Bases `a d´ecalage et matrices de Hessenberg `a d´ecalage

La forme de Hessenberg `a d´ecalage sera pour nous l’outil algorithmique de base pour la plu-part de nos algorithmes. Avant de pr´esenter ceux-ci, nous allons montrer quelques propri´et´es des matrices de Hessenberg `a d´ecalage. Nous emploierons le terme op´erateur et nous utilis-erons la mˆeme notation pour l’op´erateur A et pour la matrice A repr´esentant l’op´erateur A dans la base canonique de kn.

Les notions introduites dans cette section seront surtout employ´ees en 2.4, pour obtenir une estimation du param`etre m d’une matrice `a d´ecalage.

2.3.1 Bases `a d´ecalages

D´efinition IV.7 Soit A ∈ Mn(k). Une base `a d´ecalage de A est une base de kⁿ de la forme

h

v1, Av1, . . . , Aⁿ1−1v1, v2, Av2, . . . , Aⁿ2−1v2, . . . , vm, Avm, . . . , Aⁿm−1vmⁱ. (IV.3) La notion de bases `a d´ecalage s’entend pour une famille ordonn´ee de vecteurs.

Propri´et´e IV.1 Une matrice qui repr´esente un op´erateur A dans une de ses bases `a d´e-calages est une matrice de Hessenberg `a d´ecalage de A. R´eciproquement une matrice de Hessenberg `a d´ecalage d´efinit une base `a d´ecalage de A.

Nous rappelons la forme suivante de matrice

D´efinition IV.8 Une matrice A ∈ Mn(k) est dite rationnelle canonique si elle de la forme suivante F =       Cp₁ 0 · · · 0 0 C_p2 · · · 0 .. . .._. . .. ... 0 0 · · · Cpt       , (IV.4)

o`u C_pi est la matrice compagnon de polynˆome minimal p_i, et p₁ | p2 | · · · | pt. Les polynˆomes pi, i = 1, . . . , t sont les diviseurs ´el´ementaires de A.

Th´eor`eme IV.5 ([Gan77]) Toute matrice est ´equivalente `a une matrice rationnelle canon-ique. Les diviseurs ´el´ementaires sont invariants par classe de similitude, et caract´erisent chaque classe.

En particulier la forme rationnelle canonique d’une matrice est une matrice de Hessenberg `a d´ecalage dans une base `a d´ecalage particuli`ere.

Etant donn´e un op´erateur A, une base `a d´ecalage de A peut ˆetre obtenue de la mani`ere suivante. Soit v1 un vecteur de kn, on calcule les vecteurs Aiv1, i = 0, . . . , n1− 1 o`u n1 est la plus petite valeur i telle que Aiv1 est lin´eairement d´ependant des Ajv1, j < i. Ensuite v2 est choisi ind´ependant des vecteurs pr´ec´edents et de mˆeme on calcule Aiv<sub>2</sub>, i = 0, . . . , n<sub>2</sub>− 1, o`u n2 est la plus petite valeur i telle que Aiv2 est combinaison lin´eaire des Ajv2, j < i et des Ajv1, j < n1. Le processus s’arrˆete lorsque n1+ · · · + nm = n. Une base `a d´ecalage est obtenue par l’algorithme d´ecrit en IV.3, mais cette construction refl`ete la structure d’une base `a d´ecalage.

Plus pr´ecis´ement, `a chaque base `a d´ecalage correspond une suite croissante de sous-espaces invariants V₁, . . . , V_m. Chaque V_i est un sous-module du k[X]-module induit par A

sur kn, et donc Vi/Vi−1 est un k[X]-module. Chaque module Vi/Vi−1 est engendr´e par la classe vi de vi dans Vi/Vi−1, et fi(X) est le polynˆome minimal de vi.

Plusieurs bases `a d´ecalage peuvent repr´esenter l’op´erateur A par la mˆeme matrice de Hessenberg `a d´ecalage. Il existe ainsi une partition des bases `a d´ecalage de A par rapport aux formes de Hessenberg `a d´ecalage auxquelles elles correspondent. La propri´et´e suivante est claire d’apr`es les d´efinitions.

