Bell-type experiment in the micro-macro scenario

Let us come back to the micro-macro scenario, depicted in Figure 7.2, where one photon (in spatial mode b) of a polarization-entangled singlet state is detected directly by standard single-photon detectors, while the other photon (in spatial mode a) is greatly amplified with the phase-covariant cloning process described above, leading to the micro-macro entangled state

|Ψ⁻i= 1

√2(|Φi^a|0,1i^b− |Φ_⊥i^a|1,0i^b) . (7.4) Measurements in two different equatorial bases for both modes aand b are suf-ficient for testing the CHSH Bell inequality. The capability of the human eye to

Figure 7.2: Bell-type experiment in the micro-macro scenario, with human-eye de-tectors for the macro system.

distinguish the two states |Φi and |Φ_⊥i, in any equatorial basis, with high visibil-ity V > √¹

2 implies the possibility of observing a violation of the CHSH inequality with the same visibility (provided the detection of the unamplified photon does not introduce additional errors).

The robustness of the visibility with respect to losses means that a strong Bell inequality violation could be achieved for arbitrarily high losses, provided that the amplification is sufficiently strong. This is paradoxical at first sight, since informa-tion about the macro-state (|Φior|Φ_⊥i) leaks into the environment: the remaining micro-macro entanglement must be quite small. So how can the visibility of the Bell violation remain so high?

This apparent paradox can be resolved by realizing that the detection method, despite its quite good efficiency, is nevertheless post-selective. Moreover, in the presence of loss the macro-system does no longer live in the two-dimensional Hilbert space spanned by|Φiand|Φ_⊥i, but in a much larger space. These two facts open up an important loophole: conclusive results for different equatorial bases correspond to different, almost orthogonal, subspaces of the high-dimensional Hilbert space.

The experimental observation of a CHSH inequality violation therefore allows no conclusion about the existence of micro-macro entanglement¹.

Nevertheless, the same measurements do allow one to prove the entanglement of the original entangled pair before amplification. From this perspective, the am-plification and losses can be simply seen as part of the detection process for the original single photon, whose Hilbert space is only two-dimensional. Moreover, the detection efficiency is independent of the choice of equatorial basis thanks to the phase covariance of the amplification. For proving non-locality (as opposed to just entanglement), there is still the usual detection loophole due to the limited mea-surement efficiency, but it is no more severe than for any other detection method that has comparable efficiency. Let us note that the detection scheme proposed here is different from conventional photon detection in one interesting way: the choice of detection basis can be made after the amplification process, while in standard detection processes the amplification only occurs after the choice of basis.

Coming back to the micro-macro system, we have derived in [J] a criterion, which shows that genuine micro-macro entanglement actually persists even for high losses.

However, as expected, this criterion is now quite sensitive to photon loss, and it

1One can even find separable multi-photon states that exploit this loophole to achieve the same visibility as in Figure 7.1, see footnote [17] in [J].

would require counting large photon numbers with single-photon accuracy to be experimentally tested. We are not aware of a way of demonstrating genuine micro-macro entanglement in the presence of losses with human eye detectors.

7.3 Prospects

More work is still to be done before really setting up a quantum optics experiment with human eyes as detectors: quantum amplifiers that operate at visible wave-lengths need to be developed, pulse durations that are adapted to the timescales of the human eye will be required, etc.

Nonetheless, our study shows that quantum experiments with human-eye detec-tors appear possible. We have focused here on a micro-macro entanglement scenario, but human eyes could also possibly replace other standard detectors in various ex-periments, such as bunching of amplified single photons, macro-macro exex-periments, and so on. This might not lead to a better understanding of fundamental concepts such as quantum non-locality, but it would certainly be a fascinating way to bring the quantum world closer to our direct perception!

Outlook

We have presented in this thesis a survey of some practical and more fundamental issues concerning quantum correlations. These are in particular the core of quantum cryptography (Chapters 1 and 2), a technology that is undergoing a rapid and very dynamic development in recent years. The nature of quantum correlations is becoming better understood as people continue to study their intriguing features (Chapters 3 to 6), and they might become more directly accessible to our perception if one can indeed set up quantum optics experiments in which human eyes would be used as photon detectors (Chapter 7).

