7.2 Ondelettes
7.2.2 Base d’ondelettes
Soit M ∈N
∗. On considère les ondelettes de Daubechies
ψj,n(t) = 2−
j
2ψ(2−jt− n + 1) (j, n) ∈Z
2,
où ψ est une fonction d’ondelette à support inclus dans [0, 2M− 1] et définie à partir de la fonction d’échelle φ par l’équation
ψ(x) = √2 2M −1 k=0 gk+1φ(2x− k) , avec φ(x) =√2 2M −1 k=0 hk+1φ(2x− k) et R φ(t)dt = 1 . La famille (ψj,n)(j,n)∈ Z
2 forme une base hilbertienne de L2(R).
7.2.3
Construction de φ
xet simulation
On considère RX fonction d’autocorrélation définie et continue surR
2 telle que R RX(x, x)dx <∞, (7.7) et R 2 RX(x, t)2dxdt <∞. (7.8)
Comme dans le cas précédent, on définit l’opérateur de Hilbert-Schmidt
Qf (x) = R RX(x, t)f (t)dt (7.9) et on décompose RX dans L2(R 2)sous la forme RX(x, t) = m∈N∗ λmψm(x)ψm(t) (7.10)
(λmet ψm désignant respectivement les valeurs propres et fonctions propres de Q).
On construit de même la fonction φx:
φx(t) =
m∈N∗
À ce stade, on peut faire une méthode de simulation similaire à celle évoquée dans le paragraphe précédent. Cependant, si on projette ψmsur la base d’ondelettes (ψi,j)(i,j)∈Z
2:
ψm =
(i,j)∈Z
2
am,i,jψi,j dans L2(R), (7.12)
alors on peut écrire
φx(t) =
m∈N∗,(i,j)∈Z
2
λmψm(x)am,i,jψi,j(t) (7.13)
=
(i,j)∈Z
2
bi,j(x)ψi,j(t). (7.14)
De plus dans les articles [25], [69], on fait l’hypothèse que RX est bien approchée (dans L2(R
2)) par RX(x, t) = (i,j)∈Z 2
ci,jψi,j(x)ψi,j(t), (7.15)
où ci,j = R 2 RX(x, t)ψi,j(x)ψi,j(t)dxdt. (7.16)
Les coefficients (ci,j) sont positifs car RX est de type positif. Dans ce cas, on peut remplacer les
coefficients bi,j(x)dans φx par bi,j(x) = √ci,jψi,j(x).
En effet, si on définit le processus (Xx, x∈R) par
Xx = Wφx (7.17)
=
(i,j)∈Z
2
bi,j(x)Wψi,j (7.18)
(les v.a. Wψi,j sont i.i.d.N (0, 1)), on a
E(XxXt) = (φx, φt)2 (7.19)
=
(i,j)∈Z
2
ci,jψi,j(x)ψi,j(t) (7.20)
II
S
IMULATION
DE
PROCESSUS
ET
CHAMPS
STOCHASTIQUES
NON
GAUSSIENS
: E
TAT DES LIEUX
Nous exposons ici les différentes méthodes de modélisation et simulation de processus (champs) stochastiques non gaussiens du second ordre strictement stationnaires, de moments ou de loi mar- ginale et de fonction d’autocorrélation (ou densité spectrale) fixés, rencontrées dans divers articles émanant souvent de revues à caractère ingénieur. Aussi, le souci de rigueur mathématique dans ces publications n’est pas toujours prééminent. Il nous a cependant semblé important de citer ces mé- thodes pour leur pertinence, leurs idées (qui ont pu nous inspirer) et par le fait qu’elles sont parfois utilisées en pratique.
1
Modélisation d’un processus non gaussien
strictement stationnaire par un processus
de Poisson filtré
La classe des processus de Poisson filtrés fournit des modèles de phénomènes aléatoires ayant des caractéristiques non gaussiennes. Dans l’article [50], Poirion propose d’utiliser ce type de mo- dèle pour simuler des champs stochastiques à valeurs vectorielles strictement stationnaires de mo- ments fixés et de densité spectrale donnée. Par ailleurs, dans cet article, cette méthode de simulation est illustrée par une application à l’étude de la réponse d’un avion soumis à la turbulence atmo- sphérique verticale. Pour plus de clarté, on décrit ci-après la méthode dans le cas d’un processus à
valeurs scalaires. On pourra trouver les propriétés des processus de Poisson filtrés dans le livre de Parzen [45].
Le processus (Xt, t ∈ R
+)que l’on cherche à simuler est du second ordre, centré, strictement
stationnaire, admettant une densité spectrale SX à support compact et des moments MX,α (α =
1, ..., K, K > 0).
1.1
Principe
En réalité, un cas particulier de processus de Poisson filtré est utilisé:
Définition 1.1.1
Soit (Nt, t∈R
+)un processus de Poisson et (τ
i)i∈N∗ ses temps de saut. Soit une fonction F : R → R. Soit (Yi)i∈
N∗ une suite de v.a. i.i.d. et indépendantes de (Nt, t ∈ R
+). On définit ( X
t, t ∈ R
+)
processus de Poisson filtré par
Xt = N (t) n=1 F (t− τn)Yn. (1.1) Remarque 1.1.2 ( Xt, t ∈R
+)ainsi défini est asymptotiquement stationnaire (convergence en loi).