Propri´et´e IV.2 Soit A une matrice de Mn(k), et soient deux bases `a d´ecalage B1 et B2: B1 =^hv1, Av1, . . . , Aⁿ1−1v1, v2, Av2, . . . , Aⁿ2−1v2, . . . vm, Avm, . . . , Aⁿm−1vmⁱ

et

B2 =^hv₁^′, Av₁^′, . . . , Aⁿ1−1v₁^′, v^′₂, Av₂^′, . . . , Aⁿ2−1v₂^′, . . . v_m^′ , Av_m^′ , . . . , Aⁿm−1vmⁱ telles que

V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vm, et

[v1, v₁^′ ∈ V1 = AV1; v2, v^′₂ ∈ V2\ V1, V2 = AV2; vm, v_m^′ ∈ Vm\ Vm−1, Vm = AVm] . Si Anivi est combinaison lin´eaire de v1, . . . , vni−1 avec les mˆemes coefficients que Aniv′

i, i = 1, . . . , m respectivement, alors B₁ et B₂ correspondent `a la mˆeme forme de Hessenberg `

a d´ecalage.

D´efinition IV.9 Soit A une matrice de Mn(k), et H une forme de Hessenberg `a d´ecalage de A. Nous dirons que B est une base `a d´ecalage pour H si l’op´erateur A est repr´esent´e par la matrice H dans la base B.

Nous ´etablissons la distinction entre une base `a d´ecalage quelconque et une base `a d´e-calage repr´esentant une matrice de Hessenberg `a d´ed´e-calage donn´ee au moyen des pr´epositions de et pour (respectivement). Ceci est un peu faible, mais ´evite une terminologie plus lourde. Nous invitons le lecteur `a y prˆeter attention, notamment dans les ´enonc´es des th´eor`emes IV.3 et IV.6, et dans les preuves des corollaires IV.2 et IV.3.

2.3.2 Forme rationnelle canonique d´evelopp´ee

D´efinition IV.10 La forme rationnelle canonique d´evelopp´ee d’un op´erateur A de Mn(k) est la matrice suivante, ´equivalente `a A :

D =       F_B1,B1 0 · · · 0 0 FB₂,B2 · · · 0 ... . .. ... 0 0 · · · FBd,Bd      

o`u chaque matrice FBi,Bi est une matrice rationnelle canonique

        C_psi,1 i 0 · · · 0 0 C_psi,2 i · · · 0 ... . .. ... 0 0 · · · C_psi,m_i i         ,

o`u C

p^si,m_i ^j est la matrice compagnon de polynˆome minimal p^s_i^i,mj, si,1 ≤ si,2 ≤ . . . ≤ si,mi et les polynˆomes pi sont premiers entre eux deux `a deux.

Au vu de la forme rationnelle canonique d´evelopp´ee, kn est la somme directe d M i=1 mi M j=1 V_psi,j i , o`u V_psi,j

i est le sous-espace vectoriel invariant pour A, tel que le polynˆome minimal de la restriction de A `a V_psi,j

i est p^si,j

i . Le k[X]-module induit par A sur kn est isomorphe au produit d’anneaux :

R = R1,1× · · · × R1,m1 × R2,1 × · · · × R2,m2 × · · · × Rd,1× · · · × Rd,md (IV.5) consid´er´es comme k[X]-modules avec Ri,j = k[X]/p^si,j

i .

Pour tout vecteur u, nous notons u|R_i,j la composante de u dans l’anneau Ri,j, et nous con-sid´erons indiff´eremment u|Ri,j comme un vecteur ou comme un polynˆome de degr´e inf´erieur `a s_i,jdeg(p_i).