While the 20th century was marked by the discovery of quantum physics, of the fascinating features of quantum correlations, and of the first ideas on how to make use of them, the 21st century might well be the time for quantum correlations to become more familiar and even enter our everyday life. Quantum correlations still possess many mysteries to study and discover, but enough is already known to really start taming the quantum world!

Deuxi` eme partie

Version fran¸caise

Introduction

L’histoire de l’av`enement de la m´ecanique quantique est particuli`erement int´eres-sante. Les d´ebats passionn´es qui ont oppos´e les plus grands physiciens du d´ebut du xx^e si`ecle ont contribu´e `a construire une ´el´egante th´eorie, au pouvoir de pr´ediction incontest´e. N´eanmoins, la th´eorie qui ´emergea contenait de tels aspects contre-intuitifs qu’elle ne pouvait satisfaire tout le monde.

Une action fantˆome `a distance?

Dans leur c´el`ebre article de 1935 [1], Einstein, Podolsky et Rosen (EPR) ont en ef-fet montr´e que la m´ecanique quantique pr´edisait l’existence de tr`es fortes corr´elations entre des parties distinctes et s´epar´ees d’un syst`eme physique : en mesurant une partie du syst`eme, on pouvait instantan´ement attribuer `a la deuxi`eme partie de nouvelles propri´et´es bien d´efinies ; des propri´et´es qui, d’apr`es la th´eorie quantique, n’existaient pas a priori. Ces corr´elations, dues `a ce que Schr¨odinger n’allait pas tarder `a appeler entanglement [2] ouVerschr¨ankung(en fran¸cais : intrication) entre les deux sous-syst`emes, semblaient donc impliquer une certaine action fantˆome `a distance; le p`ere de la relativit´e g´en´erale et ses co-auteurs consid´eraient cela comme inacceptable. Ils conclurent que, si la m´ecanique quantique se devait de respecter les principes de localit´e et de s´eparabilit´e, alors elle ´etait forc´ement incompl`ete.

Le d´ebat autour de l’incompl´etude de la th´eorie quantique relevait alors du do-maine de la m´etaphysique, et la plupart des physiciens se sont content´es `a l’´epoque de la r´eponse de Bohr et de l’interpr´etation de Copenhague de la m´ecanique quan-tique, pour lesquels l’argument d’Einstein ne posait pas r´eellement de probl`eme. Il y avait alors des questions bien plus importantes `a consid´erer, et tr`es peu de personnes ont partag´e les pr´eoccupations d’Einstein.

Il fallut attendre 30 ans avant que Bell ne montre, avec son fameux th´eor`eme [3], qu’il y avait une incompatibilit´e entre les pr´edictions quantiques et les pr´edictions de th´eories locales alternatives, qui compl`eteraient d’une certaine mani`ere la m´ecanique quantique. Les corr´elations pouvant s’expliquer par des variables cach´ees locales doivent en effet satisfaire ce que l’on appelle desin´egalit´es de Bell : sous l’hypoth`ese de localit´e de Bell, une certaine quantit´e mesurableIne peut d´epasser laborne locale IL : I ≤ IL. Les corr´elations quantiques peuvent par contre violer cette in´egalit´e, et atteindre une valeur IQ > IL. Cette d´ecouverte extraordinaire de Bell a per-mis de changer la controverse m´etaphysique en ce que Shimony appellerait de la m´etaphysique exp´erimentale [4] : on pouvait alors imaginer des exp´eriences pour confronter la m´ecanique quantique aux th´eories `a variables cach´ees locales.

Une vingtaine d’ann´ees d’efforts ont encore ´et´e n´ecessaires, avant la r´ealisation d’une exp´erience suffisamment convaincante par Aspect et ses coll`egues [5], dont la conclusion ´etait en faveur de la m´ecanique quantique : ils ont en effet observ´e la violation d’une in´egalit´e de Bell (`a quelques ´echappatoires encore possibles pr`es), ce qui a permis de conclure que la th´eorie quantique ne pouvait ˆetre compl´et´ee de la mani`ere souhait´ee par Einstein.