Soit γ le paramètre du processus de Poisson (Nt, t ∈ R
+). On impose à la suite (Y
i)i∈N∗ la
condition E(Y1
2
) = 2πγ. Le but est de déterminer (Nt, t ∈ R
+), F et Y
1 tels que le processus
( Xt+u, t∈R
+)converge en loi lorsque u→ +∞ vers le processus (X
t, t∈R
+).
Remarque 1.1.3
Dans toute la suite la fonction F considérée sera supposée à supportR
+.
Le résultat précédent implique la relation SX(ω) = R e−iωtF (t)dt 2 .
1.2
Simulation
1.2.1
Détermination de (N
t, t
∈
R +), F et Y
1i. Soit H fonction telle que
On pose donc F (t) = 1 2π R eiωtH(ω)dω .
En ajoutant l’hypothèse que SX est à support compact, la fonction F ainsi obtenue est à
décroissance rapide surR (cf [50]). Il est d’autre part nécessaire que la fonction h définie par h(iω) = H(ω)vérifie la condition de Paley-Wiener (voir p.25) de manière à ce que F soit à supportR
+.
ii. En notant wi+1 = τi+1− τi, on a τn =
n
i=1wi où (wi)i∈N∗ est une suite de v.a. i.i.d. de loi
exponentielle de paramètre γ. τnse simule donc aisément.
iii. En ce qui concerne Y1, remarquons tout d’abord que les cumulants de X et les moments de
Y1sont liés par l’équation (avec des notations évidentes)
KX,α = γ R F (s)αds MY1,α. (1.2)
On obtient donc les valeurs MY1,αpour α = 1, ..., K (les cumulants KX,α se calculent à l’aide
des moments MX,α). Sous certaines conditions, il est possible de générer Y1 possédant ces
moments (cf [12], voir le problème des moments).
Remarque 1.2.1
L’equation (1.2) implique que les cumulants d’ordre pair KX,2αdoivent nécessairement être stricte-
ment positifs. Ce qui limite singulièrement le domaine d’application de cette méthode.
1.2.2
Simulation numérique
De manière pragmatique, on est donc amené à discrétiser les domaines spectral et temporel et à tronquer la série définissant ˜Xt. De façon à vérifier les hypothèses du théorème d’échantillonage de
Shannon, on discrétise les domaines spectral et temporel de la manière suivante :
– soit Ω = [−ωs, ωs]le domaine spectral (la densité spectrale SX est supposée bornée à support
inclus dans Ω),
– soit ∆t= ωπs le pas de discrétisation temporel,
– soit tα = α∆tles points d’échantillonnage,
– soit M ∈N
∗ et T = M ∆
toù [0, T ] est le domaine temporel.
On choisit γ = 1
∆t pour paramètre du processus de Poisson (Nt, t ∈
R
+). Ce choix est justifié
dans [50] par le fait que si γ = ∆1
t alors la suite de v.a. (X
M
T )M (définie par l’égalité ci-dessous)
Concrètement on calcule donc XtM = M n=1 F (t− τn)Yn (1.3)
aux points tα pour α = 0, ..., M − 1.
XM
t défini par (1.3) constitue une suite approchante du processus de Poisson filtré ˜Xt. En effet
(cf [50]), ∀t, XM t P −−−→ M→∞ ˜ Xt. (1.4)
2
Méthode d’inversion pour les processus
non gaussiens strictement stationnaires
Cette méthode est décrite dans [20], [55], [75]. Une variante de cette méthode a par exemple été implémentée dans [41] pour simuler des turbulences non gaussiennes (dûes à la complexité du terrain) en vue de simuler les forces aérodynamiques sur un rotor d’éolienne.
Le processus (Xt, t∈R)considéré est un processus centré, du second ordre, strictement station-
naire, admettant une densité spectrale SX à support compact. (Xt,∈ R) est supposé non gaussien.
Il est supposé de plus que l’on connaît FB la fonction de répartition de Xt(FB ne dépend pas de t
par stationnarité).
2.1
Principe
Dans un premier temps un processus gaussien est simulé par la méthode spectrale. Ce processus ainsi obtenu est ensuite transformé (transformation non linéaire) en un processus non gaussien.
Appliquant la méthode spectrale, soit (XN
G(t), t∈R)processus tel que XGN(t) =2∆ωRé N−1 k=0 H(ωk) exp(iψk+ itωk) ,
où|H(ω)|2 = SX(ω), (ψk)k est une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 2π] et ∆ω est le pas
de discrétisation du domaine spectral (même discrétisation que celle vue p.35 : en particulier ∆ωest
choisi de la forme ∆ω = 2ωs/N).
Soit XG(t) = lim N→+∞X
N
G(t)(limite en m.q.) et soit FGla fonction de répartition de XG(t).
XN
G(t)est transformé de la manière suivante : soit
XBN(t) = FB−1FG
XGN(t), (2.1)
où l’on a noté FB−1 la fonction inverse (ou inverse généralisée si l’inverse n’est pas définie) de FB.
Il faut remarquer que l’évaluation de FB−1peut poser problème.
Remarques 2.1.1
– XB(t)a FB pour fonction de répartition.
– Soit XB(t) = lim N→+∞X
N
B(t)et SBsa densité spectrale. La transformation dans (2.1) étant non
linéaire, SBne coïncide pas avec SX. Aussi des itérations sont effectuées de manière à avoir
SB«proche » de SX.