Une base `a d´ecalage pour la forme rationnelle canonique d´evelopp´ee est d´efinie par une s´equence de vecteurs

v_1,1^′ , v_1,2^′ , . . . , v_1,m^′ ₁, v_2,1^′ , . . . , v_2,m^′ ₂, . . . , v_d,1^′ , . . . , v_d,m^′ _d

telle que pour tout couple (i, j) le polynˆome minimal de v′

i,j est p^si,j

i . Lemme IV.6 Soit u un vecteur de kn tel que p^si,j

i u = 0. Alors les composantes de u dans la d´ecomposition IV.5 v´erifient

u|R_k,l = 0 si k 6= i.

Preuve : Supposons qu’il existe k, l, k 6= i tels que u|Rk,l 6= 0. Alors p^si,j

i u|R_k,l est non nul, puisque u|R_k,l est non nul et que p^si,j

i est une unit´e de Rk,l = k[X]/p^sk,l

k (pgcd(pi, pk) = 1). ✷

Lemme IV.7 Soit u un vecteur de kn, de polynˆome minimal p^si,j

i . Alors les composantes de u dans Ri,l v´erifient

• l < j; u|Ri,l est un ´el´ement quelconque de Ri,l, • l = j; u|Ri,l, est un polynˆome premier `a p_i, • l > j; u|Ri,l est un multiple de p^si,u−si,j

i .

Preuve : Puisque le polynˆome minimal de u est p^si,j

i , nous avons que p^si,j

i v = 0 pour tout vecteur v de Ri,l, d´es que l < j, puisque p^si,l

i , qui divise p^si,j

i , est le polynˆome minimal de A restreint `a Ri,l. Ceci prouve le cas l < j.

Dans le cas l = j, nous avons qu’un vecteur est cyclique pour une matrice compagnon s’il est premier au polynˆome minimal de cette matrice (lemme IV.4).

Dans le cas l > j, on doit avoir

p^si,j

i u = 0, ce qui entraˆıne dans Ri,j que

p^si,j

i u|R_i,l = 0 mod p^si,l

i , et que p^si,l−si,j

i divise u_|Ri,l.

✷ Propri´et´e IV.3 Soit D une matrice rationnelle canonique. Toutes les bases `a d´ecalage pour D ont la forme

[v^′_1,1, Dv_1,1^′ , . . . , Dⁿ1,1−1v^′_1,1, v_1,2^′ , Dv^′_1,2, . . . , Dⁿ1,2−1v_1,2^′ , . . . , v_d,m^′ _d, Dv_d,m^′ _d, . . . , Dⁿd,md−1v_d,m^′ _d] o`u ni,j = si,jdeg pi et chaque v′

i,j dans Ri,l admet p^si,j

i pour polynˆome minimal.

Preuve : C’est exactement la propri´et´e IV.2, dans le cas d’une matrice rationnelle canonique d´evelopp´ee.

✷

2.3.3 Application au centralisateur d’une matrice

D´efinition IV.11 Le centralisateur Z(A) d’une matrice A de Mn(k) est le groupe des ma-trices inversibles de GL_n(k) qui commutent avec A.

Th´eor`eme IV.6 Soit A un op´erateur, et soit H une matrice Hessenberg `a d´ecalage sem-blable `a A. Il y a correspondance bijective entre les base `a d´ecalage pour H et les matrices de Z(A), le groupe des matrices inversibles commutant avec A.

Preuve : Soit B₁ et B₂ les matrices de changement de base pour deux bases `a d´ecalage pour H, v´erifiant les conditions de la propri´et´e IV.2, B1<sup>−1</sup>AB1 = B2<sup>−1</sup>AB2, puisque ces deux bases produisent la mˆeme matrice de Hessenberg `a d´ecalage, d’apr`es la propri´et´e IV.2. Alors la matrice G = B₂B₁⁻¹ commute avec A:

GA = B2B1⁻¹A = B2B1⁻¹AB1B1⁻¹ = B₂H₁B₁⁻¹

= B₂B₂⁻¹AB₂B₁⁻¹ = AB2B1⁻¹ = AG.

