer de nombreuses approches pour le

calcul des coefficients du développement en Polynômes de Chaos. Cet avantage peut se révéler

être un inconvénient pour l’utilisateur lorsque les informations pour choisir les paramètres

fonctionnels de la méthode ne sont pas données ni clarifiées. Les résultats obtenus par la

méthode Propagation of Variance sont eux aussi précis pour un développement de Taylor au

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ordre. En effet, l’approche quadratique est plus adaptée que l’approche linéaire pour le

dimensionnement de produit où les modèles présentent généralement de nombreuses

non-linéarités. Cette méthode permet l’emploi d’algorithmes d’optimisation déterministes dans le

cas où les dérivées (Gradient et Hessian) du modèle de dimensionnement sont exprimées de

manière formelle. Les dérivées du modèle peuvent être estimées par des méthodes numériques

par différences finies par exemple. Les mécanismes mathématiques utilisés par cette méthode

sont rapides à comprendre et à mettre en œuvre ce qui la rend facile d’emploi. Enfin, les temps

de calculs sont moins importants que pour les Simulations de Monte-Carlo ce qui rend cette

méthode utilisable dans un contexte industriel.

Suite à cette étude comparative des méthodes pour la propagation d’incertitude, nous optons

pour l’utilisation de la méthode Propagation of Variance pour un développement de Taylor du

modèle de dimensionnement au 2

ordre. En effet, cette méthode présente de nombreux

avantages qui pourront être exploités dans la suite de ce travail.

4.7. Conclusion

Ce chapitre consacré à la propagation d’incertitudes révèle la diversité des méthodes dans le

cas où les incertitudes sont de type probabiliste. Nous avons choisi la modélisation probabiliste

pour représenter les variations des paramètres de conception. Dans ce chapitre nous avons

fourni des informations sur la modélisation probabiliste, nécessaires à la compréhension des

méthodes de propagation d’incertitudes. Nous avons défini les variables aléatoires continues,

les lois de probabilités, les notions de Moments statistiques, de covariance et d’indépendance

des paramètres. Des méthodes de transformations probabilistes ont aussi été introduites.

La propagation d’incertitudes peut avoir plusieurs applications possibles telles que l’analyse de

sensibilité et l’analyse d’incertitude. Alors que les méthodes pour réaliser ces deux applications

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sont les mêmes, leurs objectifs diffèrent. En effet, l’analyse de sensibilité peut être réalisée au

préalable pour diminuer la dimension d’un problème afin d’alléger les calculs. L’analyse

d’incertitude permet d’évaluer la robustesse d’un dimensionnement. C’est cette dernière

application que nous avons étudiée à travers ce chapitre.

Cinq familles de méthodes de propagation d’incertitudes ont été présentées dans ce chapitre :

1. Les Simulations de Monte-Carlo sur le modèle de dimensionnement exact

2. Les Simulations de Monte-Carlo améliorées par l’utilisation d’un métamodèle ou d’un

plan d’expériences

3. La méthode de Propagation of Variance basée sur un développement de Taylor au 1

ordre ou au 2

ordre

4. La méthode Dimension Reduction et plus particulièrement Univariate Dimension

Reduction présentant un développement du modèle à 𝑛 dimensions en somme de

fonctions à une dimension

5. La méthode des Polynômes de Chaos

Nous avons proposé une comparaison de ces méthodes sur différents critères relatifs à la théorie

et à l’implémentation. Les critères relatifs à la théorie font référence aux mécanismes

mathématiques mis en œuvre pour le calcul des variations des performances en fonction des

variations des paramètres de conception du modèle. Les critères relatifs à l’implémentation

portent sur la facilité de compréhension de la méthode et de sa mise en œuvre, sur le temps de

calcul et la précision de ses résultats. Les différentes comparaisons de ces méthodes nous ont

permis de choisir d'utiliser la méthode Propagation of Variance pour un développement de

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