EXERCICE 1 6 points
Commun à tous les candidats
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune jus-tification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs ré-ponses ou l’absence de réponse ne rapportent, ni n’enlèvent aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
1. On considère la fonctionf définie surRparf(x)=xex; la fonctionf est : a. concave sur ]− ∞; 0] b. convexe sur ]− ∞; 0]
c. concave sur [0 ;+∞] d. convexe sur [0 ;+∞[ 2. On considère l’équation d’inconnuex:
(3x+1)e5x=0.
Cette équation admet surR:
a. 0 solution b. 1 solution c. 2 solutions d. plus de 3 solu-tions
3. On a constaté que, sur 10 ans, le prix d’une certaine denrée a augmenté de 8 % par an.
On peut affirmer que, sur 10 ans, le prix de cette denrée a augmenté, à l’unité près, de :
a. 80 % b. 116 % c. 216 % d. 43 %
4. La courbeCgci-contre représente une fonctiongdéfinie et dérivable sur [0; 3].
On noteg′sa fonction dérivée ; on a : a. g′(2)= −1
b. g′(2)= −5 c. g′(2)=4
d. g′(2)=32 1 2 3 4
1 2 Cg
5. Soit la fonctionhdéfinie surRparh(x)=e3x+2. Une primitiveHdehpeut être définie surRpar :
a. H(x)=3e3x+2 b. H(x)=1
3e3x+2 c. H(x)=(3x+2)e3x+2 d. H(x)=e3x+2 6.
Pour la loi normale représentée ci-contre on aP(9<
X<12)≈0,82 (à 10−2près).
Les paramètres de la loiXsont : a. µ=10 etσ=2
b. µ=11 etσ=2 c. µ=10 etσ=1 d. µ=11 etσ=3
6 7 8 9 10 11 12 13 14
*
EXERCICE 2 5 points Candidats ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Dans une salle de sport, trois activités sont proposées : Pilates (P), Step (S) et Zumba (Z).
D’une semaine sur l’autre les abonnés peuvent changer d’activité.
Au 1erseptembre 2015, il y a 10 % des abonnés inscrits en Pilates, 85 % en Step et 5 % en Zumba.
D’après l’analyse des données des années précédentes, le gérant prévoit que, d’une semaine sur l’autre :
• Si l’abonné était en Pilates, la semaine suivante il conserve Pilates dans 30 % des cas, sinon il choisit Step dans 10 % des cas et Zumba dans 60 % des cas.
• Si l’abonné était en Step, la semaine suivante il conserve Step dans 30 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 50 % des cas et Zumba dans 20 % des cas.
• Si l’abonné était en Zumba, la semaine suivante il conserve Zumba dans 20 % des cas, sinon il choisit Pilates dans 20 % des cas et Step dans 60 % des cas.
On considère qu’il n’y a pas de nouveaux abonnés et pas de départ tout au long de l’année. SoitEn=
¡pn sn zn¢
, la matrice ligne décrivant l’état probabiliste de la répartition parmi les trois activités P, S et T,nsemaines après le 1erseptembre 2015.
1. Donner, sans justification, la matriceE0.
2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets P, S et Z.
3. On donneMla matrice carrée 3×3 de transition respectant l’ordre P, S et Z.
M= a. Préciser la signification du coefficient 0,5 dans la matriceM.
b. CalculerE1.
c. Déterminez la répartition prévisible dans chaque activité au bout de trois semaines.
4. Peut-on affirmer, à 10−2près, qu’au bout de 6 semaines environ 1/3 des abonnés se répartissent dans chaque activité.
5. Au 1erseptembre 2015 on compte 120 abonnés dans cette salle de sport. Combien peut-on prévoir d’abonnés dans chaque activité, 8 semaines après cette date ?
6. a. Conjecturer la valeur exacte des coefficients de la matrice ligneEcorrespondant à l’état probabiliste stable.
b. Vérifier cette conjecture.
*
EXERCICE 3 3 points
Commun à tous les candidats
La fonctionf est définie sur [ 0; 1] parf(x)=2x.
On considère une variable aléatoireXqui suit la loi de probabilité dont la fonction de densité estf. Cette fonction de densité est représentée ci-dessous.