Soit maintenant une matrice inversible Q commutant avec A. Soient v1, . . . , vmd´efinissant la base `a d´ecalage produite par B1 comme dans la d´efinition IV.7. Alors la matrice QB1 est une matrice de base `a d´ecalage pour H. En effet soient u1, . . . , um les vecteurs u1 = Qv₁, . . . , u_mQv_m, alors on a AkQv_i = QA^kv_i, i = 1, . . . , m. La famille

U = (u1, Au1, . . . , Aⁿ1−1u1, u2, Au2, . . . , Aⁿ2−2u2, . . . , um, Aum, . . . , Aⁿm−1um) v´erifie les mˆemes conditions de d´ependance lin´eaire que

V = (v₁, Av₁, . . . , Aⁿ1−1v₁, v₂, Av₂, . . . , Aⁿ2−2v₂, . . . , v_m, Av_m, . . . , Aⁿm−1v_m),

puisque Q est inversible. D’apr`es la propri´et´e IV.2, U1 produit le mˆeme forme de Hessenberg `a d´ecalage H1. Si B2 est la matrice de la base U1, alors B2 = QB1, c’est-`a-dire Q = B1B2⁻¹. ✷

D´efinition IV.12 La somme directe de deux matrices A1 et A2 est la matrice A = " A₁ 0 0 A2 # .

Corollaire IV.2 Le centralisateur de la somme directe de deux matrices A₁ et A₂, dont les polynˆomes minimaux sont premiers entre eux, est le produit direct des centralisateurs de A1 et de A2.

Preuve : Soit F₁ la forme rationnelle canonique d´evelopp´ee de A₁ et F₂ la forme rationnelle canonique d´evelopp´ee de A2. Alors la matrice

F =

"

F1 0 0 F₂

#

est une matrice rationnelle canonique d´evelopp´ee pour A. D’apr`es le th´eor`eme IV.6, toute base `a d´ecalage pour F produit un ´el´ement du centralisateur de A. Puisque les polynˆo-mes minimaux de F1 et F2 sont premiers entre eux, le lemme IV.6 montre que les bases `a d´ecalage pour F sont des sommes directes des bases `a d´ecalage pour F1 et pour F2. Les bases `a d´ecalage pour F1 (respectivement F2) sont en correspondance avec les commutateurs de A1 (respectivement A2), d’o`u le r´esultat.

✷

Corollaire IV.3 Soit k = q, et soit A un op´erateur dont la forme rationnelle canonique d´evelopp´ee F est donn´ee comme dans la d´efinition IV.10. Alors le cardinal du centralisateur de A est d Y i=1 mi Y j=1 q^deg(pi)(^Pj−1

w=1si,w+(mi−j)si,j)φ(psi,j

i ). (IV.6) o`u φ(g) est le nombre de polynˆomes de degr´e inf´erieur `a deg(g) premiers `a g.

Preuve : Il suffit de d´enombrer les bases `a d´ecalage pour F . Chacune de ces bases `a d´ecalage est une famille

v_1,1^′ , v^′_1,2, . . . , v_1,m^′ ₁, v_2,1^′ , . . . , v^′_2,m2, . . . , v_d,1^′ . . . v^′_d,md telle que pour tout (i, j), le polynˆome minimal de v′

i,j est p^si,j

i .

Dans la formule (IV.6), le produit externe correspond au lemme IV.6. Chaque produit interne ´enum`ere, pour chaque p^si,j

i , le nombre de vecteurs tels que p^si,j

i v = 0. La somme j−1

X

w=1 s_i,w

vaut pour les anneaux Ri,l, l < j, pour lesquels tout vecteur v v´erifie p^si,j

i v = 0. Le terme (mi − j)si,j est un r´esultat du fait que le nombre de polynˆomes multiples de p^si,l−si,j

i dans k[X]/p^si,l

i est qdeg(pi)si,j. Enfin, φ(p^si,j

i ) = qsi,jdeg(pi)(1 − q− deg(pi)) est le nombre de polynˆomes premiers `a p^si,j

i , c’est-`a-dire le nombre d’unit´es de R_i,j.

Dans le document Étude algèbrique des mots de poids minimum des codes cycliques, méthodes d'algèbre linéaire sur les corps finis. (Page 106-111)