Les corr´elations quantiques vues comme une ressource

L’histoire aurait pu s’arrˆeter l`a. La r´ealit´e des ph´enom`enes d’intrication et de non-localit´e avait ´et´e prouv´ee, mais cela ne restait jusque-l`a qu’une curiosit´e de laboratoire.

Or, au d´ebut des ann´ees 1990, il a ´et´e r´ealis´e que l’intrication pouvait avoir tout un champ d’applications pratiques. Ekert a en effet red´ecouvert, et apport´e un nouveau point de vue sur la cryptographie quantique (invent´ee quelques ann´ees auparavant par Bennett et Brassard [6]), en r´ealisant que la non-localit´e pouvait ˆetre exploit´ee pour distribuer une cl´e secr`ete entre deux partenaires se tenant `a distance l’un de l’autre [7] : la s´ecurit´e de la cl´e peut ˆetre assur´ee par la violation d’une in´egalit´e de Bell. Il a ensuite ´et´e montr´e que l’intrication permet la t´el´eportation quantique [8], et peut pr´esenter de nets avantages pour r´esoudre de mani`ere efficace certains probl`emes computationnels [9].

Ce nouveau regard port´e sur l’intrication, d´esormais consid´er´ee comme une res-source utile pour les communications et le traitement de l’information, a relanc´e l’´etude des corr´elations quantiques et de la non-localit´e elle-mˆeme, qui est deve-nue `a part enti`ere un champ de recherche tr`es dynamique. La phrase de Bell “les corr´elations r´eclament des explications” [10] est d’autant plus pertinente aujour-d’hui !

Contenu de cette th` ese

La th`ese pr´esent´ee ici participe de la d´emarche scientifique entam´ee ces 25 der-ni`eres ann´ees, en s’int´eressant `a diff´erents aspects des corr´elations quantiques. On commence par des ´etudes en cryptographie quantique, qui mettent en ´evidence les applications pratiques que celles-ci peuvent avoir (Chapitre 8). Ceci nous motive `a chercher `a obtenir une meilleure compr´ehension de ces corr´elations. Nous sommes ainsi pouss´es `a nous poser des questions plus fondamentales sur leur nature et sur les explications possibles que l’on peut donner `a leur non-localit´e (Chapitre 9), ainsi que sur la mani`ere de quantifier cette non-localit´e (Chapitre 10). Finalement, nous nous interrogeons sur la possibilit´e pour l’homme de percevoir plus “directement”

ces corr´elations, `a l’œil nu (Chapitre 11). Le but constamment poursuivi est de nous familiariser avec les aspects souvent contre-intuitifs mais d’autant plus fascinants du monde quantique.

Nous pr´esentons dans cette courte version en fran¸cais un aper¸cu tr`es synth´etique des sujets abord´es au cours de cette th`ese. Le lecteur qui souhaiterait avoir davantage de d´etails est invit´e `a consulter la version anglaise, plus compl`ete, ou directement les

publications dont les r´esultats pr´esent´es ici ont fait l’objet, et qui sont rassembl´ees

`a la fin de ce manuscrit.

Chapitre 8

Les correlations quantiques au

cœur de la Distribution Quantique de Cl´ e

L’id´ee g´en´erale de la cryptographie quantique est de tirer profit des lois de la physique quantique pour assurer la s´ecurit´e de protocoles cryptographiques. Dans le cas de la Distribution Quantique de Cl´e (QKD : Quantum Key Distribution) plus particuli`erement, des corr´elations quantiques sont distribu´ees entre deux partenaires, Alice et Bob, `a partir desquelles ils vont chercher `a extraire une cl´e secr`ete (c.-`a-d.

une suite al´eatoire de bits).

