François DROUIN
Collège « Les Avrils » 55300 SAINT MIHIEL
Ce travail rend compte d'une recherche effectuée par un groupe IREM sur ce que nous avons ensuite appelé "maths visuelles". Nous avions essayé d'explorer des relations entre les maths et le beau. Nous avions en particulier travaillé à propos du nombre d'or rencontré dans un tableau de Mondrian. L'idée de travailler sur la notion de beaux rectangles est venue et également l'envie de reprendre l'expérimentation faite par des collègues de Thionville et relatée dans la brochure "Le nombre d'or" éditée en 1980 par l'IREM de Lorraine.
Dans la brochure "Le nombre d'or en mathématiques, dans la nature, dans la cathédrale de Metz"
(IREM de Lorraine 1980), les collègues du lycée Hélène Boucher de Thionville ont disposé 10 rectangles sur une table. Ils ont proposé à leurs élèves de les observer lorsque les longueurs étaient en face d'eux, puis lorsque les largeurs étaient en face d'eux. Les 10 rectangles avaient même largeur. Les longueurs étaient telles que les rapports "longueur/largeur" valaient 1/1, 6/5, 5/4, 4/3, 29/20, 3/2, 34/21, 23/13, 2/1, 9/4. L'élève devait désigner le rectangle le plus agréable à l'œil, puis le rectangle le moins agréable à l'œil dans les deux positions de vision proposées. Les résultats dans une classe de 30 élèves de terminale montraient une tendance au regroupement autour des rectangles correspondant aux rapports 3/2 et 34/21.
L’expérience a été reprise en 2003 auprès d’élèves de collège à Champigneulles, Dombasles, Longwy et Saint-Mihiel par Fabienne d’Alimonte, Monique Gaildry, Céline Coursimault et François Drouin.
Voici la description des rectangles utilisés (le rectangle "1" était un carré de 5cm de côté).
N° du
rectangle 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Longueur
/ largeur 1/1 6/5 5/4 4/3 29/20 3/2 34/21 23/13 2/1 9/4
Voici comment étaient disposés les rectangles sur la table et les endroits d'où ils ont été regardés (en position B, on fait face aux largeurs communes des rectangles):
Position A
Position B n° 5 n° 10 n° 4 n° 6 n° 7
n° 8 n° 2 n° 9 n° 1 n° 3
Un peu moins de 200 élèves ont rempli un tableau semblable à celui ci-dessous : Position A Rectangle le plus agréable à
l'œil :
Rectangle le moins agréable à l'œil :
Position B Rectangle le plus agréable à l'œil :
Rectangle le moins agréable à l'œil :
Retour au sommaire Avec "A+" sont indiqués les rectangles les plus agréables à regarder, avec "A-" sont indiqués les rectangles les moins agréables à regarder. Il en est fait de même avec "B+" et "B-".
A+ classes de collège, les résultats ont été beaucoup plus variés.
Il est possible que les choix esthétiques de nos jeunes élèves ne sont pas encore trop dépendants de normes (cela est quelque part rassurant…), mais aussi qu'ils ont peut-être encore du mal à extérioriser leurs préférences esthétiques, d'où l'importance de l'enseignement en "Arts Plastiques"
dispensé au collège.
Il est également possible que les différents formats des rectangles rencontrés pat les élèves (feuilles A4, billets de banque, timbres poste, écrans d’ordinateur, murs de salle de classe…) ne les aident pas à faire un choix.
Nous vous proposons de refaire cette expérience avec vos élèves.
Il est possible de faire réaliser les rectangles par les élèves : la largeur commune étant fixée, il leur reste à la multiplier par les écritures fractionnaires indiquées, arrondir les résultats obtenus au millimètre près (ou demi-millimètre près), puis dessiner les rectangles sur du papier ou du carton qui peut ne pas être non quadrillé. Nous retrouvons dans ce travail préparatoire des compétences demandées à nos élèves dés la classe de 6ème.
Pour gagner du temps, l'enseignant pourra préparer à l'avance les rectangles ou utiliser ceux qui figurent page suivante.
L'activité en classe consistera en un recueil de données, éventuellement un calcul des fréquences des choix, ainsi que la réalisation d'histogrammes.
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Retour au sommaire Une autre expérience a été tentée en faisant tracer sur du papier non quadrillé dix "beaux rectangles", ni trop carrés, ni trop étirés, et de faire calculer pour chaque élève la moyenne des rapports longueur/largeur obtenus pour les rectangles dessinés.
Les premières résultats montrent que les élèves restent souvent prisonniers de dimensions exprimées avec des nombres entiers de cm et que le rapport 2 (entre 1,4 et 1,5) rencontré dans le format A4 par exemple est perçu comme donnant de beaux rectangles.
L'expérience a été recommencée en utilisant des équerres non graduées (pour éviter les nombres entiers de centimètres), la moyenne des moyennes des résultats obtenus reste bien supérieure au nombre d'or et est voisine de 2.
En 2007, l’activité a été reprise auprès de 151 élèves de cycle III et de collège. La moyenne des moyennes a été 2,25.
Les hypothèses émises après la reprise du travail fait à Thionville première restent valables.
La feuille jointe vous incitera à renouveler également cette deuxième expérience avec vos élèves : Les contenus rencontrés (tracés de rectangles et de carrés sur du papier non quadrillé, mesures de longueurs, usage d'un tableau de valeurs, placement d'un point dans un repère, calcul de moyennes) ne dépayseront pas nos élèves, en particulier ceux de 6ème.
Retour au sommaire De « beaux » rectangles
J’ai tracé deux rectangles. Je ne les trouve pas très beaux : le premier me semble trop carré, le deuxième me semble trop étiré. N’es-tu pas d’accord ?
Trace, au dos de cette feuille et sans prendre de mesure, 10 rectangles qui te semblent « beaux » c'est-à-dire qui ne sont ni trop carrés, ni trop étirés…
Maintenant, mesure ce qui est nécessaire, pour compléter le tableau ci-dessous :
Rect.1 Rect.2 Rect.3 Rect.4 Rect.5 Rect.6 Rect.7 Rect.8 Rect.9 Rect.
Calcule au centième près, pour chaque rectangle dessiné, le quotient de la longueur par la largeur ( L : l ). Complète au fur et à mesure le tableau suivant :
Calcule maintenant la valeur moyenne de tes quotients :
M = = . . .
arrondi au dixième
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