IV. Étude numérique
IV.1 Étude de réseaux 2-d périodiques
IV.1.1. Bandes interdites d’un réseau d’inclusions d’air
Le réseau d’inclusions d’air est soumis en incidence normale (α
L= α
T= 0°) à deux
ondes planes longitudinale et transversale. Pour cet angle d’incidence particulier, l’absence de
conversions L↔T lors de la réflexion ou de la transmission par chaque réseau linéaire fait que
la propagation d’ondes dans le réseau présente une forte analogie avec celle dans un réseau de
diffuseurs cylindriques immergés dans un fluide [
35]. Les ondes longitudinales et celles
trans-versales se propagent indépendamment dans le réseau. Pour d/a=3 (la première fréquence de
coupure correspond alors à k
L=3,3) et D/a =10, la Figure 3.5 présente les courbes de
disper-sion et d’atténuation du réseau d’includisper-sions d’air au comportement peu résonant.
Conformément aux théories de milieux périodiques, les courbes font apparaître une
série de bandes interdites correspondant à des régions de forte atténuation. Elles
correspon-dent soit à γ
L T′ =
,0 (centre de la première zone de Brillouin) soit à γ
L T′ =
,π/D (frontière de la
première zone de Brillouin). Lorsque γ
L T′ =
,π/D, un régime d’ondes stationnaires s’établit
dans l’épaisseur e=(N-1)D du milieu effectif. Les bandes interdites associées aux ondes
lon-gitudinales sont plus larges que celles associées aux ondes transversales. Il y a trois bandes
interdites associées aux ondes longitudinales et six associées à celles transversales. Les
ban-des passantes correspondent, quant à elles, à la propagation d’onban-des dispersives et non
atténu-ées (γ
L T′′ =
,0) dans le milieu effectif. Pour chaque type d’onde, la première bande interdite est
localisée autour d’une fréquence telle que la distance D coïncide avec une demi-longueur
d’onde de l’onde incidente : k D
L T,cosα
L T,=π avec α
L= α
T= 0°. Les bandes interdites
[35] C. Audoly et G. Dumery, Acoustic wave propagation in media containing two-dimensional periodically spaced elastic inclusions, Phys. Acoust., Éds. O. Leroy et M. A. Breazeale, Plenum Press, New York, pp. 199-204, 1991.
vantes sont localisées à des multiples entiers de ces fréquences. En cristallographie, la relation
ci-dessus correspond à la relation de Bragg. Il s’agit de la condition d’interférence
cons-tructive entre deux ondes réfléchies par deux réseaux linéaires (ou plans réticulaires) distants
de D. Pour un grand nombre de plans réticulaires, une grande quantité d’ondes interfèrent
ens-emble et donne naissance aux bandes interdites observées.
Figure 3.5 : Courbes de dispersion a) et d’atténuation b) d’un réseau d’inclusions d’air
excité en incidence normale avec d/a=3 et D/a = 10 :
( )
Lk
Lγ′ et γ
L′′( )k
Len bleu, γ
T′( )k
Let γ
T′′( )k
Len rouge.
0 0.5 1 a) 0 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Fréquence réduite b) L kLa Figure 3.6 présente l’évolution des coefficients de réflexion en énergie notés R
LL2et R
TT 2(par rapport à la section II, l’indice 1 a été supprimé). Ces coefficients sont calculés
rigoureusement dans les mêmes conditions que les courbes de dispersion et d’atténuation. A
chaque bande interdite observée précédemment coïncide ici une réflexion totale. Les bandes
interdites sont bien reproduites par les coefficients de réflexion et des calculs menés pour un
plus grand nombre de réseaux linéaires n’ont révélé aucune modification quant à leur forme.
Figure 3.6 : Coefficients de réflexion en énergie R
LL2(Figure 3.6a) et R
TT 2(Figure 3.6b)
d’un réseau d’inclusions d’air excité en incidence normale avec d/a=3 et D/a = 10.
Les coefficients de réflexion locaux r
LL2et r
TT 2sont représentés par les courbes rouges.