Le premier protocole de QKD a ´et´e invent´e par Bennett et Brassard en 1984 [6], et proposait qu’Alice envoie des syst`emes quantiques (des bits quantiques, ouqubits) codant des bits classiques, que Bob mesure d`es qu’il les re¸coit. Quelques ann´ees plus tard, Ekert a red´ecouvert la QKD en r´ealisant que l’intrication pouvait ˆetre utilis´ee pour distribuer des cl´es secr`etes [7] : il a propos´e un protocole bas´e sur le partage d’une paire de qubits intriqu´es entre Alice et Bob, et dont la s´ecurit´e repose sur la violation d’une in´egalit´e de Bell. La proposition d’Ekert met bien en ´evidence le rˆole des corr´elations quantiques au cœur de la QKD.

Nous avons pu illustrer ce rˆole essentiel des corr´elations quantiques au travers de diff´erentes ´etudes en cryptographie quantique. Dans un premier temps, nous nous sommes int´eress´es `a des protocoles standards de QKD [A,B], en particulier les protocoles BB84 et SARG [19, 20]. Leur s´ecurit´e a ´et´e ´etudi´ee face `a des attaques agissant sur chaque qubit individuellement, de mˆeme que face `a des attaques tout `a fait g´en´erales ; et nous avons consid´er´e diff´erentes impl´ementations de ces protocoles,

`a base de photons uniques ou de pulses lasers att´enu´es. Dans les deux protocoles mentionn´es, les mˆemes ´etats quantiques sont envoy´es d’Alice `a Bob, qui proc`ede aux mˆemes mesures. Par contre, la fa¸con dont les bits classiques sont encod´es est diff´erente. Il est int´eressant de voir qu’une fois les corr´elations quantiques ´etablies, diff´erentes fa¸cons de les exploiter peuvent mener `a des protocoles aux performances vari´ees.

Nous nous sommes ´egalement int´eress´es `a un nouveau type de protocole, le

Coherent-One-Way protocol (COW) [46, 47], dont nous avons ´etudi´e la s´ecurit´e face `a un certain nombre d’attaques sp´ecifiques [C,D]. Du fait des taux de cl´e ob-tenus, ce protocole semble particuli`erement prometteur pour la QKD rapide et `a longue distance. Par contre, sa s´ecurit´e face aux attaques les plus g´en´erales reste `a prouver, puisque les m´ethodes standard permettant d’aborder ce genre de probl`eme ne peuvent s’appliquer directement `a ce type de protocole, `a r´ef´erence de phase distribu´ee.

Chapitre 9

Des mod` eles alternatifs de corr´ elations non-locales

La th´eorie quantique pr´edit que la nature peut produire des corr´elations non-locales, c’est-`a-dire qui violent des in´egalit´es de Bell [3]. Cette caract´eristique fas-cinante a ´et´e largement observ´ee, dans de nombreuses exp´eriences [54]. Mais, si le formalisme quantique fournit des r`egles pr´ecises pour calculer ces corr´elations, il n’explique cependant en rien comment celles-ci apparaissent, ni d’o`u elles viennent.

Pour se faire une id´ee de ce qui est essentiel dans les corr´elations quantiques, il est int´eressant de chercher des mod`eles alternatifs de corr´elations non-locales, qui, soit reproduisent pr´ecis´ement les corr´elations quantiques, soit s’av`erent ˆetre incompatibles avec les pr´edictions quantiques.

Dans cette perspective, nous avons tout d’abord consid´er´e [E,F] un mod`ele pro-pos´e par Leggett en 2003 [11], et qui est justement en conflit avec la m´ecanique quantique. L’hypoth`ese faite par Leggett est que localement, les deux particules d’une paire intriqu´ee r´eagissent aux mesures auxquelles elles sont soumises comme si elles ´etaient dans un ´etat bien d´efini. La non-localit´e ne peut alors s’exprimer que dans la corr´elation entre les r´esultats des mesures sur chacune des particules.

