nominal de 5% todos os testes rejeitam a hipótese nula, ou seja, o modelo Pareto também é rejeitado para esse conjunto de dados.
3.6
Conclusões finais
Fizemos inferências (estimação pontual e teste de hipóteses) para dois parâmetros da dis- tribuição Lomax exponencializada. Baseamo-nos em diferentes propostas e derivamos ajustes para a função de verossimilhança perfilada com o objetivo de diminuir o impacto do parâmetro de perturbação (λ), e consequentemente, obter resultados mais precisos, principalmente quando a amostra é pequena. Realizamos um estudo de simulação de Monte Carlo para avaliar os de- sempenhos da função de verossimilhança perfilada e suas versões modificadas no processo de estimação pontual e teste de hipóteses com base na estatística da razão de verossimilhanças. Consideramos também o teste baseado na estatística da razão de verossimilhanças bootstrap Bartlett e o teste da razão de verossimilhanças bootstrap usual. O estudo apontou que os esti- madores de máxima verossimilhança perfilado ajustados tiveram os melhores desempenhos. Os testes baseados na estatística da razão de verossimilhanças que utiliza as versões modificadas da função de verossimilhança perfilada tiveram as menores distorções de tamanho. No entanto, os testes baseados em bootstrap, em geral, apresentaram resultados satisfatórios em todos os cenários considerados. Por fim, apresentamos dois exemplos numéricos utilizando conjuntos de dados reais.
44
4
Refinamento de inferências na distribuição BurrX
escalonada
Resumo
A distribuição BurrX escalonada, além de ser bastante útil para modelar dados de tempo de vida, quando seu parâmetro de forma é igual a um, tem a distribuição Rayleigh como caso parti- cular. Este capítulo apresenta três diferentes ajustes para a função de verossimilhança perfilada com o objetivo de obter inferências mais confiáveis sobre o parâmetro de forma da distribuição BurrX escalonada. Especificamente, derivamos a função de verossimilhança perfilada e suas versões ajustadas para fazer estimação pontual e teste de hipóteses com base na estatística da razão de verossimilhanças (LR), sob o enfoque de amostra completa (dados não censurados) e amostra contendo dados censurados do tipo II. O estudo também inclui o teste baseado na estatística da razão de verossimilhanças bootstrap Bartlett (ROCKE, 1989) e o teste da razão de verossimilhanças bootstrap usual (EFRON; TIBSHIRANI, 1994). Os resultados de simula- ção indicam que em pequenas amostras as inferências baseadas nas funções de verossimilhança perfilada ajustadas são mais precisas. Duas aplicações usando conjuntos de dados reais são apresentadas para ilustrar a teoria desenvolvida.
Palavras-chave: BurrX escalonada; Censura tipo II; Estimação pontual; Teste de hipóteses; Verossimilhança perfilada ajustada
4.1
Introdução
Burr (1942) introduziu doze famílias de distribuições, dentre elas destacam-se as distribui- ções Burr tipo III e a Burr tipo X, as quais têm recebido muita atenção de pesquisadores em diversas áreas. Surles e Padgett (2001) propuseram a distribuição Burr tipo X com um pa- râmetro adicional, denominada de BurrX escalonada, com o objetivo de fazer inferência para R = P (X < Y ) (confiabilidade) de fibras de carbono, em que X e Y são variáveis aleatórias independentes que seguem distribuição BurrX escalonada.
Por ser uma generalização da distribuição Rayleigh, a BurrX escalonada também é chamada por alguns autores de Rayleigh generalizada ou Rayleigh exponencializada (RAQAB; MADI,
4.1. INTRODUÇÃO 45
2011; ABD-ELFATTAH, 2011). Nesta tese, usamos a denominação dada por Surles e Pad- gett (2001) e será denotada por BurrX (σ, λ), tal que σ e λ são parâmetros de escala e forma, respectivamente. Essa distribuição é bastante apropriada para analisar dados de tempo de vida assimétricos (AHMAD et al., 2017).
A função de verossimilhança perfilada pode ser usada quando desejamos fazer inferências apenas para uma parte dos parâmetros que indexam um modelo. No entanto, a função de ve- rossimilhança perfilada não é uma verossimilhança genuína, assim algumas propriedades tais como função escore e informação não viesadas podem não ser satisfeitas. Além disso, a dis- tribuição nula da estatística da razão de verossimilhanças pode não ser bem aproximada pela distribuição qui-quadrado de referência na presença de muitos parâmetros de perturbação ou ainda quando a amostra é pequena. Sendo assim, com base em duas aproximações para a fun- ção de verossimilhança proposta por Barndorff-Nielsen (1983) e na função de verossimilhança de Cox e Reid (1993), o nosso principal objetivo é obter três versões modificadas da função de verossimilhança perfilada que forneçam inferências mais confiáveis para o parâmetro λ da distribuição BurrX escalonada. Estudos nessa linha já foram realizados por Cysneiros et al. (2008) e Barreto et al. (2013) para a distribuição Birnbaum-Saunders para dados completos e dados censurados do tipo II, respectivamente. Ferrari et al. (2007) obtiveram diferentes ajustes da verossimilhança perfilada para a distribuição Weibull.
Para nosso estudo inferencial consideramos dois enfoques. No primeiro enfoque, obtivemos três ajustes para a função de verossimilhança perfilada para o parâmetro λ em amostra completa (dados não censurados). No segundo, derivamos dois ajustes para a função de verossimilhança perfilada para amostra contendo observações censuradas do tipo II. Nos dois enfoques, fizemos estimação por máxima verossimilhança e teste de hipóteses usando a estatística da razão de verossimilhanças com base nos diferentes ajustes. Consideramos também o teste baseado na estatística da razão de verossimilhanças bootstrap Bartlett (ROCKE, 1989) e o teste da razão de verossimilhanças bootstrap usual (EFRON; TIBSHIRANI, 1994).
O capítulo está organizado da seguinte forma: na Seção 4.2 são discutidos alguns aspectos e propriedades da distribuição BurrX escalonada; na Seção 4.3, obtemos os ajustes para a função de log-verossimilhança perfilada para a distribuição BurrX escalonada. Resultados de simula- ção de Monte Carlo são mostrados e discutidos na Seção 4.4. Duas aplicações a conjunto de dados reais, uma para amostra completa e outra para amostra censurada do tipo II, são apresen- tadas na Seção 4.5. As conclusões finais deste capítulo são dadas na Seção 4.6. No Apêndice 6, discutimos alguns aspectos computacionais utilizados neste capítulo.