0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Fréquence réduite b) L k 0 0.5 1 a)
Ceci confirme que, pour N=15, le réseau comporte suffisamment de réseaux linéaires pour
que la propagation d’ondes puisse y être décrite par le théorème de Bloch. Par rapport aux
courbes de dispersion et d’atténuation, les tracés des coefficients de réflexion fournissent un
résultat nouveau lié de la dimension finie du réseau dans la direction Ox : les coefficients de
réflexion présentent, au niveau des bandes passantes, des oscillations apériodiques de nature
interférentielle. Ces oscillations, de type Fabry-Perot, résultent des interférences entre les
on-des réfléchies par les deux interfaces du milieu effectif fini. Ces interférences n’ont pas lieu
dans les bandes interdites en raison des fortes atténuations qui les caractérisent. Au contraire,
les ondes ne sont pas atténuées dans les bandes passantes et peuvent donc se propager à
longue distance dans toute l’épaisseur du milieu effectif. Leur forte dispersion explique
l’apé-riodité des oscillations observées. Si l’on traçait les coefficients de réflexion en fonction de
L
γ′ et γ
T′, les oscillations se périodiseraient avec une période inversement proportionnelle à
l’épaisseur e du milieu effectif. Les positions des pics d’interférence sont en effet donnés par
, L T
e n
γ = π , avec n∈`. En comparant sur la Figure 3.6 les coefficients de réflexion en
éner-gie des réseaux linéaires avec ceux du réseau global, on constate que la présence de certaines
bandes interdites est due au fait que les réseaux linéaires, dans ses bandes de fréquence, ne
ré-fléchissent quasiment pas les énergies transportées par les ondes incidentes. Il est également à
noter que les deux spectres relatifs aux ondes longitudinales et transversales ont des bandes de
fréquence communes pour lesquelles ni les ondes longitudinales ni celles transversales ne sont
transmises par le réseau 2-d. Autrement dit, il existe donc des bandes interdites pour
lesquel-les aucune vibration ne peut se propager à longue distance dans le réseau 2-d élastique.
Pour déterminer les effets d’une plus forte densité d’inclusions dans chaque réseau
linéaire, les coefficients de réflexion sont tracés sur la Figure 3.7 pour d/a= 2,1. La première
fréquence de coupure des réseaux linéaires est plus élevée (k
L=4,7) mais, en vue d’une étude
comparative, nous conservons ici le domaine d’étude précédent. Pour cette valeur du rapport
d/a, le coefficient de réflexion r
LL2des réseaux linéaires ne s’annule jamais. Les bandes
passantes révélées par le coefficient de réflexion R
LL2ne sont donc dues qu’à la seule
géo-métrie du réseau 2-d. Par contre, le coefficient de réflexion r
TT 2s’annule à deux reprises,
précisément à k
L=2,55 et à k
L=3,34. Autour de ces deux fréquences, le coefficient de
réfle-xion R
TT 2fait apparaître clairement deux bandes passantes. Ainsi, en l’absence de
résonan-ces, les bandes passantes du réseau 2-d peuvent être classées en deux catégories : celles
caractéristiques de la propagation d’ondes dans les milieux périodiques (effet global), et celles
dues à des transmissions totales au travers de chaque réseau linéaire (effet local).
Figure 3.7 : Coefficients de réflexion en énergie R
LL2(Figure 3.7a) et R
TT 2(Figure 3.7b)
d’un réseau d’inclusions d’air excité en incidence normale avec d/a=2,1 et D/a = 10.
Les coefficients de réflexion locaux r
LL2et r
TT 2sont représentés par les courbes rouges.
A des fréquences éloignées des zones d’annulation des coefficients de réflexion des réseaux
linéaires, nous constatons que les fréquences centrales des bandes interdites restent
inchan-gées par rapport aux cas d/a =3. Ceci confirme que les positions des bandes interdites ne sont
liées qu’à la seule période D dans la direction de propagation des ondes. L’effet d’une forte
densité d’inclusions dans les réseaux linéaires est un élargissement des bandes interdites avec,
consécutivement, une disparition progressive des bandes passantes. L’effet est
particulière-ment spectaculaire sur la Figure 3.7b : pour 0,2 ≤ k
L≤ 2,1, le réseau 2-d filtre complètement
0 0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Fréquence réduitekL