Nous avons propos´e une nouvelle approche permettant de montrer de mani`ere par-ticuli`erement simple l’incompatibilit´e de ce mod`ele avec les pr´edictions quantiques, et qui nous a permis de d´eterminer de nouvelles in´egalit´es de Leggett(des in´egalit´es satisfaites par les corr´elations du mod`ele de Leggett, mais pouvant ˆetre viol´ees par la m´ecanique quantique). Il restait `a tester exp´erimentalement ces in´egalit´es : nous avons effectivement pu observer une violation, et donc conclure `a une r´efutation du mod`ele de Leggett.

Nous nous sommes ensuite int´eress´es `a g´en´eraliser le mod`ele de Leggett. Nous sommes arriv´es `a la conclusion que tout mod`ele non-local satisfaisant la contrainte de no-signaling (c.-`a-d. ne permettant pas de communication entre Alice et Bob) doit n´ecessairement pr´edire des ´ev`enements compl`etement al´eatoires au niveau local pour ˆetre compatible avec la m´ecanique quantique. La nature est vraiment faite de telle sorte, que dans certains cas les propri´et´es individuelles sont inexistantes, alors que les propri´et´es globales sont parfaitement d´efinies.

Une deuxi`eme explication possible pour l’observation de corr´elations non-locales est qu’elles seraient dues `a une hypoth´etiqueaction fantˆome `a distance, qui se propa-gerait plus rapidement que la lumi`ere, mais n´eanmoins `a vitesse finie. Cette vitesse devrait ˆetre d´efinie dans un r´ef´erentiel d´etermin´e ; si, dans ce r´ef´erentiel, les me-sures sur les deux syst`emes consid´er´es dans une exp´erience de Bell sont r´ealis´ees simultan´ement, alors l’action fantˆome n’aurait pas le temps de se propager de l’un

`a l’autre, et les corr´elations devraient disparaˆıtre.

Cette id´ee peut ˆetre test´ee exp´erimentalement [62],[G]. Pour cela, un test de Bell a

´et´e effectu´e durant plus de 24 heures entre deux villages dans la campagne genevoise, distants de 18 km l’un de l’autre et orient´es approximativement Est-Ouest, avec la source pr´ecis´ement au milieu. Des interf´erences `a deux photons ont ´et´e observ´ees de mani`ere continue, avec une visibilit´e suffisante pour violer une in´egalit´e de Bell. Avec la rotation de la Terre, la configuration de l’exp´erience a permis de d´eterminer, pour tout r´ef´erentiel, une borne inf´erieure pour la vitesse de cette hypoth´etique action fantˆome. Par exemple, pour un r´ef´erentiel dans lequel la Terre se d´eplacerait `a une vitesse inf´erieure `a 10⁻³ fois celle de la lumi`ere, la vitesse de cette action fantˆome devrait d´epasser celle de la lumi`ere d’au moins 4 ordres de grandeur !

Ces r´esultats nous poussent `a croire que les corr´elations observ´ees sont r´eellement et fondamentalement non-locales, et qu’elles ne peuvent en r´ealit´e pas s’expliquer par une telle action fantˆome se propageant `a vitesse supraluminique mais finie. Les corr´elations quantiques semblent en quelque sorte provenir d’en-dehors de l’espace-temps.

Chapitre 10

Quantifier la non-localit´ e

La non-localit´e s’av´erant ˆetre une caract´eristique fondamentale des corr´elations quantiques, il est int´eressant de pouvoir la quantifier. Nous avons abord´e deux ap-proches pour cela, l’une concernant la non-localit´e de corr´elations bi-partites, la deuxi`eme traitant de la non-localit´e multi-partite.

La premi`ere approche est due `a Elitzur, Popescu et Rohrlich [12] (EPR2). Elle repose sur le fait qu’exp´erimentalement, la violation d’une in´egalit´e de Bell est cal-cul´ee `a partir des statistiques de mesures sur des paires de particules intriqu´ees : or, ce n’est pas parce qu’on observe de la non-localit´e au niveau statistique que toutes les paires de particules se sont n´ecessairement comport´ees de mani`ere non-locale.

Elitzur, Popescu et Rohrlich se sont donc demand´es s’il ´etait possible qu’une

Elitzur, Popescu et Rohrlich se sont donc demand´es s’il ´etait possible qu’une