Antilles-Guyane 56 septembre 2016
Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
1. a. Quelle est la valeur, en unité d’aire, de la surface hachurée ? Préciser la démarche utilisée.
b. Interpréter ce résultat en terme de probabilité.
2. Calculer la probabilitéP(06X60,75).*
EXERCICE 4 6 points
Commun à tous les candidats
Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépen-dantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.
Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut être modélisée de la façon suivante :
• Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés .
• Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.
1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant : Variables : netUsont des nombres
Traitement : Affecter àUla valeur 600 Affecter à n la valeur 0 Tant queU<800 faire
Uprend la valeurU−U×0,05+80 nprend la valeurn+1
Fin Tant que Sortie : Affichern
a. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité).
valeur deU 600 . . .
valeur den 0 . . .
testU<800 vrai . . .
b. Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme.
c. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite (un) oùunest le nombre d’abonnés pendant l’année 2015+n.
On a ainsi, pour tout entier natureln,un+1=0,95un+80 etu0=600.
Antilles-Guyane 57 septembre 2016
a. Donneru1etu2(arrondir les valeurs à l’unité).
b. On introduit la suite (vn) définie pour tout entier naturelnparvn=un−1600.
Montrer que (vn) est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme de cette suite.
c. En déduire que l’on a, pour tout entier natureln, un=1600−1000×0,95n. 3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.
Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement ?*
Antilles-Guyane 58 septembre 2016
[ Baccalauréat ES Métropole – La Réunion \ 14 septembre 2016
EXERCICE1 5 points
Commun à tous les candidats
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir au millième.
À partir d’une étude statistique dans une chaîne de restaurants, on a modélisé le comportement des clients par :
• 60 % des clients sont des hommes ;
• 80 % des hommes mangent un dessert alors que seulement 45 % des femmes en mangent un.
On interroge au hasard un client de cette chaîne. On note :
• Hl’évènement « le client interrogé est un homme » ;
• Dl’évènement « le client interrogé a mangé un dessert ».
On note également :
• Al’évènement contraire d’un évènementA;
• p(A) la probabilité d’un évènementA.
PARTIE A
1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un homme et ait mangé un dessert.
3. Montrer quep(D)=0,66.
4. Le client interrogé affirme avoir pris un dessert. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
PARTIE B
Le directeur de cette chaîne souhaite savoir si ses clients actuels sont satisfaits des menus proposés dans ses restaurants.
Une enquête de satisfaction est réalisée sur un échantillon de 300 clients et 204 se déclarent satisfaits des menus proposés.
1. Donner un intervalle de confiance au niveau de 95 % de la proportion de clients satisfaits.
2. Le directeur souhaite cependant avoir une estimation plus précise et donc veut un intervalle de confiance au niveau de 95 % d’amplitude 0,06.
Déterminer le nombre de personnes à interroger pour obtenir un tel intervalle.*
EXERCICE2 4 points
Commun à tous les candidats
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte un point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point.
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Les parties de cet exercice sont indépendantes.
PARTIE A
1. SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 90 et d’écart-type 6. Une valeur arrondie au millième dep(X>100) est :
a. 0,500 b. 0,452 c. 0,048 d. 0,952
2. SoitY une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espéranceµet d’écart-type 10. Une valeur arrondie au millième dep¡
µ−206Y 6µ+20¢ est :
a. 0,68 b. 0,5 c. 0,8 d. 0,95
PARTIE B
Pour les deux questions suivantes, on considère une fonction f deux fois dérivable sur [−5;3]. On donne ci-dessous le tableau de variation def′.
x −5 −1 1 3
Variation def′
−0,5
−3
4 0
3. La fonctionf est :
a. croissante sur [−5 ; 3]
b. décroissante sur [−5 ; 1]
c. décroissante sur [−5 ; 3]
d. croissante sur [−1 ; 3]
4. La fonctionf est :
a. convexe sur [−5 ;−1]
b. concave sur [−5 ;−1]
c. concave sur [−5 ; 1]
d. convexe sur [−5 ; 3]
*
Métropole – La Réunion 60 14 septembre 2016
Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
EXERCICE3 5 points
Candidats de ES n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité et candidats de L
Le 31 décembre 2015 une forêt comportait 1 500 arbres. Les exploitants de cette forêt prévoient que chaque année, 5 % des arbres seront coupés et 50 arbres seront plantés.
On modélise le nombre d’arbres de cette forêt par une suite (un) où, pour tout entier natureln,unest le nombre d’arbres au 31 décembre de l’année (2015+n).
Ainsiu0=1500.
PARTIE A
1. Calculeru1etu2.
2. Justifier que pour tout entier natureln, on a :un+1=0,95×un+50.
3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier natureln, parvn=un−1000.
a. Montrer que la suite (vn) est géométrique. En préciser la raison et le premier terme.
b. Montrer que pour tout entier natureln,un=1000+500×0,95n.
c. En déduire le nombre d’arbres prévisibles dans cette forêt le 31 décembre 2030.
PARTIE B
Les arbres coupés dans cette forêt sont utilisés pour le chauffage. Le prix d’un stère de bois (unité de volume mesurant le bois) augmente chaque année de 3 %.
Au bout de combien d’années le prix d’un stère de bois aura-t-il doublé ?*
Métropole – La Réunion 61 14 septembre 2016
Exercice 3 5 points Candidats de ES ayant suivi l’enseignement de spécialité
Un parc de loisirs décide d’ouvrir une nouvelle attraction pour les jeunes enfants : un parcours pé-destre où chaque enfant doit recueillir, sur différents lieux, des indices pour résoudre une énigme. Le parcours est représenté par le graphe ci-dessous. Les sommets représentent des lieux où sont placés les indices ; les arêtes représentent des chemins pédestres qui les relient.
A
1. Un enfant pourra-t-il parcourir chaque chemin pédestre du circuit une fois et une seule ? Si oui, indiquer un circuit possible et sinon expliquer pourquoi.
2. On noteM la matrice d’adjacence associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l’ordre alphabétique).
Déterminer le nombre de parcours allant de E à H en 4 chemins pédestres. Les citer tous.
PARTIE B
Afin d’améliorer la qualité de ses services, une étude statistique a relevé la durée moyenne d’attente en minutes à la billetterie du parc en fonction de l’heure. Ce relevé a eu lieu chaque heure de 9 h à 16 h. On obtient le relevé suivant :
Métropole – La Réunion 62 14 septembre 2016
Baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
x y
0
b b b b b b b b
Ainsi, à 10 h, il y avait 14 minutes d’attente à la billetterie.
On souhaite modéliser cette durée d’attente par une fonction qui à l’heure associe la durée d’attente en minutes. Ainsi, il sera possible d’avoir une estimation de la durée d’attente.
On choisit de modéliser cette situation à l’aide de la fonctionf définie par f(x)=ax2+bx+c
aveca,b,cdes réels etanon nul telle que les trois points (9 ; 9), (11 ; 20) et (16 ; 2) appartiennent à la représentation graphique def.
1. Calculer les trois réelsa,betc.
2. En utilisant ce modèle, déterminer sur quelle(s) plage(s) horaire(s) l’attente peut être inférieure à dix minutes.*
Métropole – La Réunion 63 14 septembre 2016
EXERCICE4 6 points Commun à tous les candidats
On définit une fonctiongsur l’intervalle [0,5 ; 5] par g(x)=5x−3xlnx.
1. Montrer que pourxappartenant à [0,5 ; 5],g′(x)=2−3lnx.
2. Étudier le signe deg′(x) et en déduire le sens de variation degsur [0,5 ; 5].
3. En déduire pour quelle valeurx0, arrondie au centième, la fonctiongatteint un maximum.
4. Montrer que l’équationg(x)=4 admet deux solutions sur [0,5 ; 5] que l’on noteα1etα2. En donner un encadrement d’amplitude 0,01.
5. Résoudreg(x)>4.
6. Montrer que la fonctionGdéfinie sur [0,5 ; 5] par G(x)= −3
2x2lnx+13 4 x2 est une primitive degsur [0,5 ; 5].
7. Calculer alors la valeur moyenne de la fonctiongsur l’intervalle [0,5 ; 5]. On donnera la valeur arrondie au millième.*
Métropole – La Réunion 64 14 septembre 2016